矩陣的若爾當標準型及簡單應用

1、矩陣的及若爾當標準型及簡單應用摘要： 矩陣的若爾當標準形是線性代數(shù)的一個重要的的組成部分，他通過數(shù)字矩陣的相似變換得到。矩陣的若爾當標準型理論在數(shù)學、理論力學、計算方法、物理、化學及數(shù)學的其他領域都有極其廣泛應用。 每個n級得復數(shù)矩陣A都與一個若爾當形矩陣相似，這個若爾當形矩陣除去其中若爾當塊的排列順序外是被矩陣A唯一決定的，它稱為A的若爾當標準形。對于n階矩陣來說 ，如果他的特征根方程有重根且重根的個數(shù)等于其相應的特征向量個數(shù)時，此n階矩陣就可通過相似變換化為對角形。 本文主要通過研究矩陣的極小多項式、可逆矩陣P的求法，以及若而當標準型的幾種求解方法，對若而當標準型矩陣進行探討。 

2、關鍵詞：若爾當 線性變換 矩陣 標準定義1： 設是一個復數(shù)，矩陣 ，其中主對角上的元素都是，緊鄰主對角線下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做屬于的一個若爾當（或若爾當塊）. 當=0時，就是所謂的冪零若爾當矩陣.定理1 ： 設是維向量空間的一個線性變換，都是的一切互不相同特征值，那么存在的一個基，關于這個基的矩陣有形式 這里=，而都是屬于的若爾當塊，證： 設的最小多項式是，而在復數(shù)域上是不可約的因式分解，這里是互不相同的特征值，是正整數(shù)。 又=ker ，所以空間有直和分解= 對于每一，令是在上的限制，那么是子空間的一個冪零線性變換，而子空間可以分解為一循環(huán)子空間的直和：. 在每一循環(huán)子空間里，

3、取一個循環(huán)基，湊成的一個基，那么關于這個基的矩陣有形狀 這里是冪零若爾當塊。 令，那么=+，于是對于加上基來說，的矩陣是這里都是屬于的若爾當塊。 對于每一子空間，按以上方式選取一個基，湊起來成為的基，那么關于這個基的矩陣就是有定理所求的形式（2）.注意 ： 在矩陣（2）里，主對角上的第塊，是的矩陣.而子空間，顯然由唯一確定，而出現(xiàn)在每一里的若爾當塊里由唯一確定的，因而是由唯一確定。定義2 ： 形式如的階矩陣，其中每一都是一個若爾當塊，叫做一個若爾當標準形式.例如：都是若爾當標準形式.定理2： 復數(shù)域上每一階矩陣都與一個當爾當標準形式相似，除了各若爾當塊排列的次序外，與相似的若爾當標準形式是由唯

4、一確定的。證： 在一個對角線分塊矩陣里，重新排列各個小塊矩陣的次序顯然得到矩陣，在由若爾當塊唯一性得到證明。定理3 ：（1）設為上的維線性空間，線性變換：的特征多項式分解為上的一次式的積.， 這里，是弱特征空間的直和=，又，dim=,在上的限制|的特征多項式和最小多項式為。（2） 設矩陣（，）的特征多項式分解為上一次式積.det,。這時，存在正則矩陣， 方陣的結(jié)束等于，構(gòu)成的若爾當?shù)膫€數(shù)等于屬于的特征空間多項式的維數(shù)若爾當塊矩陣稱為矩陣的若爾當。注意 ： 中的，其階若爾當塊的個數(shù)又唯一確定。例1 ： 證明對，（，），存在正則矩陣，使=和具有相等的若爾當標準型。證 ： 設和具有相等的若爾當標準型

5、，則存在正則矩陣，使=，=，令=，則正則接=反之， 設已存在正則矩陣，使=，設是若爾當標準型，則，故的若爾當標準型也是。例2 ： 求矩陣=，的若爾當標準型，求實矩陣使成為若爾當矩陣.解 ： （1），rank,故特征空間（5）的維數(shù)是3 rank (-5)=2，于是機若爾當塊的個數(shù)為2，的若爾當標準型為. (2) 方程（+2）=0的通解為=.例如： 令=1，得=，dim=（-2）=1，（-3）=0，的通解是=，所以屬于特征值3的特征空間（3）的維數(shù)是1.故屬于特征值3的若爾當塊是1個. 例如： 令=1，得=，方程（-3）=的通解是例如： 令，得=，= - 2，= 3，=+3.故若令（ ），則=（ ）=（