相似矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用

1、 華 北 水 利 水 電 大 學(xué) 相似矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用 課 程 名 稱： 線性代數(shù) 專 業(yè) 班 級(jí)： 成 員 組 成：聯(lián) 系 方 式： 2013年11月 6 日摘要：若矩陣P可逆,則矩陣P-1AP與A稱為相似。矩陣相似的概念是為深入研究矩陣特性而提出的，其中一部分的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為與一個(gè)對(duì)角化矩陣相似問(wèn)題進(jìn)而使問(wèn)題研究簡(jiǎn)化，而另一些矩陣不能與一個(gè)對(duì)角矩陣相似，那么這類問(wèn)題就只能用定義或者若而當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型來(lái)解決。相似矩陣有很多應(yīng)用。例如：利用相似矩陣的性質(zhì)來(lái)確定矩陣中未知元素方法的完整性；兩個(gè)相似矩陣屬于同一個(gè)特征值的特征向量之間的關(guān)系；矩陣相似與特征多項(xiàng)式的等價(jià)條件及相關(guān)結(jié)果；尤其是矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形及其

2、對(duì)角化問(wèn)題,在高等代數(shù)和其他學(xué)科中都有極其廣泛的應(yīng)用。本文將討論相似矩陣的有關(guān)性質(zhì)及其應(yīng)用。 關(guān)鍵詞：相似矩陣；對(duì)角化；Jordan標(biāo)準(zhǔn)型；特征向量；特征值 英文題目：The properties and application of similar matrix Abstract: There are a lot of applications about similar matrix. Matrix for further research is the concept of similarity matrix characteristics, and that part of the p

3、roblem can be converted into similar problems with a diagonalization matrix to simplify the problem study, while others matrix cannot be similar to a diagonal matrix, so this kind of problem can only use a definition or if and when the standard to solve.For example, we can discuss the integrality of

4、 the method by using the properties of similar matrices to confirm unknown elements and characteristic subspaces of similar matrices belong to the same characteristic value are isomorphism. Also we may discuss the equivalent conditions for similar matrices and their characteristic polynomial and the

5、ir corresponding results, especially, applications of digitalization matrices in advanced algebra theory and other subjects are probed into.In this paper I will give out some corresponding properties of similar matrices and show their appliance. Key words:similar matrices; diagonal matrix; Jordans n

6、ormal form; characteristic value; characteristic vector引言： 矩陣相似的理論是數(shù)學(xué)分析的重要概念之一，同時(shí)也是教學(xué)中的難點(diǎn)之一，特別是矩陣相似與可對(duì)角化矩陣問(wèn)題，在各個(gè)版本的數(shù)學(xué)類圖書中，往往將這兩個(gè)問(wèn)題緊湊的聯(lián)系在一起。由于矩陣相似的應(yīng)用范圍相當(dāng)廣泛。本文主要是從矩陣相似定義以及各種性質(zhì)的理論基礎(chǔ)上直接引入矩陣在微分方程、自動(dòng)控制理論基礎(chǔ)等領(lǐng)域應(yīng)用的實(shí)例并由此進(jìn)行研究，也使這部分內(nèi)容能夠相互融合起來(lái)，更有利于學(xué)習(xí)者的掌握和應(yīng)用。1.矩陣相似的定義與基本性質(zhì) 1.1矩陣相似的定義設(shè)A,B是n階方陣,如果存在可逆陣P使得P-1AP=B,則稱

7、矩陣A與B相似. 若矩陣A相似于對(duì)角陣,則稱A可相似對(duì)角化,即存在可逆陣P使,為A的n個(gè)特征值. 令為非奇異矩陣，考察矩陣的線性變換 令線性變換的特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量為，即 將式代入上式，即有或 令或，則式可以寫作 比較和兩式可知，矩陣A和具有相同的特征值，并且矩陣B的特征向量是矩陣的特征向量的線性變換，即。由于矩陣和的特征值相同，特征向量存在線性變換的關(guān)系，所以稱這兩個(gè)矩陣“相似”。于是：設(shè) 、都是階方陣，若有可逆方陣，使，則稱是 的相似矩陣。或者說(shuō)矩陣與相似。對(duì)進(jìn)行運(yùn)算 稱為對(duì)進(jìn)行相似變換。可逆矩陣稱為把變成的相似變換陣。1.2矩陣相似的一些基本性質(zhì)： 自反性：。 對(duì)稱性：則。傳遞性：

8、及可得：。如果階矩陣,相似，則它們有相同的特征值。但逆命題不成立。相似矩陣另外的一些特性： 1)相似矩陣有相同的秩。 2)相似矩陣的行列式相等。3)相似矩陣或都可逆，或都不可逆。當(dāng)它們可逆時(shí)，它們的逆也相似。4)則，、（若，均可逆）、從而，有相同的特征值。 5).若A與B都可對(duì)角化,則A與B相似的充分條件是A與B由相同的特征多項(xiàng)式.6). A的屬于同一特征值的特征向量的線形組合只要不是零向量, 仍是對(duì)應(yīng)的特征向量.7). A的屬于不同特征值的特征向量線形無(wú)關(guān).8). 實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值都是實(shí)數(shù),屬于不同特征值的特征向量正交.9). 若是實(shí)對(duì)稱矩陣A的r重特征值,則A對(duì)應(yīng)特征值恰有r個(gè)線性無(wú)關(guān)

