2003年第1屆創(chuàng)新杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初中2年級(jí)第2試試題參考答案w

1、2003 年第一屆“創(chuàng)新杯”數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初中二年級(jí)第二試答案一. 選擇題1.B1 1 原式=- +尸=42+73 2-32.D設(shè)x3+ax2+bx+8=(x+1)(x+2)(x+c)分別取x= 1及x= -2,有3.C由MA=MB=MC,可得/ACB=90o。于是AC +BC =AB,即AC +BC =100。 又AC+BC+AB=24，即AC+BC=14。1 12 2 212SMBC=AC-BC = (AC+BC)2-(AC2+BC2) =(142-100)=24。2444. A1由0*m (m n) mnn,故有2(1+m%)(1-n%)(1+ mn )(1. mn)11#1+(m n)%1

2、-(m n)%22(1+ n%)(1m%)5. C顯然為等邊三角形，/ADC+/ADB=600。又厶DAB, DAC都是等腰三11角形，于是/DAC=-(180o/ADC), /DAB=1(180o/ADB)。22111/BAC=(180o-ZADC)+(180o/ADB)=180G(/ADC+/ADB)222=150o6.B2222222由14(a+b +c )=(a+2b+3c)，可得(2a-b) +(3a-c) +(3b-2c) =0,于是2a-b=3a-c=3b-2a,從而b=2a,c=3a,所以a:b:c=1:2:3.7. B原式=a3(c_b) +b3(a_c)+c3(b_a)丿原

3、工J =222a (c b) +b (a c) +c (b a)I1 a - b 8 = 0-84a - 280解得a =7b/4，于是a+b=21.其中分子=a (c-b)-a(c3-b3)+bc(c2-b2) = (c-b)a3-a(c2+bc+b2)+bc(b+c)=(c-b)b2(c-a)+bc(c-a)-a(c?-孑)=(c-b)(c-a)(b2+bc-a2-ac)=(c-b)(c-a)c(b-a)+(b-a)(b+a) = (c-b)(c-a)(b-a)(a+b+c)分母=a2(c-b)-a(c2-b2)+bc(c-b)=(c-b) a2-(c+b)a+bc=(c-b)(a-c)(

4、a-b)所以，原式=a+b+c9.C由x =2 - .2，得x-2=-、.2，兩邊平方后整理得X2-4X+2=0;x4-3x3-4x215x -7=(X2-4X+2)(X2+X-2)+5X+3=5X+3=5(2-、2 )-3=7-5、210.C111設(shè) 2x -一=t(t為整數(shù))，貝U x=-t -，故3x+1-t= t -t =-1 -224所以0t 75X12所以，d=213.(x-2003)(2003x+1)2 2原式=2003x -2003 x+x-2003=2003x(x-2003)+(x-2003)= (x-2003)(2003x+1)14.x=166,y=3,z=2將xyz+xy

5、+yz+zx+x+y+z=2003兩邊同時(shí)加1后，再將左邊因式分解得：(x+1)(y+1)(z+1)=2004=167X4X3,因x+1y+1z+12,于是x+仁167, y+仁4,z+仁3,從而x=166,y=3,z=215.31 3如圖，設(shè)等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為a,過(guò)A作AF丄BE于F.易知CD= _a2-49,CE= . a2-121,AF=、a2-16。因DC+CE=DE=AF, 故.a2匚49+、a2匚121=、a2二16, 解得a2=124于是等邊ABC的面積為 仝a2=31 -.3416.2401設(shè)n+99=a2, n+200=b2(a,b是正整數(shù)， 且ba),兩式相減得b2-

6、a2=101，即 b +a=101b = 51o(b+a)(b-a)=101,因101是質(zhì)數(shù)，故，解得，所以n= a -99=2401.i b _ a = 1a = 50仃.30o過(guò)A作DA丄AC交BC于D,則/DAB=/CAB-90o=/B,于是DA=DB;設(shè)DA=DB=DB=x,AC=y,則BC=、3y;于是x2+y2=(、3y-x)2, 所以x=3y。3因?yàn)?CD2=AC2+AD2=y2+( y)2=4y2,g卩CD= y,所以CD=2AD，故333/C=30oo18.5如下圖構(gòu)造一個(gè)幾何圖形：AB=4,AC丄AB且AC=1,BD丄AB，且BD=2 P是AB上任意一點(diǎn)，設(shè)AP=x, BP

7、=y,則CP=. x2_1,DP= , y4顯然當(dāng)P是AB和CD的交點(diǎn)時(shí)，CP+DP即 x21、.、y24 最小，最小值為CD。作CE丄BD于D，不難求得CD=、.CE2DE2= ,42一32=5。佃.1，16，0設(shè)分別買由20，35,59朵花組成的花束x,y,z束，先算出平均每朵花的價(jià)格：20朵花組成的花束每朵價(jià) =0.2元，36朵花組20成的花束每朵價(jià)0.16元,50朵花組成的花束每朵價(jià)=0.18元.3550所以為了買到最多的花朵，20朵花組成的花束買得越少越好，但是當(dāng)x=0時(shí)，6y+9z=100的左邊是3的倍數(shù)，而右邊不是，它沒有整數(shù)解。故取x=1，方 程整理后得2y+3z=32, y是

8、越大越好，故取y=16,z=0.22222222220. 362+372+382+392+402=412+422+432+442設(shè)最小的一個(gè)正整數(shù)為x-4,22222 2 2 2 2則(x-4) +(x-3) +(x-2) +(x-1) +x = (x+1) +(x+2) +(x+3) +(x+4)解得x=0(舍去)或x=40。三. 解答題21.證明：將已知等式變形，得Vaaab 1 bbc rcCca-0，A(1-abc)2=0,所以abc=1 22.證明：過(guò)G作GQ丄BP于Q,因?yàn)樗倪呅蜝CFG是正方形，故BC=BG,/ GBC=90Q從而/1 +Z3=90Q因?yàn)?BAC=90o,從而/2+Z3=90o,故/ 仁/2。所以GQBABAC,GQ=AB,BQ=AC。因?yàn)锳BDE四邊形是正方形，所以/DBA=90o, AB=BD,又/DBP=90o=ZGQP,Z4=Z5,所以DBPGQP,于是BP=QP。11所以