轉(zhuǎn)幾類圓問題的隱性為顯性

1、“隱”性：條件若明若暗、隱而不含、含而不露.對于題目中顯然存在的圓，求解時大多沒有困難，而對于題目中隱性存在的圓，如果不能充分挖掘題中的信息，將圓化“隱”為“顯”者主要結(jié)合2013年全國高考試題，談?wù)勅绾螌A化“隱”為“顯”，以及圓變“顯”后給予解題的簡捷.1.借助伸縮變換，化橢圓為圓xyOPBAEO圖1圖2例1（2013年山東卷文科最后一題）在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,短軸長為2,離心率為.求橢圓的方程；為橢圓上滿足的面積為的任意兩點(diǎn),為線段的中點(diǎn),射線交橢圓與點(diǎn),設(shè),求實(shí)數(shù)的值.解（求解過程略）；利用伸縮變換，把圖1變換成圖2，方程變換成，則有，.因?yàn)椋?，又?/p>

2、所以，易得或.若，則,結(jié)合有，從而.同理時有.綜上的值為或.評注 本題充分體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，借助伸縮變換把“隱”在橢圓中的圓充分挖掘出來，將橢圓轉(zhuǎn)化為圓來處理，此法的運(yùn)算量小，參考答案更與之無法比擬.原因是：圓相對于橢圓而言，圓具有許多特有的性質(zhì)，解決問題相對橢圓而言顯然要簡單的多，運(yùn)算量當(dāng)然也減少了.但問題是變換前后圖形中的一些直線的位置關(guān)系與線段數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化呢？對于橢圓方程，通過進(jìn)行伸縮變換，橢圓變換為圓，實(shí)施這樣的變換后，若為坐標(biāo)系中的點(diǎn)，為變化后坐標(biāo)系中的點(diǎn).則有如下結(jié)論（證明過程略）：變換后封閉圖形的面積是變換前封閉圖形面積的倍，例如；若分線段的比為，則分線段的比為；

3、特殊地，若為中點(diǎn)，則為中點(diǎn)；若三點(diǎn)共線，則三點(diǎn)共線；若，則；若直線的斜率為，則直線的斜率為；若為橢圓的弦（不過點(diǎn)），為中點(diǎn)，則有，變換后為圓的弦（不過點(diǎn)），為中點(diǎn)且有；若為橢圓的弦（過點(diǎn)），為橢圓上不同于的點(diǎn)，則有，變換后為圓的直徑，為圓上不同于的點(diǎn)且有；若的斜率為，線段的長度為，則線段.利用上述結(jié)論可以方便的求解2013年全國卷（大綱）理科第8題、2013年北京卷理科第19題、2013年安徽卷理科第18題，2013年江西卷理科第20題、2012年湖北卷理科第21題、2012年浙江卷理科第21題、2011年江蘇卷第18題、2011年山東卷理科第22題.但需要注意的是：橢圓化圓只是一種方法，但畢

4、竟不是萬能的，僅僅是對一些特定的題目可以達(dá)到簡化運(yùn)算的目的.因此，在具體解決橢圓問題時要靈活挖掘“隱性”存在的圓.橢圓化圓只是讓我們多了一種選擇，當(dāng)然也就多了一條取勝之路. 例2(2013年安徽卷理科第13題)已知直線交拋物線于、，使得為直角，則取值范圍為.解設(shè)直線交軸于點(diǎn)，若要上存在點(diǎn)，使得為直角，只要以為直徑的圓與有交點(diǎn)即可（、除外），也就是使，即，解得或.因?yàn)椋?評注本題聯(lián)想到“直徑所對的圓周角為直角”這一性質(zhì)，通過構(gòu)造圓使得問題加以解決.在圓錐曲線、平面向量中涉及垂直的問題屢見不鮮，有些題目假若從圓這個角度加以思考，一定會帶來意想不到的效果.例3（2011年大綱全國卷理科第12題）

5、設(shè)向量滿足，若，與的夾角為，則的最大值等于.圖3解如圖3，構(gòu)造，則，.因?yàn)?，所以與的夾角為，又因?yàn)榕c的夾角為，所以,所以為直徑時最大，最大值為2.評注 本題聯(lián)想到“內(nèi)對角互補(bǔ)，四點(diǎn)共圓”這一性質(zhì)，直接構(gòu)造圓并結(jié)合圓的性質(zhì)加以解決.當(dāng)然，也可將本題結(jié)論推廣：若向量滿足，且與的夾角為，與的夾角為，則的最大值等于.1xyO圖4例4（2013年重慶卷理科第10題）在平面上，.若，則的取值范圍是.解如圖4，點(diǎn)、在以為圓心，半徑為1的圓上，點(diǎn)在以為圓心，半徑為在圓上時，考慮可知，四邊形，在中，由余弦定理得，即，所以，此時.當(dāng)點(diǎn)向原點(diǎn)靠近時，此時的；當(dāng)與原點(diǎn)重合時，.綜上可知的取值范圍是.評注 由，聯(lián)想到“

