選修1-2第一章統(tǒng)計(jì)案例1.1.3《回歸分析》課時(shí)3

1、精選課件11.1.31.1.3回歸分析的回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用基本思想及其初步應(yīng)用（第三課時(shí)）（第三課時(shí)）深圳市民辦學(xué)校高中數(shù)學(xué)教師歐陽(yáng)文豐深圳市民辦學(xué)校高中數(shù)學(xué)教師歐陽(yáng)文豐精選課件2建立回歸模型的基本步驟建立回歸模型的基本步驟(1)(1)確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量是預(yù)報(bào)變量(2)(2)畫(huà)出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀(guān)察它畫(huà)出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀(guān)察它們之間的關(guān)系們之間的關(guān)系( (如是否存在線(xiàn)性關(guān)系等如是否存在線(xiàn)性關(guān)系等) )(3)(3)由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類(lèi)型由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類(lèi)型

2、( (如我們觀(guān)察到數(shù)據(jù)呈線(xiàn)如我們觀(guān)察到數(shù)據(jù)呈線(xiàn)性關(guān)系，則選用線(xiàn)性回歸方程性關(guān)系，則選用線(xiàn)性回歸方程) )(4)(4)按一定規(guī)則按一定規(guī)則( (如最小二乘法如最小二乘法) )估計(jì)回歸方程中的參數(shù)估計(jì)回歸方程中的參數(shù)(5)(5)得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常( (如個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)如個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)殘差過(guò)大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性等殘差過(guò)大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性等) )若存在異若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等精選課件3(1)(1)參數(shù)參數(shù)R R2 2與相關(guān)系數(shù)與相關(guān)系數(shù)r r提示提示: :它們都是刻畫(huà)兩個(gè)變量之間的

3、的相關(guān)關(guān)系的它們都是刻畫(huà)兩個(gè)變量之間的的相關(guān)關(guān)系的, ,區(qū)區(qū)別是別是R R2 2表示解釋變量對(duì)預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率表示解釋變量對(duì)預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率, ,其表其表達(dá)式為達(dá)式為R R2 2=1- ;=1- ;相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)r r是檢驗(yàn)兩個(gè)變量相關(guān)性的強(qiáng)弱程度是檢驗(yàn)兩個(gè)變量相關(guān)性的強(qiáng)弱程度, ,其表達(dá)式為其表達(dá)式為 n2iii 1n2ii 1yyyy$nniii ii 1i 1nnnn222222iiiii 1i 1i 1i 1x x y yxy nx yr.x xy y( xnx)( yny)精選課件4（2 2）相關(guān)系數(shù)）相關(guān)系數(shù)r r與與R R2 2(1)R(1)R2 2是相關(guān)系數(shù)的平方是相

4、關(guān)系數(shù)的平方, ,其變化范圍為其變化范圍為0,1,0,1,而相關(guān)系而相關(guān)系數(shù)的變化范圍為數(shù)的變化范圍為-1,1.-1,1.(2)(2)相關(guān)系數(shù)可較好地反映變量的相關(guān)性及正相關(guān)或負(fù)相關(guān)系數(shù)可較好地反映變量的相關(guān)性及正相關(guān)或負(fù)相關(guān)相關(guān), ,而而R R2 2反映了回歸模型擬合數(shù)據(jù)的效果反映了回歸模型擬合數(shù)據(jù)的效果. .(3)(3)當(dāng)當(dāng)|r|r|接近于接近于1 1時(shí)說(shuō)明兩變量的相關(guān)性較強(qiáng)時(shí)說(shuō)明兩變量的相關(guān)性較強(qiáng), ,當(dāng)當(dāng)|r|r|接接近于近于0 0時(shí)說(shuō)明兩變量的相關(guān)性較弱時(shí)說(shuō)明兩變量的相關(guān)性較弱, ,而當(dāng)而當(dāng)R R2 2接近于接近于1 1時(shí)時(shí), ,說(shuō)說(shuō)明線(xiàn)性回歸方程的擬合效果較好明線(xiàn)性回歸方程的擬合效

5、果較好. .精選課件531表 325115662421117/y35322927252321C/0個(gè)個(gè)產(chǎn)卵數(shù)產(chǎn)卵數(shù)溫度溫度例：一只紅鈴蟲(chóng)產(chǎn)卵數(shù)例：一只紅鈴蟲(chóng)產(chǎn)卵數(shù)y和溫度和溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集到的一有關(guān)，現(xiàn)收集到的一組數(shù)據(jù)如下表組數(shù)據(jù)如下表1-3表，試建立表，試建立y與與x之間的回歸方程。之間的回歸方程。精選課件6畫(huà)出確定好的解釋變量畫(huà)出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀(guān)察它們之間的關(guān)系觀(guān)察它們之間的關(guān)系（1）是否存在線(xiàn)性關(guān)系？（2）散點(diǎn)圖具有哪種函數(shù)特征？（3）以指數(shù)函數(shù)模型為例，如何設(shè)模型函數(shù)？非線(xiàn)性關(guān)系非線(xiàn)性關(guān)系指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)、三次函數(shù)指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)、三次函

