高中物理奧林匹克競(jìng)賽專題--氣體動(dòng)理論

1、熱熱 學(xué)學(xué) 篇篇自然界中物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)形式多種多樣，前面已經(jīng)討論了自然界中物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)形式多種多樣，前面已經(jīng)討論了物質(zhì)的物質(zhì)的機(jī)械運(yùn)動(dòng)機(jī)械運(yùn)動(dòng)和和電磁運(yùn)動(dòng)電磁運(yùn)動(dòng)這兩種基本形式。下面將這兩種基本形式。下面將研究物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的另一種基本形式研究物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的另一種基本形式分子熱運(yùn)動(dòng)。分子熱運(yùn)動(dòng)。熱學(xué)：研究分子熱運(yùn)動(dòng)極其與其他運(yùn)動(dòng)形式之間的互熱學(xué)：研究分子熱運(yùn)動(dòng)極其與其他運(yùn)動(dòng)形式之間的互相轉(zhuǎn)化所遵循的規(guī)律。相轉(zhuǎn)化所遵循的規(guī)律。1第七章第七章 氣體動(dòng)理論氣體動(dòng)理論 5656學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)熱力學(xué)熱力學(xué)研究構(gòu)成物質(zhì)的大量微觀粒子的熱運(yùn)動(dòng)使物體研究構(gòu)成物質(zhì)的大量微觀粒子的熱運(yùn)動(dòng)使物體反映出來(lái)的規(guī)律反映出來(lái)的規(guī)律 如果不管物質(zhì)

2、的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，只從宏觀角度去如果不管物質(zhì)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，只從宏觀角度去討論系統(tǒng)的討論系統(tǒng)的p,T,V, 熱學(xué)熱學(xué)如果從物質(zhì)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)出發(fā)去討論系統(tǒng)的如果從物質(zhì)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)出發(fā)去討論系統(tǒng)的p,T,V, 與微觀上的關(guān)系與微觀上的關(guān)系氣體動(dòng)理論氣體動(dòng)理論首先給出一些重要的基本概念首先給出一些重要的基本概念1 1、幾個(gè)基本概念、幾個(gè)基本概念21 1、熱力學(xué)系統(tǒng)與外界、熱力學(xué)系統(tǒng)與外界2 2、平衡態(tài)與狀態(tài)參量、平衡態(tài)與狀態(tài)參量平衡態(tài)平衡態(tài)非平衡態(tài)非平衡態(tài) 將要研究的對(duì)象稱為將要研究的對(duì)象稱為“熱力學(xué)系統(tǒng)熱力學(xué)系統(tǒng)”，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱“系統(tǒng)系統(tǒng)”，除，除此之外的一切環(huán)境稱為此之外的一切環(huán)境稱為“外界外界”1 1、幾個(gè)基

3、本概念、幾個(gè)基本概念大量原子分子組成的大量原子分子組成的孤立系孤立系 mE封閉系封閉系 mE開放系開放系mE絕熱系絕熱系Q 3何為平衡態(tài)和非平衡態(tài)？何為平衡態(tài)和非平衡態(tài)？例：例： I真空真空II在沒有外界影響情況下，系統(tǒng)不發(fā)生在沒有外界影響情況下，系統(tǒng)不發(fā)生任何宏觀變化的狀態(tài)任何宏觀變化的狀態(tài)“平衡態(tài)平衡態(tài)”狀態(tài)參量狀態(tài)參量當(dāng)一系統(tǒng)處于平衡態(tài)時(shí)，具有一系列可以用當(dāng)一系統(tǒng)處于平衡態(tài)時(shí)，具有一系列可以用確定的物理量來(lái)表征的特征量確定的物理量來(lái)表征的特征量平衡態(tài)平衡態(tài)平衡態(tài)平衡態(tài)非平衡態(tài)非平衡態(tài)p，V，T，=m/V，n=N/V，4獨(dú)立狀態(tài)參量獨(dú)立狀態(tài)參量狀態(tài)方程狀態(tài)方程狀態(tài)參量空間狀態(tài)參量空間V1V

4、I2VII 非平衡態(tài)沒有確定的非平衡態(tài)沒有確定的狀態(tài)參量狀態(tài)參量，不能以參量空間的點(diǎn)表示，不能以參量空間的點(diǎn)表示各處壓強(qiáng)溫度密各處壓強(qiáng)溫度密度度等都不一致等都不一致Tp,TV,Vp,),(),(),(TpVVTVppVpTT p1p2pI真空真空II11,Vp22,Vp5有了參量空間后：有了參量空間后：平衡態(tài)平衡態(tài)參量空間的一個(gè)點(diǎn)參量空間的一個(gè)點(diǎn)3 3、熱力學(xué)過(guò)程，過(guò)程曲線、熱力學(xué)過(guò)程，過(guò)程曲線將系統(tǒng)從將系統(tǒng)從I I態(tài)經(jīng)過(guò)一系列的中間態(tài)最后達(dá)到態(tài)經(jīng)過(guò)一系列的中間態(tài)最后達(dá)到IIII態(tài)態(tài)這種狀態(tài)的演化過(guò)程稱為這種狀態(tài)的演化過(guò)程稱為“熱力學(xué)過(guò)程熱力學(xué)過(guò)程”準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程非準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程非準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程