9、的特征向量.10).任何一個(gè)n階復(fù)矩陣A都與一個(gè)Jordan形矩陣相似.11).對(duì)n階方陣A，以下三條等價(jià):A可對(duì)角化;A有n個(gè)特征值（重根按重?cái)?shù)計(jì)），且r（1）重特征值;A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.12).對(duì)角化的基本方法有如下兩種:特征值法,特征向量法. 1.3相似矩陣與若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 雖然非單純矩陣不能相似于對(duì)角陣，但它能夠相似于一個(gè)形式上比對(duì)角矩陣稍微復(fù)雜的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。由于若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的獨(dú)特結(jié)構(gòu)揭示了兩個(gè)矩陣相似的本質(zhì)關(guān)系，故在數(shù)值計(jì)算和理論推導(dǎo)中經(jīng)常采用。利用它不僅容易求出矩陣的乘冪，還可以討論矩陣函數(shù)和矩陣級(jí)數(shù)，求解矩陣微分方程。 定義：形如 的方陣稱為階若爾當(dāng)塊。其中可以是實(shí)數(shù)，

10、也可以是復(fù)數(shù)。 定理：矩陣的充要條件是他們相應(yīng)的特征矩陣。 每個(gè)階復(fù)矩陣都與一個(gè)若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形相似，且這個(gè)若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形在不計(jì)其中若爾當(dāng)塊的排列次序時(shí)，完全有矩陣唯一決定。 復(fù)矩陣可對(duì)角化的充要條件是的特征矩陣的初等因子全為一次式。2. 相似矩陣在微分方程中的應(yīng)用許多實(shí)際問(wèn)題最后都?xì)w結(jié)為求解微分方程（組）的問(wèn)題.因此,如何求解微分方程（組）是個(gè)很重要的問(wèn)題.下面舉例說(shuō)明特征值和特征向量,約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形在其中的應(yīng)用.2.1 將常系數(shù)線性微分方程組 (2-1) 寫成矩陣形式 (2-2)其中u=(,為系數(shù)矩陣,令(3-2)式的解u=, (2-3)即 (=.將(2-3)式代入（2-2）得=,化簡(jiǎn)得,即(2-3

11、)式中為A的特征值,X為對(duì)應(yīng)的特征向量;若A可對(duì)角化,則存在n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量于是得到(2-2)式的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解.u=, u=, u=.它們的線性組合 c+c+c, (2-4)(其中為任意常數(shù))為(2-1)式的一般解,將(2-4)式改寫成矩陣形式u=,記 c=(),= ()p=,則(2-1)式或(2-2)式有一般解 (2-5)對(duì)于初值問(wèn)題 (2-6)解為 (2-7)因?yàn)閠=0代入(2-5)式得 c=.例2 解線性常系數(shù)微分方程組已知初始值為: 解 本題的初始值問(wèn)題為其中 ,可得A的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形,即有可逆矩陣= ,使.由(2-7)式,該初值問(wèn)題的解為 (2-8)其中 (2-9) (2-1

12、0)將(2-10)式代入(2-9)式得 (2-11)再將(2-11)式及代入(2-8)式得2.2 對(duì)于階線性齊次常系數(shù)微分方程 (2-12)可令于是可得與方程(2-12)同解的方程組 (2-13)式(2-13)可寫成矩陣形式 (2-14)其中,于是這類微分方程可以歸納為等價(jià)的線性微分方程組,然后再利用特征值和特征向量求解.例2.求解微分方程 (2-15)解 令于是(2-15)式可變成等價(jià)的方程組即其中 ,可求得的特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為于是由上例知, 從而 其中為任意常數(shù).3 相似矩陣在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用例3.污染與環(huán)境發(fā)展的增長(zhǎng)模型發(fā)展與環(huán)境已成為21世紀(jì)各國(guó)政府關(guān)注的重點(diǎn),為了定量分析

13、污染與工業(yè)發(fā)展間的關(guān)系，我們可提出以下的工業(yè)增長(zhǎng)模型:解 設(shè)x是某地區(qū)目前的污染水平（以空氣或河湖水質(zhì)的某種污染指數(shù)為測(cè)量單位）,y是目前的工業(yè)發(fā)展水平（以某種工業(yè)發(fā)展指數(shù)為測(cè)量單位）,以5年作為一個(gè)期間,第個(gè)期間的污染和工業(yè)發(fā)展水平分別記為x和y,它們之間的關(guān)系是：t=1,2, (3-1)記 A= , , 則(3-1)的矩陣形式為 t=1,2, (3-2) 如果已知該地區(qū)目前（亦稱為基年）的污染和工業(yè)發(fā)展水平=利用(3-2)就可以預(yù)測(cè)第k個(gè)期間該地區(qū)的污染和工業(yè)發(fā)展水平,這是因?yàn)橛?3-2) 可得這表明可通過(guò)求得,為此考察A能否對(duì)角化,計(jì)算出A的特征多項(xiàng)式.=|=由A有2個(gè)相異的特征值1和4

