高中數(shù)學(xué)專(zhuān)題講解之拋物線(xiàn)

1、拋物線(xiàn)考點(diǎn)1 拋物線(xiàn)的定義：平面上與一個(gè)定點(diǎn)F和一條直線(xiàn)（F不在上）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(xiàn)，點(diǎn)F叫做拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，定直線(xiàn)叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)。拋物線(xiàn)的定義中條件“F不在上”不可遺漏，否則，如果F在上，則軌跡為過(guò)F且與垂直的直線(xiàn)。題型： 利用定義,實(shí)現(xiàn)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線(xiàn)的距離之間的轉(zhuǎn)換例1、（1）已知點(diǎn)P在拋物線(xiàn)y2 = 4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q（2，1）的距離與點(diǎn)P到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)距離之和的最小值為（2）拋物線(xiàn)y=4上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是( ) A. B. C. D. 0例2、求平面內(nèi)到原點(diǎn)與直線(xiàn)距離相等的點(diǎn)的軌跡方程，并指出軌跡所表示的曲線(xiàn)。例3、求到點(diǎn)A的

2、距離比到直線(xiàn)的距離小1的點(diǎn)的軌跡方程。鞏固練習(xí)：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上，且、成等差數(shù)列， 則有 （）A B C D. 2.已知點(diǎn)F是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),M是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)最小時(shí), M點(diǎn)坐標(biāo)是 ( )A. B. C. D. 3.已知方程的拋物線(xiàn)上有一點(diǎn)M，點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離為5，求m的值。4、在正方體的側(cè)面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)與直線(xiàn)的距離相等,則動(dòng)點(diǎn)所在的曲線(xiàn)的形狀為( ) A1B1BAP(A)A1B1BAP(B)A1B1BAP(C)A1B1BAP(D)考點(diǎn)2 拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程題型：求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程例4、求滿(mǎn)足下列條件的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求對(duì)應(yīng)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程：(1)過(guò)點(diǎn)(-3,2) (2)焦點(diǎn)

3、在直線(xiàn)上鞏固練習(xí)：1、若拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)與雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)重合,則的值2、對(duì)于頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線(xiàn)，給出下列條件：焦點(diǎn)在y軸上；焦點(diǎn)在x軸上；拋物線(xiàn)上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6；拋物線(xiàn)的通徑的長(zhǎng)為5；由原點(diǎn)向過(guò)焦點(diǎn)的某條直線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂足坐標(biāo)為（2，1）.能使這拋物線(xiàn)方程為y2=10x的條件是_.（要求填寫(xiě)合適條件的序號(hào)）3、 若拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開(kāi)口向上，F(xiàn)為焦點(diǎn)，M為準(zhǔn)線(xiàn)與Y軸的交點(diǎn)，A為拋物線(xiàn)上一點(diǎn),且，求此拋物線(xiàn)的方程考點(diǎn)3 拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì) ()：標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點(diǎn)準(zhǔn)線(xiàn)范圍對(duì)稱(chēng)軸軸軸頂點(diǎn) （0，0）題型：拋物線(xiàn)中的最值問(wèn)題：例5、求拋物線(xiàn)上的點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離的最小值，并求

4、出P點(diǎn)的坐標(biāo)。例6、給定拋物線(xiàn)，設(shè)A，P是拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，且，求的最小值。例7、長(zhǎng)度等于3的線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，求AB的中點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離的最小值。題型：拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系問(wèn)題：例8、設(shè)A、B是拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)。例9、已知正方形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B在拋物線(xiàn)上，另兩個(gè)頂點(diǎn)C、D在直線(xiàn)上，如圖，求此正方形的邊長(zhǎng)。例10、已知拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上，設(shè)A、B是拋物線(xiàn)C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（AB不垂直于x軸）但，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)Q，求拋物線(xiàn)的方程。例11、設(shè)點(diǎn)O為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)且PQ為過(guò)