5、 I真空真空II準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程例：準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程例：11V,P11V,P 11V,P 11V,P I I, ,IIII，以及每一個(gè)中間態(tài)均為平衡態(tài)，以及每一個(gè)中間態(tài)均為平衡態(tài)準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程4I11,VpII22V,P22,Vp6V1VI2VIIV1VI2VIIIII I真空真空II 無(wú)過(guò)程曲線！無(wú)過(guò)程曲線！5過(guò)程曲線過(guò)程曲線p1p2p1p2pp11,Vp11,Vp 11Vp 22,Vp7結(jié)論：結(jié)論：準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程過(guò)程曲線過(guò)程曲線過(guò)程過(guò)程曲線上每一點(diǎn)曲線上每一點(diǎn) 過(guò)程中某個(gè)平衡態(tài)過(guò)程中某個(gè)平衡態(tài)無(wú)限緩慢進(jìn)行的過(guò)程無(wú)限緩慢進(jìn)行的過(guò)程4 4、溫度、溫度T 單位單位開爾文開爾文KtT 273攝氏溫

6、度攝氏溫度85 5、氣體分子運(yùn)動(dòng)論的統(tǒng)計(jì)規(guī)律、氣體分子運(yùn)動(dòng)論的統(tǒng)計(jì)規(guī)律由大量事實(shí)告訴我們：當(dāng)系統(tǒng)由極大量的粒子構(gòu)成時(shí)，由大量事實(shí)告訴我們：當(dāng)系統(tǒng)由極大量的粒子構(gòu)成時(shí)，粒子的行為服從一個(gè)特定規(guī)律粒子的行為服從一個(gè)特定規(guī)律-統(tǒng)計(jì)規(guī)律統(tǒng)計(jì)規(guī)律 例：例：“枷爾頓板枷爾頓板”實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)熱力學(xué)系統(tǒng)熱力學(xué)系統(tǒng)大量原子分子呈現(xiàn)出的行為：必然性和有規(guī)則性大量原子分子呈現(xiàn)出的行為：必然性和有規(guī)則性個(gè)別分子原子的行為：偶然性無(wú)規(guī)性個(gè)別分子原子的行為：偶然性無(wú)規(guī)性 對(duì)熱力學(xué)系統(tǒng)對(duì)熱力學(xué)系統(tǒng)采用統(tǒng)計(jì)的方法加以研究采用統(tǒng)計(jì)的方法加以研究說(shuō)明：說(shuō)明：大量粒子的行為呈現(xiàn)出一種規(guī)律性大量粒子的行為呈現(xiàn)出一種規(guī)律性統(tǒng)計(jì)規(guī)律統(tǒng)計(jì)規(guī)律

7、 偶然性偶然性無(wú)規(guī)性無(wú)規(guī)性必然性必然性有規(guī)性有規(guī)性單個(gè)粒子單個(gè)粒子大量粒子大量粒子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92、理想氣體理想氣體一、狀態(tài)方程一、狀態(tài)方程 實(shí)驗(yàn)給出：質(zhì)量一定的任何氣體，在溫度較高，壓強(qiáng)較實(shí)驗(yàn)給出：質(zhì)量一定的任何氣體，在溫度較高，壓強(qiáng)較小的條件下小的條件下p,V,T三者之間關(guān)系為三者之間關(guān)系為m: :氣體質(zhì)量氣體質(zhì)量kg; ; M: :摩爾質(zhì)量摩爾質(zhì)量kg/mol V: :體積（體積（m3、L）R: :氣體普適恒量（氣體普適恒量（8.31J/m

8、olK） 1 1L L=10=10-3-3m3 3 p: :氣體壓強(qiáng)氣體壓強(qiáng) N/m2 ( (Pa) ) 1Pa=1/1.013 105atm( (大氣壓大氣壓) )RTMpVm m mM m m M氣體摩爾數(shù)氣體摩爾數(shù)Mm10a. .氣體溫度恒定氣體溫度恒定pV= =恒量恒量（等溫過(guò)程）（等溫過(guò)程）b. . 壓強(qiáng)壓強(qiáng)p= =恒量恒量或或V/T= =恒量恒量（等壓過(guò)程）（等壓過(guò)程）c. . 體積恒定體積恒定V= =恒量恒量或或p/T = =恒量恒量（等容過(guò)程）（等容過(guò)程） VpcT cp cV 值得注意的是：值得注意的是：RTMmpV 是是狀態(tài)狀態(tài)方程方程而：而：cTcpV 或或cpcTV 或

