分形康托多層結構的光學傳輸特性

1、第31卷第6期2010年12月寧夏師范學院學報(自然科學Journal o fN ingx i a T eache rs U n i ve rsity(N atura l Sc i enceV o.l31N o.6D ec.2010分形康托多層結構的光學傳輸特性劉碧蕊(寧夏師范學院學報編輯部,寧夏固原 756000摘 要:在分形理論的基礎上,將分形康托序列引入到一維光子晶體的設計中來,得到了一維準分形康托多層結構,采用傳輸矩陣法研究了分形康托多層結構的光學傳輸特性,討論了該結構的分形維數(shù)以及光學傳輸譜的Sca lab ilit y和Sequenti a l Splitti ng特性.這種結構可

2、用于超窄帶光子晶體濾波器,在光學精密測量和光通信超密集波分復用等領域中有一定的應用價值.關鍵詞:光子晶體;康托多層結構;光學傳輸特性中圖分類號:O734.2 文獻標識碼:A 文章編號:1674-1331(201006-0025-06收稿日期:2010-09-10基金項目:寧夏自然科學基金資助項目(NZ10226;寧夏高等學?？茖W研究資助項目(2009-193-78.作者簡介:劉碧蕊(1969-,女,陜西西安人,副教授,碩士,研究方向:光子晶體、光通信薄膜器件及量子光學等.近年來,人們在研究一維周期結構光子晶體的能帶特性的同時,對諸如裴波那契(F i b onacc i序列1,2、分形康托(fr

3、actal C antor結構序列3-6, Thue M orse序列結構7-10等準周期結構光子晶體的光學傳輸特性,表現(xiàn)出了極大的興趣.分形是一種具有自相似對稱性的幾何對象,適當?shù)厝〕銎渲械囊徊糠旨右苑糯?所得到的結果與整體完全相同.分形一般分為規(guī)則分形和非規(guī)則分形.分形作為一種具有分維特征的幾何結構,它的特點與傳統(tǒng)的歐氏幾何結構有著很大的區(qū)別.分形不但受到了科研人員的青睞,而且有著廣泛的應用價值.近十年來,分形理論在許多領域得到了廣泛應用,如描述植物樹木的L系統(tǒng)11,12以及分形理論在圖象分割中的應用13,14等.另外,具有分形結構的濾波器15、天線16,17等也是這一領域內研究的熱點.三

4、分康托集(triad ic Cantor set是典型的規(guī)則分形,它的構造方法是,把一線段分為三等分,去掉中間的一段,然后把剩下的兩段再三等分,再去掉中間的一段,如此無限重復而最終得到的點集.按照這種分形康托序列堆砌成的一維光子晶體,可被用作光子晶體波導、光子晶體濾波器等光學器件.當電磁場與這類具有自相似特征的分形客體相互作用時,分形客體所具有的自相似性會很好地反映到電磁場中,因此,科技工作者也開始探索這種具有分形特征光子晶體的行為.已有的數(shù)值理論及實驗研究表明,這種具有自相似特征的分形序列光子晶體不但存在絕對帶隙,而且在能帶的頻率特性方面也有著一定的特點.與傳統(tǒng)的周期和準周期結構光子晶體相比

5、較,傳統(tǒng)周期結構的光子晶體由于受到周期結構的影響,多數(shù)情況下會產生周期結構的頻率帶隙.而具有分形特征的光子晶體的能帶,則具有不同于傳統(tǒng)光子晶體能帶的雙頻以及多頻帶隙的特點;而且,帶隙的中心頻率可以隨著分形結構單元幾何形狀的調整而得到改變.這種新的帶隙特點,為具有分形特征的光子晶體的應用帶來了極大的便利.與此同時,隨著近年來半導體制造技術的發(fā)展,利用半導體的相關制備技術,如等離子體刻蝕,化學刻蝕等方法,制造光頻范圍內具有分形特征的光子晶體寧夏師范學院學報(自然科學2010年12月也已具有了可能性.由于通常情況下,我們是利用有限級數(shù)的分形結構作為光子晶體的元胞,這與分形的定義是有區(qū)別的.嚴格意義上

