軸對稱最短距離問題專題

1、軸對稱最短距離問題專題一選擇題（共12小題）1（2015綏化）如圖，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5若點M、N分別是線段AC，AB上的兩個動點，則BM+MN的最小值為（）A10B8C5D62（2015南寧）如圖，AB是O的直徑，AB=8，點M在O上，MAB=20，N是弧MB的中點，P是直徑AB上的一動點若MN=1，則PMN周長的最小值為（）A4B5C6D73（2015內(nèi)江）如圖，正方形ABCD的面積為12，ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD+PE最小，則這個最小值為（）AB2C2D4（2015遵義）如圖，四邊形ABCD中，C=50，B=D=90，E

2、、F分別是BC、DC上的點，當AEF的周長最小時，EAF的度數(shù)為（）A50B60C70D805（2015營口）如圖，點P是AOB內(nèi)任意一點，OP=5cm，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，PMN周長的最小值是5cm，則AOB的度數(shù)是（）A25B30C35D406（2014貴港）如圖，在RtABC中，ACB=90，AC=6，BC=8，AD是BAC的平分線若P，Q分別是AD和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是（）AB4CD57（2014安順）如圖，MN是半徑為1的O的直徑，點A在O上，AMN=30，點B為劣弧AN的中點P是直徑MN上一動點，則PA+PB的最小值為（）AB1C2D28（2

3、014鄂爾多斯）如圖，在RtABC中，C=90，AC=6，BC=8，D是AB上的動點，E是BC上的動點，則AE+DE的最小值為（）A3+2B10CD9（2013濟寧）如圖，在直角坐標系中，點A、B的坐標分別為（1，4）和（3，0），點C是y軸上的一個動點，且A、B、C三點不在同一條直線上，當ABC的周長最小時，點C的坐標是（）A（0，0）B（0，1）C（0，2）D（0，3）10（2013鄂爾多斯）如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，使從A到B的路徑AMNB最短的是（假定河的兩岸是平行直線，橋要與河岸垂直）（）ABCD11（2013蘇州）如圖，在平面直角坐標系中，RtOAB的

4、頂點A在x軸的正半軸上頂點B的坐標為（3，），點C的坐標為（，0），點P為斜邊OB上的一個動點，則PA+PC的最小值為（）ABCD212（2012黔西南州）如圖，拋物線y=x2+bx2與x軸交于A、B兩點，與y交于C點，且A（1，0），點M（m，0）是x軸上的一個動點，當MC+MD的值最小時，m的值是（）ABCD二填空題（共16小題）13（2015武漢）如圖，AOB=30，點M、N分別在邊OA、OB上，且OM=1，ON=3，點P、Q分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是14（2015鄂州）如圖，AOB=30，點M、N分別是射線OA、OB上的動點，OP平分AOB，且OP=6，當PMN

5、的周長取最小值時，四邊形PMON的面積為15（2015盤錦）如圖，菱形ABCD的邊長為2，DAB=60，E為BC的中點，在對角線AC上存在一點P，使PBE的周長最小，則PBE的周長的最小值為16（2015攀枝花）如圖，在邊長為2的等邊ABC中，D為BC的中點，E是AC邊上一點，則BE+DE的最小值為17（2015玉林）如圖，已知正方形ABCD邊長為3，點E在AB邊上且BE=1，點P，Q分別是邊BC，CD的動點（均不與頂點重合），當四邊形AEPQ的周長取最小值時，四邊形AEPQ的面積是18（2015安順）如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，BE=1，F(xiàn)為AB上一點，AF=2，P為AC

6、上一點，則PF+PE的最小值為19（2014資陽）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，E是AB邊上的一點，且AE=3，點Q為對角線AC上的動點，則BEQ周長的最小值為20（2014東營）在O中，AB是O的直徑，AB=8cm，=，M是AB上一動點，CM+DM的最小值是cm21（2014宿遷）如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E為邊BC的中點，點P在對角線BD上移動，則PE+PC的最小值是22（2014黑龍江）如圖，菱形ABCD中，對角線AC=6，BD=8，M、N分別是BC、CD的中點，P是線段BD上的一個動點，則PM+PN的最小值是23（2014錦州）菱形ABCD的邊長為2，ABC=60，E是A