9、或/cVcTp 或或/均為均為過(guò)程過(guò)程方程（準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程）方程（準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程）RTMpVm m mM11例：容器內(nèi)氧氣例：容器內(nèi)氧氣0.1kg，壓強(qiáng)，壓強(qiáng)10atm，溫度，溫度4 470C。因漏氣，。因漏氣，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后壓強(qiáng)變?yōu)樵瓉?lái)的經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后壓強(qiáng)變?yōu)樵瓉?lái)的5/85/8，溫度變?yōu)?，溫度變?yōu)?70C。問(wèn)。問(wèn)容器的體積容器的體積V=? ? 漏了多少氧氣？漏了多少氧氣？VTpm,111漏氣前漏氣前VTpm,222漏氣后漏氣后以容器中氣體為系統(tǒng)。已知：以容器中氣體為系統(tǒng)。已知：mol/kgM31032 kg.m101 atmp101 KT320472731 atmp10852 KT300272732

10、 求求V及漏了多少氧氣及漏了多少氧氣21mmm 111RTMmVp 33351111021. 81010323201021. 81 . 0mMpRTmV 當(dāng)壓強(qiáng)單位當(dāng)壓強(qiáng)單位atm?1Pa=1/1.013 105atm(大氣壓大氣壓)12VTpm,222漏氣后漏氣后對(duì)末態(tài)對(duì)末態(tài)222RTMmVp 3001021. 81021. 810851032533222 RTVMpmkg.210676 所以所以kg.mmm221103330667010 通過(guò)該例說(shuō)明：狀態(tài)方程給出的是在每一通過(guò)該例說(shuō)明：狀態(tài)方程給出的是在每一個(gè)確定的平衡態(tài)下個(gè)確定的平衡態(tài)下p,V,T三者之間的關(guān)系三者之間的關(guān)系13二、理想

11、氣體的壓強(qiáng)和溫度的微觀本質(zhì)二、理想氣體的壓強(qiáng)和溫度的微觀本質(zhì)對(duì)每個(gè)分子用對(duì)每個(gè)分子用1 1 沖量定理；沖量定理；2 2 一些統(tǒng)計(jì)假設(shè)一些統(tǒng)計(jì)假設(shè)氣體的壓強(qiáng)氣體的壓強(qiáng) p與微觀量的關(guān)系：與微觀量的關(guān)系：VNn 為為分子數(shù)密度；分子數(shù)密度；fm為為一個(gè)分子的質(zhì)量一個(gè)分子的質(zhì)量2v為為分子速度平方的平均值分子速度平方的平均值 222221211iNvN)vvv(Nviv為第為第i個(gè)分子的個(gè)分子的速度速度引入分子的引入分子的平均平動(dòng)動(dòng)能：平均平動(dòng)動(dòng)能：222121vm)vm(fft ,k 于是有：于是有：t ,knp 32 231vnmpf N個(gè)分子個(gè)分子imiv14tknp,32 :pN個(gè)分子構(gòu)成的

12、氣體系統(tǒng)的壓強(qiáng)個(gè)分子構(gòu)成的氣體系統(tǒng)的壓強(qiáng)宏觀量宏觀量t ,k ：平均一個(gè)分子的平動(dòng)動(dòng)能：平均一個(gè)分子的平動(dòng)動(dòng)能微觀量微觀量結(jié)論是：結(jié)論是：什么是什么是壓強(qiáng)的微觀本質(zhì)？壓強(qiáng)的微觀本質(zhì)？壓強(qiáng)的大小反映了分子平均平動(dòng)動(dòng)能的大?。ǚ肿訑?shù)密度壓強(qiáng)的大小反映了分子平均平動(dòng)動(dòng)能的大小（分子數(shù)密度不變情況下）不變情況下）下面我們?cè)儆懻撌裁词菧囟鹊奈⒂^本質(zhì)？下面我們?cè)儆懻撌裁词菧囟鹊奈⒂^本質(zhì)？22,3)21(3232vmnvmnnpfftk VmmVNnmff231vp VNn Vm 22)(31v 15溫度的微觀本質(zhì)？溫度的微觀本質(zhì)？VRTMNmVRTMmpf nVN 分子數(shù)密度分子數(shù)密度RTMmnf fmN

13、M0 0N阿伏伽得羅常數(shù)阿伏伽得羅常數(shù)TNRn0 0NRk 玻爾茲曼常數(shù)玻爾茲曼常數(shù)nkTp 由由RTMmpV 狀態(tài)方程狀態(tài)方程tknp,32 nkTp tknp,32 比較比較kTt ,k23 分子的平均平動(dòng)動(dòng)能分子的平均平動(dòng)動(dòng)能微觀量的統(tǒng)計(jì)平均微觀量的統(tǒng)計(jì)平均 宏觀量宏觀量什么是什么是溫度的微觀本質(zhì)？溫度的微觀本質(zhì)？溫度的大小反映了分子的平均平動(dòng)動(dòng)能的大?。ㄖ苯樱囟鹊拇笮》从沉朔肿拥钠骄絼?dòng)動(dòng)能的大?。ㄖ苯樱?6RTMmpV nkTp tknp,32 231vp 22)(31v kTt ,k23 宏觀量之間關(guān)系宏觀量之間關(guān)系宏觀量與微觀量之間關(guān)系宏觀量與微觀量之間關(guān)系17三、內(nèi)能三、內(nèi)能