6、平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓”，可定出的位置.通過構(gòu)造圓，并發(fā)揮了向量“數(shù)、形一體”的優(yōu)勢.直觀化解答，是解答向量客觀題的常用方法.例5（2013年江蘇卷第15題）已知，若，求證：；設(shè)，若，求的值.xyAOCB圖5解令，則兩點(diǎn)在以為圓心，半徑為1的圓上，則.在中，因?yàn)?所以,即；如圖5，令，則.因?yàn)椋运倪呅螢榱庑?，且，又，所以?評注 本題求解巧妙之處在于構(gòu)造了單位圓，除了參考答案以外，這應(yīng)該是高考命題專家最愿意看到的解法.事實(shí)上，三角函數(shù)（參數(shù)方程）是圓“隱性”存在的主要載體之一.例6（2013年湖北卷理科第13題）設(shè),且滿足，則.解將實(shí)數(shù)作為空間坐標(biāo)系的三維，則方

7、程是球心在原點(diǎn)，半徑為1的球面，而方程，所以球和這個平面相切，故條件構(gòu)成的方程組有唯一解，容易解得.評注 本題把二維空間推廣到三維空間、直線推廣到平面、圓推廣到球，把三元代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)換成空間位置問題，快速、簡便、準(zhǔn)確地完成求解，起到了事半功倍的效果.例7（2013年江蘇卷第13題）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)定點(diǎn)，是函數(shù)圖象上一動點(diǎn)，若點(diǎn)之間的最短距離為，則滿足條件的實(shí)數(shù)的所有值為圖6解 （1）當(dāng)時，以為圓心，半徑為的圓與曲線相切，即，從而；（2）當(dāng)時，以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓與曲線相切，由得，所以，解得或.評注 本題求解的關(guān)鍵是利用對稱性把距離的最小值轉(zhuǎn)化成圓與曲線相切的問題，數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢展露無遺.

8、圖7例8 （2009年江西卷理科第16題）設(shè)有直線系M：，其中，對于下列四個命題中真命題的代號是.中所有直線均過一定點(diǎn)；存在定點(diǎn)不在中的任一條直線上；對于任意的正整數(shù),存在正邊形，其所有邊均在中的直線上；中的直線所能圍成的正三角形面積都相等.解圓的所有切線構(gòu)成的直線系為.由圖7顯然存在兩條平行的切線，故均不在圓的任意一條切線上，故,存在正六邊形滿足條件，故與正三角形的面積不相等，故正確.評注 本題求解的關(guān)鍵在于找出直線系對應(yīng)的圓，明確直線系由圓的所有切線構(gòu)成.一般地，圓的所有切線構(gòu)成的直線系為：，其中為參數(shù).反之，也可由直線系找到對應(yīng)圓的方程.因此，尋找正確的解題方向，是解題成功的一半.將圓化“隱”為“顯”，可以讓我們領(lǐng)略知識之間并不是孤立的，這也促使我們在研究數(shù)學(xué)問題時，要善于轉(zhuǎn)化，善于在知識之間建立合理關(guān)系，能將復(fù)雜問題合理地向簡單問題轉(zhuǎn)化.學(xué)習(xí)時要想攻克這個難點(diǎn)，需要學(xué)生平時章節(jié)學(xué)習(xí)時從數(shù)學(xué)本質(zhì)上去理解高中數(shù)學(xué)，耐心尋找“隱性”圓的藏身之處，充分挖掘其中的隱含條件.三角函數(shù)、復(fù)數(shù)、根式、向量、圓錐曲線常常是隱性存在圓的主要載體，復(fù)習(xí)時要適當(dāng)關(guān)注.另外，阿波羅尼斯圓也是高考考查的熱點(diǎn)，如：2013年江蘇卷、2008年江蘇卷、2006年四川卷、2003年北京春季高考、2000年全國卷等都出現(xiàn)了阿波羅尼斯圓.因此，有效挖掘題中所給信息，掌