高3數(shù)學12復數(shù)的向量表示及復數(shù)的三角形式

1、基礎(chǔ)概念一、基礎(chǔ)知識概述由于解方程的需要，我們引進了復數(shù)和及其四則運算，并建立了復數(shù)集和復平面內(nèi)所有的點構(gòu)成的集合之間的一一對立，我們還學過向量及其運算，在些基礎(chǔ)上，我們現(xiàn)在一起來學習復數(shù)的向量表示、復數(shù)的三角形式及其運算、復數(shù)的指數(shù)形式、復數(shù)的運算的幾何意義二、重點知識歸納及講解1、復數(shù)的向量表示：復數(shù)集與復平面內(nèi)的向量集合（為原點）一一對應(yīng)說明：（1）零向量表示復數(shù)0，相等的向量表示同一個復數(shù)；（2）向量的模就是復數(shù)（、）的模，即2、復數(shù)的三角形式及運算：（1）復數(shù)的幅角：設(shè)復數(shù)對應(yīng)向量，以軸的正半軸為始邊，向量所在的射線（起點為）為終邊的角，叫做復數(shù)的輻角，記作，其中適合的輻角的值，叫做

2、輻角的主值，記作說明：不等于零的復數(shù)的輻角有無限多個值，這些值中的任意兩個相差的整數(shù)倍（2）復數(shù)的三角形式：叫做復數(shù)的三角形式，其中，說明：任何一個復數(shù)均可表示成的形式其中為的模，為的一個輻角（3）復數(shù)的三角形式的運算：設(shè)，則 1）乘法：； 2）除法：； 3）乘方：； 4）開方：3、復數(shù)的幾何意義：（1）復數(shù)模的幾何意義：，即點到原點的距離，一般地即點到點的距離（2）復數(shù)加、減法的幾何意義：圖中給出的平方四邊形，可以直觀地反映出復數(shù)加、減法的幾何意義即，（3）復數(shù)乘、除法的幾何意義：設(shè)，則的幾何意義是把的對應(yīng)向量按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角（如果，就要把按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角，再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋?/p>

3、，所得向量即表示積，如圖，的幾何意義是把的對應(yīng)向量按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角（如果，就要把按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角，再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋叮玫南蛄考幢硎旧?、復數(shù)的指數(shù)形式：把模為1，輻角為（以弧度為單位）的復數(shù)用記號表示，即，由此任何一個復數(shù)就可以表示為形式，我們把這一表達式叫做復數(shù)的指數(shù)形式3、 難點知識剖析復數(shù)的幾何意義的理解是本講的難點由于復數(shù)集與平面點集間的一一對應(yīng)關(guān)系，使得復數(shù)問題常?？捎脦缀畏椒▉斫鉀Q，幾何問題常?？捎脧蛿?shù)語言來表述，要善于運用“數(shù)形結(jié)合”的解題思想來思考，分析這類問題，找出最簡捷的解題方法復數(shù)的?？梢詭椭覀儽硎境鲆恍┏Ｓ们€方程如圓：；線段中垂線：；橢圓：；雙曲

4、線：典型例題例1、已知，且，復數(shù)（1）求的三角形式；（2）若，求的取值范圍解析：（1）， 1）當時，則， 而，此時三角形式為 2）當時，則， 而，此時三角形式為（2）當， 而，；當， 而，評析：化含三角函數(shù)關(guān)系的復數(shù)為三角形式時，應(yīng)把握概念，準確運用有關(guān)三角公式例2、設(shè)，且，（1）存在實數(shù)、，使成立，求、；（2）若，求解析：（1）依題意可設(shè)，則，且， 即，且當時，當時，（2）若，則，即，例3、復數(shù)與滿足：，且，問：當為何值時，取得最大值和最小值？并求出這一最大值和這一最小值解析： 設(shè)，則，且，即，（顯然），即當時，解得或；當時，即或時，而時，例4、設(shè)復數(shù)、滿足：，其中，若、在復平面上所對應(yīng)的點

5、分別是、，求的面積解析：由復數(shù)及復數(shù)乘法的幾何意義，點在單位圓上，設(shè)其輻角主值為，點是，其輻角主值是，點是將逆時針旋轉(zhuǎn)角后對應(yīng)向量的終點，同理向量則是由向量逆時針旋轉(zhuǎn)后，再將模伸長為模的3倍而得到如圖所示：例5、已知復數(shù)滿足，求復數(shù)的模的最大、小值及對應(yīng)的解析：方法一：、， 而當時，當時，；而當時，方法二： 設(shè)，且當時，； 當時，高考中對復數(shù)的考查多集中在復數(shù)的概念以及復數(shù)的代數(shù)運算，對復數(shù)的三角形式的考查不多有時可能采取一題多法，即設(shè)復數(shù)的代數(shù)形式和復數(shù)的三角形式均可解，只不過運用三角形式解答時較方便基礎(chǔ)練習1、 選擇題1、復數(shù)的輻角主值是（）A BCD2、設(shè)，給出復數(shù)：，其中能確定為復數(shù)的

6、三角形式的有（）A3個B2個C1個D0個3、已知，（，），則（）A BCD4、若，則復數(shù)的輻角主值是（）A BCD5、若，則（）2、 BC0D16、設(shè)，若，則最小的正整數(shù)（）A1B2C5D77、在復平面內(nèi)，把復數(shù)對應(yīng)的向量按順時針方向旋轉(zhuǎn)，所得向量對應(yīng)的復數(shù)是（）4、 BCD8、是兩個非零復數(shù)，且分別對應(yīng)點、，則的充要條件是（）A B的實部為0 CD的虛部為09、復數(shù)滿足條件：，則的最大值是（）A BCD10、設(shè)（、），且，則復數(shù)的對應(yīng)點的軌跡是（）A 圓B拋物線C橢圓D雙曲線2、 綜合題11、已知和均為復數(shù)，且，為純虛數(shù)，求和的取值范圍12、設(shè)復數(shù)、分別對應(yīng)復平面上的、點，、的輻角分別為、，且的面積為定