14、 能均分定理能均分定理自由度自由度用來(lái)確定物體空間位置的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)。記以用來(lái)確定物體空間位置的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)。記以 i a. .單原子分子單原子分子 )z , y,x( （平動(dòng)自由度）（平動(dòng)自由度）ti 3b.雙原子分子雙原子分子 剛性分子剛性分子)z , y,x( 6個(gè)自由度個(gè)自由度?1222 coscoscosrti 235平動(dòng)自由度平動(dòng)自由度轉(zhuǎn)動(dòng)自由度轉(zhuǎn)動(dòng)自由度非剛性分子（高溫時(shí)）非剛性分子（高溫時(shí)）r 由于此時(shí)振動(dòng)自由度由于此時(shí)振動(dòng)自由度“開放開放”srti 6123振動(dòng)自由度振動(dòng)自由度18前得到氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能前得到氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能kT)vvv(mvmzyxfft ,k232

15、1212222 假定：分子的速度按方向均勻分布假定：分子的速度按方向均勻分布zvvvyx222zyxvvv)v(mvmvmvmfzfyfxf22223121212121 kTkTtk21=)23(31=31=, 結(jié)論結(jié)論：分子的平均平動(dòng)動(dòng)能：分子的平均平動(dòng)動(dòng)能 是均勻分配在每個(gè)平動(dòng)是均勻分配在每個(gè)平動(dòng)自由度上的（自由度上的（ ）kT23kT21？當(dāng)分子還兼有轉(zhuǎn)動(dòng)？當(dāng)分子還兼有轉(zhuǎn)動(dòng). .振動(dòng)自由度時(shí)，是否應(yīng)該每個(gè)自由振動(dòng)自由度時(shí)，是否應(yīng)該每個(gè)自由度上都有度上都有 的平均動(dòng)能？的平均動(dòng)能？kTkT2 21 1xvyvzv? 2v 31 0kTv21212 xfmkTv21212 yfmkTv212

16、12 zfm3 t221vmft ,k 19可以證明：分子的每個(gè)自由度上都有可以證明：分子的每個(gè)自由度上都有 的平均動(dòng)能的平均動(dòng)能能量按自由度均分原理能量按自由度均分原理 kT21所以：所以：平均一個(gè)分子的總動(dòng)能平均一個(gè)分子的總動(dòng)能 例：例：?jiǎn)卧臃肿託怏w單原子分子氣體 He ,Ne ,Ar 3 tikTk23 雙原子分子氣體雙原子分子氣體 H2 ,O2 ,N2常溫及以下常溫及以下523 rtikTkTkTr ,kt ,kk252223 高溫時(shí)（振動(dòng)自由度開放）高溫時(shí)（振動(dòng)自由度開放）6123 srtikTkTkTkTs ,kr ,kt ,kk26212223 kTik2 20由于每個(gè)分子除了

17、動(dòng)能外可能還有由于每個(gè)分子除了動(dòng)能外可能還有勢(shì)能。勢(shì)能。所以平均一所以平均一個(gè)分子的個(gè)分子的總能量總能量應(yīng)為：應(yīng)為：pk +=分分子子內(nèi)內(nèi)原原子子間間p pp p skp, 振動(dòng)學(xué)證明：諧振動(dòng)在一個(gè)周期內(nèi)的振動(dòng)學(xué)證明：諧振動(dòng)在一個(gè)周期內(nèi)的平均振動(dòng)勢(shì)能和平均振動(dòng)動(dòng)能相等平均振動(dòng)勢(shì)能和平均振動(dòng)動(dòng)能相等skp, s對(duì)具有對(duì)具有 個(gè)振動(dòng)自由度的分子個(gè)振動(dòng)自由度的分子 = =+pk kT)srt (kTskTi22122 平均一個(gè)分子的總能量應(yīng)為：平均一個(gè)分子的總能量應(yīng)為：對(duì)具有一個(gè)振動(dòng)自由度的分子對(duì)具有一個(gè)振動(dòng)自由度的分子srti kT21 kT2s kTi2 k 分子平均總動(dòng)能分子平均總動(dòng)能平動(dòng)平動(dòng)

18、, ,轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng), ,振動(dòng)振動(dòng)？210NMmN 0=NRkkT)srt (NMmNE2210 RT)srt(MmE221 現(xiàn)氣體中有現(xiàn)氣體中有N個(gè)分子，個(gè)分子，= k kT Ts sr rt tk kT TS Sk kT Ti i)(22122 E氣體內(nèi)能記以氣體內(nèi)能記以R Mm1 1摩爾氣體的內(nèi)能摩爾氣體的內(nèi)能RT)srt (Emol221 特別：特別：s=0=0時(shí)時(shí)RTiEmol2 結(jié)論：理想氣體的內(nèi)能只與溫度有關(guān)結(jié)論：理想氣體的內(nèi)能只與溫度有關(guān)RTiMmE2 RTMmpV pVi2 pVi2 irt 22kTttk2, kTrk2r , kTsk2s , kTik2 skp, kT2s k