14、知,A能對(duì)角化,所以可用性質(zhì)來(lái)計(jì)算.對(duì)于,解可得A屬于1的一個(gè)特征向量對(duì)于解可得A屬于4的一個(gè)特征向量令有A=所以 = (3-3)就是所要的預(yù)測(cè)結(jié)果,對(duì)不同的值代入(4-3)即可求得.例如：若，有,(實(shí)際上此時(shí)就是屬于4的特征向量,所以若有這些都表明,盡管工業(yè)發(fā)展水平可以達(dá)到相當(dāng)高的程度,但照此模式發(fā)展，環(huán)境污染不容忽視.例 4. 人口流動(dòng)模型假設(shè)某省城人口總數(shù)保持不變,每年有20的農(nóng)村人口流入城鎮(zhèn),有10的城鎮(zhèn)人口流入農(nóng)村.試問(wèn)該省城人口與農(nóng)村人口的分布最終是否會(huì)趨向一個(gè)“穩(wěn)定狀態(tài)”？為解答這個(gè)問(wèn)題，可設(shè)該省城人口總數(shù)為m,從今年開始,第k年該省城的城鎮(zhèn)人口和農(nóng)村人口分別設(shè)為,據(jù)題意有即 則

15、 為計(jì)算,仍考察能否對(duì)角化. 計(jì)算出的特征多項(xiàng)式由于有2個(gè)相異的特征值1和0.7知,能對(duì)角化,所以可用性質(zhì)來(lái)計(jì)算.對(duì)于解可得屬于1的一個(gè)特征向量;對(duì)于解可得屬于0.7的一個(gè)特征向量.令,有, 利用 ,可得從而有 數(shù)列的極限為這表明該省城的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口的分布會(huì)趨于一個(gè)“穩(wěn)定狀態(tài)”:大約有為城鎮(zhèn)人口,為農(nóng)村人口. 4.矩陣相似在代數(shù)方面的應(yīng)用.例5.某實(shí)驗(yàn)性生產(chǎn)線每年一月份進(jìn)行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計(jì)，然后將熟練工支援其他生產(chǎn)部門，其缺額由招收新的非熟練工補(bǔ)齊。新、老非熟練工經(jīng)過(guò)培訓(xùn)及時(shí)間至年終考核有成為熟練工。設(shè)第年一月份統(tǒng)計(jì)的熟練工和非熟練工所占百分比分別為和，記成向量。（1） 求與的

16、關(guān)系式并寫成矩陣形式:=;（2） 驗(yàn)證，是的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，并求出相應(yīng)的特征值；（3） 當(dāng)時(shí)，求。解：（1）按題意有化簡(jiǎn)得對(duì)其用矩陣表示即為 =，于是（2） 令，則由知，線性無(wú)關(guān)。因。故為的特征向量，且相應(yīng)的特征值。因，故為的特征向量，且鄉(xiāng)音的特征值為。（3） 由于有=A=。 由，有。于是有 又，故=。因此有=結(jié)束語(yǔ) 本文通過(guò)對(duì)矩陣相似性質(zhì)與應(yīng)用問(wèn)題的深入探討，我們獲益非淺，一方面對(duì)于矩陣相似的定義以及相關(guān)理論的熟練掌握。特別是將矩陣相似與可對(duì)角化矩陣這兩個(gè)問(wèn)題緊湊的聯(lián)系在一起。將矩陣問(wèn)題應(yīng)用定義定理轉(zhuǎn)化為與一個(gè)相似對(duì)角型矩陣或者是若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型進(jìn)而使問(wèn)題研究簡(jiǎn)化。 由于矩陣相似的性質(zhì)特

17、性決定其應(yīng)用范圍相當(dāng)廣泛。比如其在微分方程、自動(dòng)控制理論基礎(chǔ)等領(lǐng)域的應(yīng)用，使其與相似矩陣的概念和性質(zhì)能夠相互融會(huì)貫通起來(lái)。提高對(duì)相似矩陣深入的研究。 參考文獻(xiàn)1 上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)系主編.線性代數(shù).北京：科學(xué)出版社，2007.92 陳志杰,陳咸平, 瞿森榮等編.高等代數(shù)與解析幾何習(xí)題精解.北京：科學(xué)出版社, 2002. 23 劉丁酉. 高等代數(shù)習(xí)題精解. 合肥:中國(guó)科學(xué)技術(shù)出版社, 2004. 94 楊奇, 田代軍, 韓維信. 線性代數(shù)與解析幾何. 天津: 天津大學(xué)出版社, 2002, 105 戴華.矩陣論.南京：南京航空航天大學(xué)出版社M.2001.86許以超。線性代數(shù)與矩陣論M.北京：高等教育出版社，19927同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室編.線性代數(shù)（第三版）M.北京：高等教育出版社，1