排隊論課件課件

1、排隊論課件課件隨機過程與數學建模隨機性和確定性是一對矛盾，它們既對立又統(tǒng)一。一般的問題不是能明確劃分的，常常兩種性質都有，用不同的假設來處理。1.隨機型問題隨機型問題的最優(yōu)化常常是對目標函數的數學期望求最優(yōu)。因此首先需要知道概率分布，再寫出目標函數的數學期望的表達式進而解決問題。這里很可能用到求函數的期望。例題：一個私人牙科診所很受歡迎，病人絡繹不絕。來的有病 名概 率 治療時間平均 A 1/2 20分鐘 10 B 1/3 30分鐘 10 C 1/6 90分鐘 15三種病，一名醫(yī)生每天上午和下午分別工作3.5小時，都是早8點掛的號，上午和下午分別掛多少號最適合？平均看一個病人的時間顯然是35分

2、鐘，3.5小時應該看6人。大家想過沒有，這樣將會有一半的時間不能正常吃午飯！如果6個人都是C病，全看完要9個小時！那我們應該有什么樣的結論呢？好像沒什么好做的。真正要解決這個問題就要用到隨機過程的理論和方法。再舉一例：豹在逐漸靠近羊的時候是匍匐前進，一旦羊發(fā)現了豹開始逃走時豹就起身追趕。假設羊不能發(fā)現50米之外的豹，到了15米羊就必然發(fā)現豹，怎樣描述羊和豹在相距x米時的發(fā)現概率。這是一個很讓人深思的問題。從視覺角度看發(fā)現一個物體應該和物體的像的面積成正比，這樣概率可看作是x的函數p(x)，并且是在15處取1，50處取0,中間是遞減的，進而是x的二次函數。但是注意p(x)不是密度函數，那它是什么

3、呢？2.隨機過程初步知識在概率論中學過隨機向量(x1,x2,xn)，相關學過聯合分布、邊緣分布、條件分布等概念，一起研究許多個比單個研究方便。把隨機向量的概念推廣，一起研究無窮多個隨機變量，就是隨機過程。注意無窮多有兩種：可列多和連續(xù)多，對應就有隨機序列和隨機過程兩個概念。有限多和無限多有本質區(qū)別。例1 用x(t,)記（0，t)中 接到的呼叫數。不同的t是不同隨機變量,不同的是不同的樣本曲線。例2 用x(t,)記微粒在水面布朗運動漂浮時橫坐標。例3 用x(n,),n=1,2,記相互獨立同分布的伯努利隨機變量序列，取值0和1，相應概率q和p，稱為伯努利過程。 取值為0,1,2,稱為二項計數過程，

4、或隨機游動。例4 用x(n,)記第n代生物群體的數量。1( ,)( ,)nkY nX k定義 設X(t),t0是一個隨機過程，取定t,X(t)是一個隨機變量，它的分布函數( , )( ),0,)F t xP X txtT xR稱為X(t)的一維分布函數，相應也有一維概率密度等概念。定義 設X(t),t0是一個隨機過程，取定s,t,X(s),X(t)是一個二維隨機變量，它的分布函數( , ; ,)( ),( ), , ,0,)F s t x yP X sx X tys tT x yR稱為(X(s),X(t)的二維分布函數。定義 設X(t),t0是一個隨機過程，取定t1,t2,tn， X(t1),

5、X(t2),X(tn)是一個n維隨機變量，它的分布函數111111( , ; ,) ( ),( ),0, )nnnnnnF tt xxP X txX txttT xxR隨機過程的數字特征，對于 ( ),X t t T稱為均值函數；定義：()() ,mtEXttT稱為方差函數；()() ,DtDXttT(, )c o v (),( ),Cs tXsXts tT稱為協方差函數；(, )()( ),Rs tEXsXts tT稱為相關函數；介紹一本教材：研究生教學用書“隨機過程及應用”電子科技大學應用數學學院 陳良均 朱慶棠 高教出版社定義：如果對任意的正整數n及任意的t1,t2,tnT,隨機變量X(