19、TsrtkTSkTi)2(2122 RTsiMmE2 pVi2s RTiEmol2s pVi2s 平均一個(gè)分子的平均一個(gè)分子的理想氣體（理想氣體（N個(gè)分子的）內(nèi)能個(gè)分子的）內(nèi)能23例：在容積為例：在容積為2.0 10-3m3的容器中有內(nèi)能為的容器中有內(nèi)能為6.75 102J剛性剛性雙原子分子理想氣體。（雙原子分子理想氣體。（1）求壓強(qiáng)；）求壓強(qiáng)；（2 2）分子總數(shù)為）分子總數(shù)為5.4 1022個(gè)，求分子平均平動(dòng)動(dòng)能和氣體個(gè)，求分子平均平動(dòng)動(dòng)能和氣體的溫度的溫度RTiMmRTsiMmE22 5Pa1035. 1525 VEp由分子轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能貢獻(xiàn)由分子轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能貢獻(xiàn)由分子平動(dòng)動(dòng)能貢獻(xiàn)由分子平動(dòng)動(dòng)能貢獻(xiàn)

20、?EENtk53, J1050. 75321, NEtk kTtk23, K36232, kTtk 5/35/2理想氣體溫度只與分子的平均平動(dòng)動(dòng)能有關(guān)理想氣體溫度只與分子的平均平動(dòng)動(dòng)能有關(guān)pV25 RTMmpV )(,rktkNE 5/35/2rktkNN, 24課堂練習(xí)課堂練習(xí)1：請(qǐng)給出下列各式的物理意義：請(qǐng)給出下列各式的物理意義：kT211kT232kTi23RTi24RTMm235RTiMm26m 氣體的質(zhì)量，氣體的質(zhì)量，M該氣體的摩爾質(zhì)量該氣體的摩爾質(zhì)量分子一個(gè)自由度上的平均動(dòng)能或平均振動(dòng)勢(shì)能分子一個(gè)自由度上的平均動(dòng)能或平均振動(dòng)勢(shì)能分子的平均平動(dòng)動(dòng)能或單原子分子的平均能量分子的平均平動(dòng)

21、動(dòng)能或單原子分子的平均能量分子的平均總動(dòng)能分子的平均總動(dòng)能一摩爾剛性分子理想氣體的內(nèi)能一摩爾剛性分子理想氣體的內(nèi)能摩爾剛性分子理想氣體的內(nèi)能摩爾剛性分子理想氣體的內(nèi)能摩爾單原子分子理想氣體的內(nèi)能摩爾單原子分子理想氣體的內(nèi)能RTsiMm27 摩爾理想氣體的內(nèi)能，且為振動(dòng)自由度開放摩爾理想氣體的內(nèi)能，且為振動(dòng)自由度開放4216783，5kTsrt)(218 kTsrt)2(219 平均一個(gè)分子的總能量平均一個(gè)分子的總能量 925課堂練習(xí)課堂練習(xí)2 水蒸氣分解為同溫度的氫氣和氧氣，即水蒸氣分解為同溫度的氫氣和氧氣，即H2OH2+O2/2,也就是也就是1mol的水蒸氣可分解為同溫度的的水蒸氣可分解為同

22、溫度的1mol氫氣和氫氣和1/2mol氧氣，不計(jì)振動(dòng)自由度，求此過(guò)程中內(nèi)氧氣，不計(jì)振動(dòng)自由度，求此過(guò)程中內(nèi)能的增量。能的增量。6OH2 iRTRTEEmol3260H,12 5OH22 i和和252H,RTEmol 252120,2RTEmol 41545252RTRTRTE 12EEE 415RT RT3 43RT 263 麥克斯韋分子速率分布函數(shù)麥克斯韋分子速率分布函數(shù) 討論對(duì)象：平衡態(tài)理想氣體討論對(duì)象：平衡態(tài)理想氣體 分子數(shù)分子數(shù)N , ,體積體積V, , 分子質(zhì)量分子質(zhì)量mf , ,速度速度 v, , 不計(jì)重力不計(jì)重力 分子有多大的概率其速率出現(xiàn)在分子有多大的概率其速率出現(xiàn)在 范圍內(nèi)范

23、圍內(nèi) 0 10(m/s)； 10 20(m/s)； 20 30(m/s) 1N N2N N3N N),(321N NN NN NN個(gè)分子按速率的分布個(gè)分子按速率的分布N NN Ni ivvvii ivvvi vi iN NN N/N N/N N/NNi確定的宏觀態(tài)確定的宏觀態(tài)N NV V2v3v1v 連續(xù)取值連續(xù)取值 0vxvyvzv“分組”“分組”1不論分子速度的方向如何不論分子速度的方向如何2不管分子在容器中位置如何不管分子在容器中位置如何按速度的大小分組按速度的大小分組愈大愈大分子速率取值在這一區(qū)域的機(jī)會(huì)愈多分子速率取值在這一區(qū)域的機(jī)會(huì)愈多27v1N2NiNivvvi 推廣到一般推廣到一