7、D邊中點，點P是對角線BD上的動點，當AP+PE的值最小時，PC的長是24（2014長沙）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（2，3），點B（2，1），在x軸上存在點P到A，B兩點的距離之和最小，則P點的坐標是25（2014無錫）如圖，菱形ABCD中，A=60，AB=3，A、B的半徑分別為2和1，P、E、F分別是邊CD、A和B上的動點，則PE+PF的最小值是26（2014青島）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=AD=2，BCD=60，對角線AC平分BCD，E，F(xiàn)分別是底邊AD，BC的中點，連接EF點P是EF上的任意一點，連接PA，PB，則PA+PB的最小值為27（2014莆田）如圖，菱形ABC

8、D的邊長為4，BAD=120，點E是AB的中點，點F是AC上的一動點，則EF+BF的最小值是28（2013莆田）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點P在DC邊上且DP=1，點Q是AC上一動點，則DQ+PQ的最小值為三解答題（共2小題）29（2014齊齊哈爾）如圖，已知拋物線的頂點為A（1，4），拋物線與y軸交于點B（0，3），與x軸交于C、D兩點，點P是x軸上的一個動點（1）求此拋物線的解析式；（2）當PA+PB的值最小時，求點P的坐標30（2013日照）問題背景：如圖（a），點A、B在直線l的同側(cè)，要在直線l上找一點C，使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點B關(guān)于l的對稱點B，連接AB與直

9、線l交于點C，則點C即為所求（1）實踐運用：如圖（b），已知，O的直徑CD為4，點A在O上，ACD=30，B為弧AD的中點，P為直徑CD上一動點，則BP+AP的最小值為（2）知識拓展：如圖（c），在RtABC中，AB=10，BAC=45，BAC的平分線交BC于點D，E、F分別是線段AD和AB上的動點，求BE+EF的最小值，并寫出解答過程軸對稱最短距離問題專題參考答案與試題解析一選擇題（共12小題）1（2015綏化）如圖，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5若點M、N分別是線段AC，AB上的兩個動點，則BM+MN的最小值為（）A10B8C5D6【考點】軸對稱-最短路線問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】

10、過B點作AC的垂線，使AC兩邊的線段相等，到E點，過E作EF垂直AB交AB于F點，EF就是所求的線段【解答】解：過B點作AC的垂線，使AC兩邊的線段相等，到E點，過E作EF垂直AB交AB于F點，AC=5，AC邊上的高為2，所以BE=4ABCEFB，=，即=EF=8故選B【點評】本題考查最短路徑問題，關(guān)鍵確定何時路徑最短，然后運用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)求得解2（2015南寧）如圖，AB是O的直徑，AB=8，點M在O上，MAB=20，N是弧MB的中點，P是直徑AB上的一動點若MN=1，則PMN周長的最小值為（）A4B5C6D7【考點】軸對稱-最短路線問題；圓周角定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題

11、【分析】作N關(guān)于AB的對稱點N，連接MN，NN，ON，ON，由兩點之間線段最短可知MN與AB的交點P即為PMN周長的最小時的點，根據(jù)N是弧MB的中點可知A=NOB=MON=20，故可得出MON=60，故MON為等邊三角形，由此可得出結(jié)論【解答】解：作N關(guān)于AB的對稱點N，連接MN，NN，ON，ONN關(guān)于AB的對稱點N，MN與AB的交點P即為PMN周長的最小時的點，N是弧MB的中點，A=NOB=MON=20，MON=60，MON為等邊三角形，MN=OM=4，PMN周長的最小值為4+1=5故選：B【點評】本題考查的是軸對稱最短路徑問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合本節(jié)所學

12、軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點3（2015內(nèi)江）如圖，正方形ABCD的面積為12，ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD+PE最小，則這個最小值為（）AB2C2D【考點】軸對稱-最短路線問題；正方形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】由于點B與D關(guān)于AC對稱，所以BE與AC的交點即為P點此時PD+PE=BE最小，而BE是等邊ABE的邊，BE=AB，由正方形ABCD的面積為12，可求出AB的長，從而得出結(jié)果【解答】解：由題意，可得BE與AC交于點P點B與D關(guān)于AC對稱，PD=PB，PD+PE=PB+PE=BE最小正方形ABCD的面積為12，AB=2

13、又ABE是等邊三角形，BE=AB=2故所求最小值為2故選B【點評】此題考查了軸對稱最短路線問題，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，找到點P的位置是解決問題的關(guān)鍵4（2015遵義）如圖，四邊形ABCD中，C=50，B=D=90，E、F分別是BC、DC上的點，當AEF的周長最小時，EAF的度數(shù)為（）A50B60C70D80【考點】軸對稱-最短路線問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題【分析】據(jù)要使AEF的周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和CD的對稱點A，A，即可得出AAE+A=HAA=50，進而得出AEF+AFE=2（AAE+A），即可得出答案【解答】解：作A關(guān)于BC和