6、的分形是一種建立在無限自相似分割基礎上的點集,因此,我們稱這種按照分形特征構造的光子晶體為一種準分形光子晶體.本文在分形理論的基礎上,將分形康托序列引入到一維光子晶體的設計中來.在此基礎上構造得到了一維準分形康托序列的多層結構,采用傳輸矩陣法研究了分形康托多層結構的光學特性,討論了該結構的分形維數(shù)以及光學傳輸譜的Scalab ility和Sequen tial Sp litti n g特性.這種新的耦合腔結構可用作超窄帶光子晶體濾波器,在光學精密測量和光通信超密集波分復用等領域中有一定應用價值.1 分形的基本概念數(shù)學家B.B.M ande l b rot經過潛心研究,出版了他的關于分形幾何的專

7、著 分形:形、機遇和維數(shù) (Fracta:l For m,Chance and D i m ensi o n,這標志著分形理論的誕生18. 分形 (Fracta l這個詞是曼德布勞特由拉丁語形容詞Fractus創(chuàng)造出的英文單詞Fractal翻譯而來的,意思為破碎、細分、不規(guī)則的碎片形狀.所謂分形是指一類其局部與整體有相似性的體系,這種體系稱為自相似性體系.其自相似性表征的是:分形在通常的幾何變換下具有不變性;它導致體系的維數(shù)可以不是整數(shù).因此,這種體系的維數(shù)被稱為分數(shù)維.分形系統(tǒng)可分為規(guī)則分形和隨機分形兩大類.所謂規(guī)則分形是人們按一定的規(guī)則構造出來的分形曲線,這類曲線具有嚴格的自相似性,如分形

8、康托集(fractal Can tor se t、塞爾賓斯基鋪墊(Sierpinski gasket、柯赫(Kock曲線等.而隨機分形的自相似性是近似的或統(tǒng)計意義上的相似,這種自相似性只存在于無標度區(qū)域.超出無標度區(qū)域,自相似性就不復存在了.自然界中所存在的各種分形實際上均屬于隨機分形.2 分形的基本特征和維數(shù)分形是破碎的、不規(guī)則的,其幾何性質十分豐富,可以說,到目前為止它的幾何性質還沒有完全被挖掘出來.它的組成部分可以被無限細分,而且它的局部的形狀一般與整體相似,是自相似的和標度不變的.一般認為,它具有五個基本特征或性質19:(a分形是破碎的,局部不可微的不規(guī)則圖形;(b分形一般是自相似的,

9、或是統(tǒng)計自相似的;(c分形有時也是自仿射的;(d分形的維數(shù)一般是分數(shù)的,但也有整數(shù)維數(shù)的分形,如Peano曲線;(e分形圖像具有精細結構,即無論局部放大多少倍,仍然具有復雜的結構;第(d條中所說的分形維數(shù),是針對集合而言的.如果在對集合的描述中需要若干個坐標,這些坐標的個數(shù)就是該集合的維數(shù).分形相似維數(shù)是指:如果一個圖形是將原圖形縮小為1/a相似的b個圖形,則分形的相似維數(shù)為lg a/lg b.分形的容量維數(shù)是指幾何體s,若用直徑為 的小球去覆蓋它,所需的小球最小數(shù)目為N( ,則s的容量維數(shù)為d f=li mln N( l n(1/ .(13 分形康托多層結構的光學傳輸特性3.1 物理模型康托

10、多層結構序列的一維光子晶體是光子晶體的非周期結構.由于它是按康托分形序列堆砌而成的,所以從分形的角度來講,它包含了許多不同比例的與自身相似的樣本.任何一種康托多層結構都可用兩個基本參數(shù)來表征,即生成器G (G=3,5,7, 和產生數(shù)N=(N=1,2,3, .按照前面介紹的康托集的生成方法,先取一種介質作為 種子 (記為A,然后再用另外一種介質(記為B取代 種子 一定位置的某些部分,其中取代的具體位置和多少取決于生成器的G值.然后,對所有余下的 種子 介質A重復上述過程,最終會得到一類分形集.當這些步驟進行N次26第6期劉碧蕊:分形康托多層結構的光學傳輸特性后,所獲得的結構就是基本參數(shù)為(G,N