24、般：“速率分布速率分布”就是要指出就是要指出NNvdvd vvfNNvd)(d 比例系數(shù)含于比例系數(shù)含于)(vf 22-2eddvAvvNNvf 分子速率分布函數(shù)分子速率分布函數(shù)?d vNvvvvd oo? N/？v)(vf由統(tǒng)計(jì)理論可以得到由統(tǒng)計(jì)理論可以得到P174 (7-3-11)1v2v或：或：速率在速率在 范圍內(nèi)的分子數(shù)范圍內(nèi)的分子數(shù) 占總分占總分子數(shù)的比子數(shù)的比 為多少？為多少？dNvvvvd NNv/dvvvd vNd速率在速率在 范圍內(nèi)的分子數(shù)范圍內(nèi)的分子數(shù) 為多少？為多少？麥克斯韋速率分布函數(shù)麥克斯韋速率分布函數(shù)fm分子質(zhì)量分子質(zhì)量2/3)2(4),(kTmTmAAff kTm

25、f22 28 NdvdNvv f的物理意義的物理意義1 1分子速率在分子速率在v附近、單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)附近、單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)dNv占總占總分子數(shù)的比分子數(shù)的比2 2對(duì)每個(gè)分子而言，速率出現(xiàn)在對(duì)每個(gè)分子而言，速率出現(xiàn)在v附近單位速率間隔內(nèi)的附近單位速率間隔內(nèi)的概率概率（1）做）做 曲線曲線v)v(fvvNNvfdd)( vvfd)(為為v 附近附近dv范圍的范圍的曲線下的面積曲線下的面積vvvd NNd pvpv最概然速率最概然速率小窄條給定的速率小窄條給定的速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比總分子數(shù)的比對(duì)速率分布函數(shù)的進(jìn)一步討論：對(duì)速率分布函數(shù)的進(jìn)一步討論： 的物理意

26、義如何？的物理意義如何？問(wèn)問(wèn)smf/500ov500501 22-2eddvAvvNNvf 29（2） 00d)(dvvfNNN1 分布函數(shù)的分布函數(shù)的歸一化條件歸一化條件（3 3）f(v)與與T 有關(guān)（當(dāng)分子質(zhì)量有關(guān)（當(dāng)分子質(zhì)量 一定時(shí)）一定時(shí)）fmv v)(v vf f0小小T T大大T T小小p pv v大大p pv v(4) (4) 與與 有關(guān)（當(dāng)溫度有關(guān)（當(dāng)溫度T一定時(shí)）一定時(shí)）)v(ffm小小p pv v大大p pv vv v)(v vf f0大大fm小小fm kTvm-ffvkTmvNNvf222/32e)2(4dd 30vvNNvfdd)( 1 1分子速率在分子速率在v附近、單

27、位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)附近、單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)dNv占總占總分子數(shù)的比分子數(shù)的比2 2對(duì)每個(gè)分子而言，速率出現(xiàn)在對(duì)每個(gè)分子而言，速率出現(xiàn)在v附近單位速率間隔內(nèi)的附近單位速率間隔內(nèi)的概率概率vvvd 小窄條給定的速率小窄條給定的速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比總分子數(shù)的比 kTvm-ffvkTmvNNvf222/32e)2(4dd 31（5 5）由由 可求出許多分子微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值可求出許多分子微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值)v(f 平均分子速率平均分子速率 viivNNNvNvNv )(12211 vvvfNNvvdd MRTv60. 1 vvfNNd)(d 用到用到MRTv 8 分子

28、方均根速率分子方均根速率2v 2v vvfvNNvvdd222其中其中 為摩爾質(zhì)量為摩爾質(zhì)量 M M)(1222121 NvNvN2iivNN MRT3 MRT 8 MRTv32 若有任意與分子速度若有任意與分子速度有關(guān)的微觀量有關(guān)的微觀量)(vgg？ 22-2evAvvf 32對(duì)任意一個(gè)關(guān)于分子速率對(duì)任意一個(gè)關(guān)于分子速率v的函數(shù)的函數(shù)g g(v)，其統(tǒng)計(jì)平均值，其統(tǒng)計(jì)平均值vvfvggd)()(0 如如221vmft ,k 則則 vvfvmftkd)21(20, NvgNgd)(1N0 vvfNNd)(d vvNfd)(1v2vvN 21dvvNNvvNfd)( 2121d)(d)()(vv

29、vvvvNfvvNfvg)(2211 NgNggN/NNgii vvNfNd)(d )(221121 NgNggvv N / NvgNgvvd)(121 N 1v2vvvNfd)( 2121d)(d)()(vvvvvvfvvfvgg對(duì)所有分子求平均對(duì)所有分子求平均對(duì)速率在對(duì)速率在v1v2之之間的間的分子求平均分子求平均 vvfvmfvvvvtkd)21(22121, 33除了以上兩個(gè)平均值外，還有一個(gè)常用到的速率除了以上兩個(gè)平均值外，還有一個(gè)常用到的速率3 3）最概然速率）最概然速率vp與與f(v)的極值點(diǎn)相應(yīng)的速率的極值點(diǎn)相應(yīng)的速率 kTvm-ffvkTmvNNvf222/32e)2(4dd