5、焦點(diǎn)的弦，若，求的面積。例12、如圖所示，拋物線(xiàn)y2=4x的頂點(diǎn)為O，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5，0)，傾斜角為的直線(xiàn)l與線(xiàn)段OA相交(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)O或點(diǎn)A)且交拋物線(xiàn)于M、N兩點(diǎn)，求AMN面積最大時(shí)直線(xiàn)l的方程，并求AMN的最大面積.例13、已知拋物線(xiàn)y2=2px(p0),過(guò)動(dòng)點(diǎn)M(a,0)且斜率為1的直線(xiàn)l與該拋物線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)A、B，且|AB|2p.(1)求a的取值范圍.(2)若線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)交x軸于點(diǎn)N，求NAB面積的最大值.解：(1)設(shè)直線(xiàn)l的方程為：y=xa,代入拋物線(xiàn)方程得(xa)2=2px,即x22(a+p)x+a2=0|AB|=2p.4ap+2p2p2,即4app2又p0,a.(2

6、)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中點(diǎn)C(x,y),由(1)知，y1=x1a,y2=x2a,x1+x2=2a+2p,則有x=p.線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)的方程為yp=(xap),從而N點(diǎn)坐標(biāo)為(a+2p,0）點(diǎn)N到AB的距離為從而SNAB=當(dāng)a有最大值時(shí)，S有最大值為p2.基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1.過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)作一條直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于A、B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于，則這樣的直線(xiàn)（ ）2.在平面直角坐標(biāo)系中，若拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到該拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為5，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 63.兩個(gè)正數(shù)a、b的等差中項(xiàng)是，一個(gè)等比中項(xiàng)是，且則拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( ) A B C

7、D4.如果，是拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為，F(xiàn)是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，若成等差數(shù)列且，則=（）A5 B6 C 7 D95、拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)為l，l與x軸相交于點(diǎn)E，過(guò)F且傾斜角等于60°的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A，ABl，垂足為B，則四邊形ABEF的面積等于（）A B C D6、設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，是拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，與軸正向的夾角為，則為題型、焦點(diǎn)弦問(wèn)題例14、已知拋物線(xiàn)，過(guò)焦點(diǎn)F的弦AB的直線(xiàn)傾斜角為，求AB的弦長(zhǎng)。例15、若AB是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦），且，則：，。例16、已知直線(xiàn)AB是過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F，求證：為定值。例17、已知AB是拋物線(xiàn)的過(guò)焦點(diǎn)F的弦，求證

8、：（1）以AB為直徑的圓與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相切。BAMNQPyxOF(2)分別過(guò)A、B做準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為M、N，求證：以MN為直徑的圓與直線(xiàn)AB相切。與準(zhǔn)線(xiàn)l相切例18、若拋物線(xiàn)方程為，過(guò)（，0）的直線(xiàn)與之交于A、B兩點(diǎn)，則OAOB。鞏固練習(xí)：1、若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)2、過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)A、B,若A、B在拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)上的射影為,則 ( ) A. B. C. D. 題型、中點(diǎn)弦問(wèn)題：例19、過(guò)點(diǎn)A，作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于B、C兩點(diǎn)，求BC中點(diǎn)P的軌跡方程。例20、若拋物線(xiàn)上存在兩點(diǎn)PQ關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，求m的取值范圍。鞏固練習(xí)：1、在拋物線(xiàn)上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為最短，求該

9、點(diǎn)的坐標(biāo)2、已知拋物線(xiàn)（為非零常數(shù)）的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線(xiàn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與拋物線(xiàn)相切的直線(xiàn)記為（1）求的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最??？3、設(shè)拋物線(xiàn)（）的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn) F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)點(diǎn)C在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上，且BCX軸證明直線(xiàn)AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O4、橢圓上有一點(diǎn)M（-4，）在拋物線(xiàn)（p>0）的準(zhǔn)線(xiàn)l上，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)也是橢圓焦點(diǎn).（1）求橢圓方程；（2）若點(diǎn)N在拋物線(xiàn)上，過(guò)N作準(zhǔn)線(xiàn)l的垂線(xiàn)，垂足為Q距離，求|MN|+|NQ|的最小值.5、已知拋物線(xiàn)C的一個(gè)焦點(diǎn)為F（，0），對(duì)應(yīng)于這個(gè)焦點(diǎn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-.（1）寫(xiě)出拋物線(xiàn)C的方程；（2）過(guò)F點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)C交于A、