6、t1),X(t2),X(tn)相互獨立，稱過程是獨立過程。3.幾種重要的隨機過程例 伯努利過程是獨立過程。定義：如果對任意的正整數n及任意的t1t20,隨機變量X(t+h)-X(s+h)與X(t)-X(s)有相同的概率分布，稱過程是平穩(wěn)的獨立增量過程。例 二項計數過程是平穩(wěn)的獨立增量過程性質1 如果X(t),t0是平穩(wěn)獨立增量過程，X(0)=0，則 (1)均值函數 m(t)=mt, m為常數； (2)方差函數 D(t)=2t, 為常數； (3)協方差函數 C(s,t)=2mins,t。性質2 獨立增量過程的有限維分布由一維分布和增量分布確定。定義：給定隨機過程X(t),tT如果對任意的正整數n

7、及任意的t1,t2,tnT,隨機變量X(t1),X(t2),X(tn)的聯合概率分布為n維正態(tài)分布，稱過程X(t),tT是正態(tài)過程（高斯過程）。定義：如果隨機過程W(t),tT滿足下列條件： (1)W(0)=0; (2)EW(t)=0; (3)具有獨立增量； (4)t0,W(t)N(0,2t),(0) 稱W(t),tT是參數為2的維納過程。性質1 維納過程是平穩(wěn)獨立增量過程。性質2 維納過程是正態(tài)過程。性質3 維納過程是馬爾可夫過程。性質4 維納過程是均方連續(xù)、均方不可導、均方可積二階矩過程。性質5 維納過程是非平穩(wěn)過程，但為平穩(wěn)獨立增量過程。4.泊松過程定義1：如果取非負整數值的計數過程N(

8、t),t0滿足： (1)N(0)=0; (2)具有獨立增量; (3)對任意的0s0,N(t) P(t)( ) ( ).1,2,.!kttP N tkekk二維分布 ts0 ( ), ( ) ( ), ( )( ) ( ) ( )( )().!()!kjk jtP N sj N tkP N sj N tN skjP N sj P N tN skjs t sej kj 協方差函數 C(s,t)=min(s,t)相關函數 R(s,t)=min(s,t)+2st泊松過程的性質性質1 泊松過程是平穩(wěn)獨立增量過程；性質2 泊松過程是馬爾可夫過程；性質3 泊松過程是生滅過程；性質4 泊松過程是均方連續(xù)、均方

9、不可導、均方可積的二階矩 過程；性質5 泊松過程是非平穩(wěn)過程，但為平穩(wěn)增量過程；N(t)表示0,t)內出現的事件次數，用1,2,n分別表示第一、二、n次事件發(fā)生的時間，稱k為事件第k次出現的時間，又叫事件點；Tk表示從第k-1次事件發(fā)生到第k次事件的等待時間，又稱為點間間距。Tk= k- k-1,k=1,2, n, 0=0k =T1+T2+Tk,k=1,2,n證：T1t表示第一次事件在t之后出現，于是N(t)=0，反之 也是，那么T1t= N(t)=0，進而PT1t=PN(t)=0 。性質6 設N(t),t0為參數為的泊松過程，Tn,n=1,2,為點 間間距序列，則Tn,n=1,2,.是相互獨

10、立的隨機變量，且都服 從參數為的指數分布。所以FT1(t)=1- PN(t)=0=1-e-t,t0 ,又顯然有FT1(t)=0,t0,于是T1服從參數為的指數分布。 PT2t T1=s1=P在(s1,s1+t)內沒有事件出現 T1=s1=PN(s1+t)-N(s1)=0=PN(t)=0=e-t同樣得到T2服從指數分布，由增量的獨立性知T1與T2獨立。再從數學歸納法得證。的含義是強度，比如單位時間里進入超市的平均人數，從而1/ 的含義應該是單位人數的時間，即每人的平均間隔時間。幾何分布是離散型的無記憶型分布。伯努利實驗場合首次成功出現所在的次數服從幾何分布。 P=k=qk-1p,k=1,2,無記