11、 的康托多層結構5.因此,參數(shù)為(G,N 的康托多層結構也稱之為(G,N 結構,這種結構的總層數(shù)為:G N.它的分形維數(shù)d f =ln G +12ln G.(2本文僅以三分康托集(triadic Cantor set為例,來說明康托多層結構的Scalab ility 和Sequen tial Sp litting 特性.對于其它類型的康托多層結構,如五分康托結構或七分康托結構等,該光學傳輸特性也是成立的.圖1給出的是當N =0,1,2,3,4時的典型三分康托結構的構造過程示意圖.它是通過把高折射率介質A 中間的某些部分用低折射率介質B 來替換,然后再對剩下的部分實施同樣的操作,如此重復N 次后

12、而產生的.當N =3時,該結構共有27層. 圖1 給定G =3和N =0,1,2,3,4的康托多層結構按照分形康托多層結構序列堆砌而成的一維光子晶體的透射(或反射譜與嚴格周期的多層結構光子晶體的透射(或反射譜是不相同的.在選用相同的折射率材料、相同層數(shù)的情況下,從整體展示的傳輸譜來看,在一個周期內均有相同數(shù)量的共振透射峰,且都存在禁帶.但是,二者透射峰的分布卻是完全不同的.一般來說,康托多層結構譜的禁帶稍寬,而周期結構光子晶體帶隙內出現(xiàn)的共振峰相對而言顯得尖銳一些.這些特性與法布里 珀羅微腔的物理機制是相同的.從結構的堆砌方式和理論上的處理方法來說,可以把分形康托多層結構看作是一種介質與另外一

13、種植入了大量不同缺陷的介質周期排列而成.在周期結構中引入缺陷會引起透射譜中某些地方出現(xiàn)缺陷態(tài),從而導致一個或多個透射峰移入禁帶,而其它的透射峰也將會重新分布.一般而言,這樣的缺陷態(tài)是通過相應頻率的電場在缺陷層內的強烈局域來反映的.3.2 光學傳輸譜特性通過對大量的分形康托多層結構傳輸譜形狀和特性的分析,可以發(fā)現(xiàn)所有分形康托多層結構的傳輸譜,都展示出了明顯的Sca lability 和Se quential Sp litti n g 特性.所謂Scalab ility 特性是指在一個周期內,(G,N -1多層結構光子晶體的完整的譜是(G,N 結構的譜的一部分.如果把(G,N 結構的光譜放大G 倍

14、,所得譜的中心部分的形狀與(G,N -1結構的譜幾乎是完全匹配的.這個特性對于G 取任何值的分形康托結構都成立,也就是說對任何規(guī)則分形的康托多層結構都是成立的.選取高折射率介質A 為磷化鎵Ga P (圖中用黑色表示,其折射率n A =3.30,低折射率介質B 為氟化鎂M gF 2(圖中用白色表示,其折射率n B =1 35,光子晶體禁帶中心頻率對應的波長 0=1550nm ,每一基本層的高低折射率介質的光學厚度均相等且為四分之一個中心波長,即n A d A =n B d B = 0/4.下面,我們采用傳輸矩陣法3,9,20,研究該康托多層結構光子晶體的傳輸特性.圖2(a和(b 分別是光波通過G

15、 =3,N =3和G =3,N =2時的兩種康托多層結構光子晶體后的透射譜的中心部分,其中歸一化頻率的選取范圍是 / 0=13.從圖中可以看出,如果把圖2(a ,即G =3,N =3結構的譜放大3倍,則譜的中心部分(歸一化頻率的范圍是 / 0=1 72 3的形狀完全和G =3,N =2的譜相同.圖2(c 給出的是放大了的G =3,N =3康托結構的透射譜的中心部分,歸一化頻率的范圍是 / 0=1 72 3.從圖中可以看出,所得到的透射譜與圖2(b 展示的G =3,N =2的譜是完全匹配的.同樣,如果取G =3,N =4所得到的康托多層結構27寧夏師范學院學報(自然科學2010年12月的譜,把譜