6、數(shù)41 . 1圖溫度溫度產(chǎn)卵數(shù)產(chǎn)卵數(shù)精選課件7 .,abxy線(xiàn)性回歸方程線(xiàn)性回歸方程我們稱(chēng)之為非我們稱(chēng)之為非時(shí)時(shí)當(dāng)回歸方程不是形如當(dāng)回歸方程不是形如cc21設(shè)指數(shù)函數(shù)曲線(xiàn) 其中 和 是待定參數(shù)。ecyxc12我們可以通過(guò)對(duì)數(shù)變換把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€(xiàn)性關(guān)系 這樣就可以利用線(xiàn)性回歸模型來(lái)建立z 與x回歸模型，進(jìn)而找到y(tǒng)與x的非線(xiàn)性回歸方程 。則變換后樣本點(diǎn)分布在直線(xiàn)的周?chē)?。?cb,clna(abxz21ylnz 現(xiàn)在問(wèn)題變?yōu)槿绾喂烙?jì)待定參數(shù) 和 ？cc21非線(xiàn)性回歸模型非線(xiàn)性回歸模型精選課件8.,51 . 1.4151 . 1用線(xiàn)性回歸方程來(lái)擬合因此可以一條直線(xiàn)的附近變換后的樣本點(diǎn)分布在看出中可以從

7、圖中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖給出了表784.5745.4190.4178.3045.3398.2946.1z35322927252321x41表產(chǎn)卵數(shù)的對(duì)數(shù)溫度51 . 1圖.843. 3272. 041xz到線(xiàn)性回歸方程中的數(shù)據(jù)得由表圖的樣本數(shù)據(jù)表的數(shù)據(jù)可以得到變換后由表, 4131(6)ey0.272x-3.843(1)精選課件9325115662421117y12251024841729625529441t51表另一方面另一方面, ,可以認(rèn)為圖可以認(rèn)為圖11-411-4中樣本點(diǎn)集中在某二次曲線(xiàn)中樣本點(diǎn)集中在某二次曲線(xiàn)因此可以對(duì)溫度變量做變換因此可以對(duì)溫度變量做變換, ,即令即令 然后建立然后建立y

8、y與與t t之間的線(xiàn)性回歸方程，從而得到之間的線(xiàn)性回歸方程，從而得到y(tǒng) y與與x x之間的排線(xiàn)性回之間的排線(xiàn)性回歸方程。歸方程。,2xt 的附近的附近, ,其中其中 和和 為待定參數(shù)為待定參數(shù). .43cc423cxcy 表表1-51-5是紅鈴蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)和對(duì)應(yīng)的溫度的平方，圖是紅鈴蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)和對(duì)應(yīng)的溫度的平方，圖1.1-61.1-6是相應(yīng)的散點(diǎn)圖是相應(yīng)的散點(diǎn)圖. .精選課件10.,61 . 1423下面介紹具體方法到還可以通過(guò)殘差分析得這個(gè)結(jié)論之間的關(guān)系與來(lái)擬合二次曲線(xiàn)即不宜用合它回歸方程來(lái)擬此不宜用線(xiàn)性因直線(xiàn)的周?chē)环植荚谝粭l的散點(diǎn)圖并與可以看出中從圖xycxcyty溫度的平方數(shù)卵產(chǎn)61 .

9、 1圖中用線(xiàn)性回歸模型擬合表的二次回歸方程關(guān)于下面建立的指數(shù)回歸方程關(guān)于前面已經(jīng)建立了方程歸需要建立兩個(gè)相應(yīng)的回殘差為比較兩個(gè)不同模型的51.,.,xyxy精選課件11 7.54.202x367.0y xy,54.202t367.0y ty,222的二次回歸方程為關(guān)于即的線(xiàn)性回歸方程關(guān)于得到的數(shù)據(jù) 的殘差計(jì)算公式分別為和則回歸方程列的數(shù)據(jù)行第第表示表用的擬合效果和個(gè)回歸方程可以通過(guò)殘差來(lái)比較兩76,1151.76ixi ; 7 , 2 , 1i ,eyy ye 843.3x272.0i1ii1i .7 , 2 , 1i ,54.202x367.0yy ye 2ii2ii2i .的擬合效果好7型

10、的擬合效果比模6因此模型,的殘差的絕對(duì)值小7模型的殘差的絕對(duì)值顯然比6模型從表中的數(shù)據(jù)可以看出.殘差的兩個(gè)回歸方程的給出了原始數(shù)據(jù)及相應(yīng)61表 精選課件12 965.77268.58107.4041003835.5397.19693.47e 928.32153.14889.8149.9760.1617.0518.0e 325115662421117y35322927252321x2161表 .7型的擬合效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于模6因此模型.432.15448,673.1450的殘差平方和分別為7和6算出模型容易61由表.擬合的效果越好,殘差平方和越小的模型.合效果的大小來(lái)判斷模型的擬兩個(gè)模型的殘差平方和這