11、憶性就是需證:P=m+k m=P=k.P =m+kP =m+k m mmmPPqm+k-1k-1，pq左=pq=右證：指數分布是連續(xù)型的無記憶型分布無記憶性就是需證:Ps+t s=Pt.證：P s+tP s+t s sssPPe- (s+t)-t，e左=e=右兩種無記憶分布常被用來描述無磨損性的壽命。比如酒店使用的玻璃杯，用次數記錄的壽命。比如窗戶上面安裝的玻璃，用時間長度記錄的壽命。性質7 設N(t),t0為參數為的泊松過程，n,n=1,2,為事 件點序列，則n(n,),即概率密度為1,0( )()0 ,0nnttetftnt證:從nt=N(t) n知，n的分布函數11()( )( ),0!

12、()()( )( )(1)!(1)!ktnknkknttntknkntF tPtP N tnetkttf tFteetekkn當t0,i=1,2,nT1t2tn 有11221111()( ),(),.,()()()nnnnnnnnP X txX txX txX txP X txX tx則稱X(t),tT為馬爾可夫過程，簡稱馬氏過程，定義中的性質稱為馬爾可夫性，也是一種無記憶性，稱無后效性。定義 對馬爾可夫過程X(t),tT,條件概率 p(s,t;x,y)=PX(t)y|X(s)=x 稱為馬氏過程的轉移概率函數。X(t)取值的全體稱為狀態(tài)空間，T稱為參數集。根據狀態(tài)空間和參數集的無窮多性質可以分

13、類。 離散參數馬氏鏈是一個重要的基礎理論部分，有很多結果。對連續(xù)參數馬氏鏈我們比較細致地學習。11112211()( ),(),.,()()()nnnnnnnnP X tiX tiX tiX tiP X tiX ti定義1 X(t),t0,狀態(tài)空間為E=0,1,2,，如果對于任意n個時刻0T1t2tn0,使得對一切i,jE都有pij(t0)0,則此鏈為遍歷的齊次馬氏鏈。即 存在且與i無關，并且極限分布是唯一的平穩(wěn)分布。lim( )0, ( ,)ijjtptijE 0101(,.,.)(,.,.)0,1,( ),( )nnjjjiijjEiEvvvVptP t 性質5 對固定的i,j,函數pij

14、(t)是t0的一致連續(xù)函數。性質6 滿足連續(xù)性條件的連續(xù)參數齊次馬氏鏈，存在下列極限 00( )1( )lim;lim,.ijiiiiiijttp tp tqqqijtt其中qi表示在時刻t時通過狀態(tài)i的通過速度；qij表示在時刻t時從狀態(tài)i轉移到狀態(tài)j的速度。qi，qij統(tǒng)稱轉移速度。定義 設連續(xù)參數齊次馬氏鏈X(t),t0狀態(tài)空間E=0,1,s,下面s+1階方陣：ssssssssqqqqqqqqqqqqqqqqQ.210211212011211100020100稱為齊次馬氏鏈X(t),t0的狀態(tài)轉移速度矩陣，簡稱Q矩陣。由連續(xù)性條件和導出定義，顯然有jiqjiqpijiiij)0(,即P,(+0)=Q性質7 設齊次馬氏鏈X(t),t0,狀態(tài)空間E=0,1,s其轉移速度Eijijiiijqqq, 0下面將進一步討論pij(t)的無窮小性質。性質8 設X(t),t0為連續(xù)參數齊次馬氏鏈,當qi+時滿足科爾莫格羅夫后退微分方程iEijijqqEikkjikijiijtpqtpqdttdp)()()