16、放大3倍,得到譜的中心部分和多層結構G =3,N =3的譜是相同的或是匹配的;放大9倍后所得到的譜的中心部分與G =3,N =2的譜完全匹配.對于G =5的五分康托多層結構(pentad ic Can tor mu ltilayer struct u re 序列的光子晶體,把G =5,N =4結構的譜放大5倍所得譜的中心部分和G =5,N =3的譜是相同的;放大25倍得到的譜的中心部分與G =5,N =2的譜相匹配.通過對大量的分形康托多層結構傳輸譜的分析,可以得出這樣的結論,對于G 取任意數(shù)值的分形康托多層結構,決定(G,N m 2的傳輸譜的中心部分與(G,N m 1結構的譜匹配的因子為:G

17、m 2-m 1,稱之為縮放比例因子(sca ling factor ,其中差值m 2-m 1表示的是兩個產生數(shù)之差. 圖2 康托多層結構譜的Scalab ility 特性所謂分形康托多層結構的Sequenti a l Splitti n g 特性是指,對給定生成器G 的多層結構,隨著產生數(shù)N 的增加,對于(G,N -1結構禁帶邊緣的一條共振譜線,在(G,N 結構中就會分裂成多重譜線.在(G,N -1結構禁帶中沒有譜線的地方,到(G,N 結構中就會有新的譜線產生.這種新分裂的和新產生的譜線的數(shù)目與生成器G 以及產生數(shù)N 的取值有關,產生數(shù)N 每增加1,新出現(xiàn)的譜線數(shù)目和分裂的譜線數(shù)目滿足如下的規(guī)

18、律,分別可以表示為S new =G -12,(3S s p lit =G +12.(428第6期劉碧蕊:分形康托多層結構的光學傳輸特性因而被稱之為Sequentia l Splitting 特性.一個周期內出現(xiàn)的總的譜線數(shù)目等于康托多層結構的總層數(shù):G N. 圖3 康托多層結構的Sequentia l Sp litti ng 特性在三分康托多層結構的禁帶中,新產生譜的數(shù)目和一個共振峰的分裂數(shù)目都等于2,如圖3(a 和(b 所示.圖3(a 中用實線表示的是G =3,N =3結構的部分透射譜,用虛線表示的是G =3,N =2結構的部分透射譜.從圖中展示的共振透射譜可以看出,在當N =2時禁帶內沒有

19、透射譜線;而當N 增為3時在原來的禁帶中出現(xiàn)了兩條透射譜線,滿足新產生譜線公式(3.原來對應的一條譜線隨產生數(shù)N 的增加會出現(xiàn)分裂,圖3(b 給出了三分康托多層結構譜線的分裂情況,可以看出,當產生數(shù)N 由2增加到3時,原來在歸一化頻率 / 0=1 22附近的共振透射峰分裂為兩個,滿足譜線分裂公式(4.這一特性和康托多層結構的幾何構成方法有關.我們還注意到,在分裂前和分裂后,即N =3和N =2這兩種情況下所對應的共振透射峰的半高寬的變化并不大.這說明在康托多層結構中,由于產生數(shù)N 的增加導致的傳輸共振譜的分裂對譜的半高寬的影響不是太大.4 結束語通信技術正朝著寬帶化、智能化、大眾化和個性化的方

20、向發(fā)展.隨著骨干傳輸網、局域網容量的大幅度增長,波分復用(w aveleng th d i v isi o n m ulti plex ing ,簡寫為W D M 技術被越來越廣泛地采用.因為采用波分復用(WDM 系統(tǒng)可以充分利用光纖的巨大帶寬資源,使傳輸容量迅速擴大幾倍至上百倍;在大容量長途傳輸時,可以節(jié)約大量的光纖和再生器,從而大大降低傳輸成本.本文用光學傳輸矩陣法研究了分形康托多層結構的傳輸譜特性,可以看出,康托多層結構的傳輸譜展示了明顯的Sca lability 特性和Sequentia l Sp litti n g 特性;討論了G =3,N =3序列康托結構光子晶體透射譜特征.這一特

21、征與分形康托多層結構光子晶體的幾何特性相關,是由構成晶體介質的周期性排列導致的自相似性引起的.這些特性在光通信超密集波分復用和光學精密測量等技術中有重要的應用價值.參考文獻:1 K oh m oto M,Suthe rland B ,Lguch iK.Loca lization in opti cs :quasi pe ri od i c m ed i a J.P hys .R ev .L ett .,1987,58:2436.2 G ell ermann W,K oh m oto M,Sutherland B ,et a.l L ocalizaton of li ght waves i n

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