11、時(shí)可以通過(guò)比較.則相反而另一些樣本點(diǎn)的情況,的小型差的絕對(duì)值比另一個(gè)模的殘某些樣本點(diǎn)上一個(gè)模型原因是在.較困難比較兩個(gè)模型的殘差比,在一般情況下21QQ精選課件13 ,b, xgya, xfy21和和對(duì)于給定的樣本點(diǎn) ,兩個(gè)含有未知數(shù)的模型 1122,nnxyxyxy其中a和b都是未知參數(shù),可以按如下的步驟來(lái)比較它們的擬合效果. .ba 其中 和 分別是參數(shù)a、b的估計(jì)值（1）分別建立對(duì)應(yīng)于兩個(gè)模型的回歸方程 ,b, xgy 2 a , xfy 1 ;y yQn1i22ii2 Q1 y yn1i21ii與（2）分別計(jì)算兩個(gè)回歸方程的殘差平方和 .b, xgy a , xfy ,;b, xgy

12、a , xfy ,QQ212121的好的效果不如反之的好的效果比則（3）若精選課件14非線(xiàn)性回歸問(wèn)題的處理方法(1)兩個(gè)變量不呈線(xiàn)性關(guān)系,不能直接利用線(xiàn)性回歸方程建立兩個(gè)變量的關(guān)系,可以通過(guò)變換的方法轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性回歸模型,如y= ,我們可以通過(guò)對(duì)數(shù)變換把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€(xiàn)性關(guān)系.令z=lny,則變換后樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在直線(xiàn)z=bx+a(a=lnc1,b=c2)的周?chē)?2c x1ce精選課件15(2)非線(xiàn)性回歸方程的求法根據(jù)原始數(shù)據(jù)(x,y)作出散點(diǎn)圖;根據(jù)散點(diǎn)圖,選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù);作恰當(dāng)?shù)淖儞Q,將其轉(zhuǎn)化成線(xiàn)性函數(shù),求線(xiàn)性回歸方程;在的基礎(chǔ)上通過(guò)相應(yīng)的變換,即可得非線(xiàn)性回歸方程.精選課件16(3)非線(xiàn)

13、性相關(guān)問(wèn)題中常見(jiàn)的幾種線(xiàn)性變換在實(shí)際問(wèn)題中,常常要根據(jù)一批實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)繪出曲線(xiàn),當(dāng)曲線(xiàn)類(lèi)型不具備線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系時(shí),可以根據(jù)散點(diǎn)分布的形狀與已知函數(shù)的圖象進(jìn)行比較,確定曲線(xiàn)的類(lèi)型,再作變量替換,將曲線(xiàn)改為直線(xiàn).下面是幾種容易通過(guò)變量替換轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)的函數(shù)模型:精選課件17y=a+ ,y=a+ ,令令t= t= ，則有，則有y=a+bty=a+bt；y=axy=axb b，令，令z=ln yz=ln y，t=ln xt=ln x，m=ln am=ln a，則有，則有z=m+btz=m+bt；y=aey=aebxbx，令，令z=ln yz=ln y，m=ln a,m=ln a,則有則有z=m+btz=m+b

14、t；y= ,y= ,令令z=ln y,t= z=ln y,t= ，m=ln am=ln a，則有，則有z=m+btz=m+bt；y=a+bln xy=a+bln x，令，令t=ln xt=ln x，則有，則有z=a+btz=a+bt；y=bxy=bx2 2+a,+a,令令t=xt=x2 2，則有，則有y=bt+a.y=bt+a.bx1xbxae1x精選課件18例例 某種食品每公斤的生產(chǎn)成本y(元)與該食品生產(chǎn)的重量x(公斤)有關(guān)，經(jīng)生產(chǎn)統(tǒng)計(jì)得到以下數(shù)據(jù)：x123510203050100200y10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15通過(guò)以上數(shù)據(jù)判斷該食

15、品的成本y(元)與生產(chǎn)的重量x(公斤)的倒數(shù)1/x之間是否具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系？若有，求出y關(guān)于1/x的回歸直線(xiàn)方程，并借此估計(jì)一下生產(chǎn)該食品500公斤時(shí)每公斤的生產(chǎn)成本是多少？(精確到0.01) 精選課件19精選課件20 于是 y 與1x的回歸方程為y8.973x1.125. 當(dāng) x500(公斤)時(shí)，y8.9735001.1251.14.即估計(jì)生產(chǎn)該食品 500 公斤時(shí)每公斤的生產(chǎn)成本是1.14 元 精選課件21X x精選課件222.為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系,隨機(jī)抽取5對(duì)父子的身高數(shù)據(jù)如下:則y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程為().A.y=x-1 B.y=x+1C.y=88+12x D.y=176父親身高父親身高x(cm)174176176176178兒子身高兒子身高y(cm)175175176177177答案:C解析:方法一:由線(xiàn)性回歸直線(xiàn)方程過(guò)樣本中心(176,176),排除A,B答案,結(jié)合選項(xiàng)可得C為正確答案.方法二:將表中的五組數(shù)值分別代入選項(xiàng)驗(yàn)證,可知y=88+12x最適合.精選課件23xx精選課件24xx精選課件25