10、B兩點(diǎn)，O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求AOB重心G的軌跡方程；（3）點(diǎn)P是拋物線(xiàn)C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓（x-3）2+y2=2的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別是M，N.當(dāng)P點(diǎn)在何處時(shí)，|MN|的值最??？求出|MN|的最小值.課后作業(yè)：一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1如果拋物線(xiàn)y 2=ax的準(zhǔn)線(xiàn)是直線(xiàn)x=-1，那么它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A（1, 0）B（2, 0）C（3, 0）D（1, 0）2圓心在拋物線(xiàn)y 2=2x上，且與x軸和該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)都相切的一個(gè)圓的方程是（）Ax2+ y 2-x-2 y -=0Bx2+ y 2+x-2 y +1=0Cx2+ y 2-x-2 y +1=0Dx2+ y 2-x-2 y

11、 +=03拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A（1，1）B（）CD（2，4）4一拋物線(xiàn)形拱橋，當(dāng)水面離橋頂2m時(shí)，水面寬4m，若水面下降1m，則水面寬為（）AmB 2mC4.5mD9m5平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)A（-2，0），且與直線(xiàn)x=2相切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程是（）Ay 2=2xBy 2=4xCy 2=8x Dy 2=16x6拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是x軸，拋物線(xiàn)上點(diǎn)（-5，m）到焦點(diǎn)距離是6，則拋物線(xiàn)的方程是（）Ay 2=-2xBy 2=-4xCy 2=2xDy 2=-4x或y 2=-36x7過(guò)拋物線(xiàn)y 2=4x的焦點(diǎn)作直線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)兩點(diǎn)，如果

12、x1+ x2=6，那么|AB|=（）A8B10C6 D48把與拋物線(xiàn)y 2=4x關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)按向量a平移，所得的曲線(xiàn)的方程是（）ABCD9過(guò)點(diǎn)M（2，4）作與拋物線(xiàn)y 2=8x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)l有（）A0條B1條C2條D3條10過(guò)拋物線(xiàn)y =ax2(a>0)的焦點(diǎn)F作一直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于P、Q兩點(diǎn)，若線(xiàn)段PF與FQ的長(zhǎng)分別是p、q，則等于（）A2aBC4a D二、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分）11拋物線(xiàn)y 2=4x的弦AB垂直于x軸，若AB的長(zhǎng)為4，則焦點(diǎn)到AB的距離為12拋物線(xiàn)y =2x2的一組斜率為k 的平行弦的中點(diǎn)的軌跡方程是13P是拋物線(xiàn)y 2=4x上一動(dòng)點(diǎn)

13、，以P為圓心，作與拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)相切的圓，則這個(gè)圓一定經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)Q，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是14拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，頂點(diǎn)在橢圓中心，則拋物線(xiàn)方程為三、解答題（本大題共6小題，共76分）15已知?jiǎng)訄AM與直線(xiàn)y =2相切，且與定圓C：外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程(12分)16已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是x軸，拋物線(xiàn)上的點(diǎn)M（3，m）到焦點(diǎn)的距離等于5，求拋物線(xiàn)的方程和m的值（12分）17動(dòng)直線(xiàn)y =a，與拋物線(xiàn)相交于A點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)B的坐標(biāo)是，求線(xiàn)段AB中點(diǎn)M的軌跡的方程(12分)18河上有拋物線(xiàn)型拱橋，當(dāng)水面距拱橋頂5米時(shí)，水面寬為8米，一小船寬4米，高2米，載貨后船露出水面上的部分高米，問(wèn)水面上漲到與

14、拋物線(xiàn)拱頂相距多少米時(shí)，小船開(kāi)始不能通航？(12分)19如圖，直線(xiàn)l1和l2相交于點(diǎn)M，l1l2，點(diǎn)Nl1以A、B為端點(diǎn)的曲線(xiàn)段C上的任一點(diǎn)到l2的距離與到點(diǎn)N的距離相等若AMN為銳角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線(xiàn)段C的方程(14分)20已知拋物線(xiàn)過(guò)動(dòng)點(diǎn)M（，0）且斜率為1的直線(xiàn)與該拋物線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)A、B，（）求的取值范圍；（）若線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)交軸于點(diǎn)N，求面積的最大值(14分)參考答案一選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）題號(hào)12345678910答案ADABCBACCC二填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分）112 1