30、 A A222v ve eA Av vv vf f)( 2由極值條件由極值條件0d)(d vvf0122 v 1 v fpmkTv21 okNR fomNM MRTv60. 1 MRTv32 MRTvp2 稱為氣體的三個(gè)特征速率稱為氣體的三個(gè)特征速率vvNNvfdd)( pvv2vMRTMRT22 MRmkf 342322 pvv kTvm-ffvkTmvNNvf222/32e)2(4dd MRTv60. 1 MRTv32 MRTvp2 氣體的三個(gè)特征速率氣體的三個(gè)特征速率MRTmkTvfp22 fpmkTv22 kTmvfp212 fm2 kTfmkT2 22e)1(4dd22/32pvv-

31、pvvvNNvf 35 vNNvfdd)5( （1 1）速率在）速率在v附近單位速率間隔附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比 NNvvfdd)3( （2 2）速率在）速率在v v+dv間隔內(nèi)的分間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比子數(shù)占總分子數(shù)的比 21d)2(vvvvf 21d1vvNN（3 3）速率在）速率在v1 v2間隔內(nèi)的分子間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比數(shù)占總分子數(shù)的比 21d)1(vvvvNf 21dvvN（4 4）速率在）速率在v1 v2間隔內(nèi)的分間隔內(nèi)的分子數(shù)子數(shù)（5 5）速率在）速率在v1 v2間隔內(nèi)的分間隔內(nèi)的分子的平均速率子的平均速率課堂練習(xí)：下列各式的

32、物理意義是什么？請(qǐng)用連接線表示課堂練習(xí)：下列各式的物理意義是什么？請(qǐng)用連接線表示出來(lái)出來(lái) 2121dd)4(vvvvvvfvvvf36Fv例：導(dǎo)體中自由電子的運(yùn)動(dòng)可看做類似氣體分子運(yùn)動(dòng)。故例：導(dǎo)體中自由電子的運(yùn)動(dòng)可看做類似氣體分子運(yùn)動(dòng)。故常稱導(dǎo)體中的電子為電子氣。設(shè)導(dǎo)體中有常稱導(dǎo)體中的電子為電子氣。設(shè)導(dǎo)體中有N個(gè)自由電子，個(gè)自由電子，電子的最大速率電子的最大速率vF. .電子的速率出現(xiàn)在電子的速率出現(xiàn)在v v+dv內(nèi)的概率為：內(nèi)的概率為：vANvd420 vvFFvv NNd0A 其中其中 為恒量為恒量 vf1 1）寫出電子氣中電子的速率分布函數(shù)）寫出電子氣中電子的速率分布函數(shù) vNNvfdd

33、ANv24 0 vvF0Fvv 134d4d430202 FvvvNAvvNAvvNAFF343FvNA 2 2）求常數(shù)）求常數(shù)A 1d )(d00 vvfvvfFv由歸一化條件由歸一化條件373)畫速率分布曲線畫速率分布曲線 vNNvfddANv24 0 vvF0Fvv )v(fv0Fv4)4)求電子的平均速率求電子的平均速率 及速率倒數(shù)的平均值及速率倒數(shù)的平均值 v)v(1 FFvvdvvNAvvNAvvvvfv030204d)4(dFFvNAv434 FFFvvvvvNAvvNAvvvfvv0200d4d)4(1d1)1(FFvvNA2322 343FvNA v)v(11 v v385)

34、5)求電子的平均動(dòng)能（設(shè)電子質(zhì)量為求電子的平均動(dòng)能（設(shè)電子質(zhì)量為m） vvfvmvvfmvtd21d212020 25321Fkvm 2202022534FVVvAdvNvvdvvfvvFF 所以所以Fvv43 注意：前面已得出注意：前面已得出顯然顯然222169vvvF 6）求）求 內(nèi)的電子數(shù)內(nèi)的電子數(shù)Fvv FvvNNdvfgvgd)(0 vNNvfdd)( )v(fv0Fvv v ANvvf24 NvvNANFvv6437d42 用到用到343FvNA F Fv vv v43 N NvvfNvvfNFFvvvvd)(d)( 39oa0v02voa0v02v)(vNfv例：例：有有N個(gè)質(zhì)量

35、均為個(gè)質(zhì)量均為mf的同種氣體分子，速率分布如圖。的同種氣體分子，速率分布如圖。（1）說(shuō)明曲線與橫坐標(biāo)所圍面積的意義；）說(shuō)明曲線與橫坐標(biāo)所圍面積的意義；（2 2）由）由N和和v0表示出表示出a的值；的值； 020)d(SvvvNfN 002020ddvvNNNNN分分子子總總數(shù)數(shù) N （3 3）速率在）速率在v0/23 3v0/2之間的分子數(shù)之間的分子數(shù)00212)2(21avvaaN 870av 870v 032vN127N （4 4）分子的平均平動(dòng)動(dòng)能）分子的平均平動(dòng)動(dòng)能 000020)(vvavvavvNf 0202tk,d)(21vfvvfvm 00022002tk,d21d21vvfv

36、fvNavmvNvavvm NN203631vmf 0021Savav 032vNa 40以上討論中以上討論中討論對(duì)象：平衡態(tài)下的理想氣體。分子數(shù)討論對(duì)象：平衡態(tài)下的理想氣體。分子數(shù)N, ,體積體積V，分子，分子質(zhì)量質(zhì)量mf不計(jì)重力不計(jì)重力 1.1.不管分子的速度的方向如何不管分子的速度的方向如何2.2.不論分子在容器內(nèi)的空間不論分子在容器內(nèi)的空間位置如何。位置如何。只考慮只考慮N個(gè)分子按速率的分布個(gè)分子按速率的分布。相應(yīng)的規(guī)律。相應(yīng)的規(guī)律麥?zhǔn)纤俾史植见準(zhǔn)纤俾史植?kTmvvevkTmNdvdNvf222/32)2(4- dvvv xvyvzvvdNvdvVd vevkTmNdNvvfkTmv

37、vd)2(4d2-22/32 41麥克斯韋速度分布麥克斯韋速度分布kTmvzyxvekTmvvvNdNvf22/32)2(ddd)( 速度速度分布函數(shù)分布函數(shù)zyxkTmvvvvvekTmNdNddd222/32 不論分子在容器內(nèi)的空間位置如何不論分子在容器內(nèi)的空間位置如何考慮考慮N個(gè)分子按速個(gè)分子按速度的分布度的分布速度在速度在 范圍內(nèi)的分子數(shù)范圍內(nèi)的分子數(shù) 占總分子數(shù)占總分子數(shù)N的比的比 為多少？為多少？vvvd vNd zzzyyyxxxvvvvvvvvvddd vevkTmNdNvvfkTmvvd)2(4d2-22/32 速率速率分布函數(shù)分布函數(shù)xvyvzvvdNvvdzyxvvvvv

38、dddd42 vdN)(vfzyxvvvdddv42xvyvzv vevkTmNNvvfkTmvvd)2(4dd2-22/32 xvyvzvxvdyvdzvdxvyvzvvdNkTmvzyxvekTmdvdvNdvdNvf22/32)2()( vNdzyxvvvvvdddd42 zyxkTmvvvvvekTmNNddd)2(d2-22/32 2v v42vvd zzzyyyxxxvvvvvvvvvdddv3dv vdvf3kTvvvmzyxvzyxekTmdvdvNdvdNvf2)(2/3222)2()( 434.分子平均自由程分子平均自由程d為簡(jiǎn)單起見：設(shè)一個(gè)分子以為簡(jiǎn)單起見：設(shè)一個(gè)分子以

39、運(yùn)運(yùn)動(dòng)，其他分子靜止不動(dòng)動(dòng)，其他分子靜止不動(dòng)在在t秒內(nèi)走過(guò)路程為秒內(nèi)走過(guò)路程為vVNn t vdn2 21dn 更精確的計(jì)算給出更精確的計(jì)算給出221dn 自由程自由程分子連續(xù)兩次碰撞之間自由通過(guò)的直線路程分子連續(xù)兩次碰撞之間自由通過(guò)的直線路程 t v折線折線d2v圓柱體內(nèi)分子數(shù)圓柱體內(nèi)分子數(shù)分子平均自由程分子平均自由程N(yùn)V,1 2 3 動(dòng)分子在動(dòng)分子在t t時(shí)間內(nèi)平均碰撞次數(shù)時(shí)間內(nèi)平均碰撞次數(shù)碰撞的頻繁程度碰撞的頻繁程度球心在該體積中的分子球心在該體積中的分子碰撞碰撞分子數(shù)密度分子數(shù)密度t v t vdn2 碰一次碰一次在柱體中碰撞了這么多次則共走了在柱體中碰撞了這么多次則共走了 自由程有長(zhǎng)

40、有短自由程有長(zhǎng)有短折柱體折柱體445 偏離平衡態(tài)氣體的遷移現(xiàn)象偏離平衡態(tài)氣體的遷移現(xiàn)象粘滯、熱傳導(dǎo)和擴(kuò)散現(xiàn)象粘滯、熱傳導(dǎo)和擴(kuò)散現(xiàn)象遷移現(xiàn)象遷移現(xiàn)象一、粘滯現(xiàn)象一、粘滯現(xiàn)象管道內(nèi)氣體流動(dòng)時(shí)流速的分布管道內(nèi)氣體流動(dòng)時(shí)流速的分布xyyudddSSdduu u相對(duì)運(yùn)動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)f dfd內(nèi)摩擦力內(nèi)摩擦力或或粘滯力粘滯力y)(yuu ?|d| f)dd(yuSd |d| f粘滯系數(shù)粘滯系數(shù)理論計(jì)算給出理論計(jì)算給出 vnmf31 45從宏觀來(lái)看從宏觀來(lái)看兩相鄰流層互施粘滯力兩相鄰流層互施粘滯力Sduud uf dfd從微觀上看從微觀上看流動(dòng)動(dòng)量增大流動(dòng)動(dòng)量增大流動(dòng)動(dòng)量減小流動(dòng)動(dòng)量減小umf由于熱運(yùn)動(dòng)的原因：由于熱運(yùn)動(dòng)的原因：上方分子帶著較大的流動(dòng)動(dòng)量移動(dòng)到面元上