15、2 13（1，0） 14三、解答題（本大題共6題，共76分）15（12分）解析：設(shè)動(dòng)圓圓心為M（x，y），半徑為r，則由題意可得M到C（0，-3）的距離與到直線(xiàn)y=3的距離相等，由拋物線(xiàn)的定義可知：動(dòng)圓圓心的軌跡是以C（0，-3）為焦點(diǎn)，以y=3為準(zhǔn)線(xiàn)的一條拋物線(xiàn)，其方程為16 (12分)解析：設(shè)拋物線(xiàn)方程為，則焦點(diǎn)F（），由題意可得，解之得或，故所求的拋物線(xiàn)方程為，17（12分）解析：設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），A（，），又B得消去，得軌跡方程為，即18（12分）解析：如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橋拱拋物線(xiàn)方程為，由題意可知，B（4，-5）在拋物線(xiàn)上，所以，得，當(dāng)船面兩側(cè)和拋物線(xiàn)接觸時(shí)，船不能通航，設(shè)

16、此時(shí)船面寬為AA，則A（），由得，又知船面露出水面上部分高為075米，所以=2米19(14分) 解析：如圖建立坐標(biāo)系，以l1為x軸，MN的垂直平分線(xiàn)為y軸，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)由題意可知：曲線(xiàn)C是以點(diǎn)N為焦點(diǎn)，以l2為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)的一段，其中A、B分別為C的端點(diǎn)設(shè)曲線(xiàn)段C的方程為，其中分別為A、B的橫坐標(biāo)，所以，由，得聯(lián)立解得將其代入式并由p>0解得，或因?yàn)锳MN為銳角三角形，所以，故舍去p=4，由點(diǎn)B在曲線(xiàn)段C上，得綜上得曲線(xiàn)段C的方程為20(14分) 解析：（）直線(xiàn)的方程為，將，得設(shè)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)兩個(gè)不同交點(diǎn)的坐標(biāo)為、，則又，解得（）設(shè)AB的垂直平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)Q，令坐標(biāo)為，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式

17、，得，又為等腰直角三角形，即面積最大值為1、拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是。2、已知是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，則線(xiàn)段的中點(diǎn)軌跡方程是。3拋物線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的拋物線(xiàn)方程是。4、頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以軸為對(duì)稱(chēng)軸且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi) 5、25、如圖是一種加熱水和食物的太陽(yáng)灶，上面裝有可旋轉(zhuǎn)的拋物面形的反光鏡，鏡的軸截面是拋物線(xiàn)的一部分，盛水和食物的容器放在拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)處，容器由若干根等長(zhǎng)的鐵筋焊接在一起的架子支撐。已知鏡口圓的直徑為12米,鏡深2米，若把盛水和食物的容器近似地看作點(diǎn)，則每根鐵筋的長(zhǎng)度為_(kāi)米. 6.5米 6、設(shè)F為拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)，A、B、C為該拋物線(xiàn)上三點(diǎn)，若則|FA|+|FB|

18、+|FC|=（ B）(A)9(B)6(C) 4 (D) 37、已知點(diǎn)及拋物線(xiàn)，若拋物線(xiàn)上點(diǎn)滿(mǎn)足，則的最大值為（ ）（A） （B） （C） （D）8已知：點(diǎn)P與點(diǎn)F（2，0）的距離比它到直線(xiàn)40的距離小2，若記點(diǎn)P的軌跡為曲線(xiàn)C。（1）求曲線(xiàn)C的方程。（2）若直線(xiàn)L與曲線(xiàn)C相交于A、B兩點(diǎn)，且OAOB。求證：直線(xiàn)L過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。解：（1）解法（A）：點(diǎn)P與點(diǎn)F（2，0）的距離比它到直線(xiàn)40的距離小2，所以點(diǎn)P與點(diǎn)F（2，0）的距離與它到直線(xiàn)20的距離相等。 -由拋物線(xiàn)定義得：點(diǎn)在以為焦點(diǎn)直線(xiàn)20為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)上， 拋物線(xiàn)方程為。 -) 解法（B）：設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則。當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得：，顯然，而，此時(shí)曲線(xiàn)不存在。當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得：。（2）， -(1分)，即， -分)直線(xiàn)為，所以-(分)-(分)由（a）（b）得：直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)。9、已知拋物線(xiàn),橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，它們?cè)谳S上有共同焦點(diǎn)，橢圓的對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸。（1）求橢圓的方程