14、CD的對稱點A，A，連接AA，交BC于E，交CD于F，則AA即為AEF的周長最小值作DA延長線AH，C=50，DAB=130，HAA=50，AAE+A=HAA=50，EAA=EAA，F(xiàn)AD=A，EAA+AAF=50，EAF=13050=80，故選：D【點評】本題考查的是軸對稱最短路線問題，涉及到平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出E，F(xiàn)的位置是解題關(guān)鍵5（2015營口）如圖，點P是AOB內(nèi)任意一點，OP=5cm，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，PMN周長的最小值是5cm，則AOB的度數(shù)是（）A25B30C35D40【考點】軸對稱-最短路

15、線問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題【分析】分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，由對稱的性質(zhì)得出PM=CM，OP=OC，COA=POA；PN=DN，OP=OD，DOB=POB，得出AOB=COD，證出OCD是等邊三角形，得出COD=60，即可得出結(jié)果【解答】解：分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，如圖所示：點P關(guān)于OA的對稱點為D，關(guān)于OB的對稱點為C，PM=DM，OP=OD，DOA=POA；點P關(guān)于OB的對稱點為C，PN=CN，OP=OC，CO

16、B=POB，OC=OP=OD，AOB=COD，PMN周長的最小值是5cm，PM+PN+MN=5，DM+CN+MN=5，即CD=5=OP，OC=OD=CD，即OCD是等邊三角形，COD=60，AOB=30；故選：B【點評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)、最短路線問題、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，證明三角形是等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵6（2014貴港）如圖，在RtABC中，ACB=90，AC=6，BC=8，AD是BAC的平分線若P，Q分別是AD和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是（）AB4CD5【考點】軸對稱-最短路線問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】過點C作CMAB交AB于點M，交AD于點P

17、，過點P作PQAC于點Q，由AD是BAC的平分線得出PQ=PM，這時PC+PQ有最小值，即CM的長度，運用勾股定理求出AB，再運用SABC=ABCM=ACBC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值【解答】解：如圖，過點C作CMAB交AB于點M，交AD于點P，過點P作PQAC于點Q，AD是BAC的平分線PQ=PM，這時PC+PQ有最小值，即CM的長度，AC=6，BC=8，ACB=90，AB=10SABC=ABCM=ACBC，CM=，即PC+PQ的最小值為故選：C【點評】本題主要考查了軸對稱問題，解題的關(guān)鍵是找出滿足PC+PQ有最小值時點P和Q的位置7（2014安順）如圖，MN是半徑為1的O的直徑，

18、點A在O上，AMN=30，點B為劣弧AN的中點P是直徑MN上一動點，則PA+PB的最小值為（）AB1C2D2【考點】軸對稱-最短路線問題；勾股定理；垂徑定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】作點B關(guān)于MN的對稱點B，連接OA、OB、OB、AB，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題可得AB與MN的交點即為PA+PB的最小時的點，根據(jù)在同圓或等圓中，同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍求出AON=60，然后求出BON=30，再根據(jù)對稱性可得BON=BON=30，然后求出AOB=90，從而判斷出AOB是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AB=OA，即為PA+PB的最小值【解答】解：作點B關(guān)于MN的對稱點B，連接O

19、A、OB、OB、AB，則AB與MN的交點即為PA+PB的最小時的點，PA+PB的最小值=AB，AMN=30，AON=2AMN=230=60，點B為劣弧AN的中點，BON=AON=60=30，由對稱性，BON=BON=30，AOB=AON+BON=60+30=90，AOB是等腰直角三角形，AB=OA=1=，即PA+PB的最小值=故選：A【點評】本題考查了軸對稱確定最短路線問題，在同圓或等圓中，同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍的性質(zhì)，作輔助線并得到AOB是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵8（2014鄂爾多斯）如圖，在RtABC中，C=90，AC=6，BC=8，D是AB上的動點，E是BC上的動點，則AE+

20、DE的最小值為（）A3+2B10CD【考點】軸對稱-最短路線問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】作點A關(guān)于BC的對稱點A，過點A作ADAB交BC、AB分別于點E、D，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，AD的長度即為AE+DE的最小值，利用勾股定理列式求出AB，再利用ABC的正弦列式計算即可得解【解答】解：如圖，作點A關(guān)于BC的對稱點A，過點A作ADAB交BC、AB分別于點E、D，則AD的長度即為AE+DE的最小值，AA=2AC=26=12，ACB=90，BC=8，AC=6，AB=10，sinBAC=，AD=AAsinBAC=12=，即AE+DE的最小值是故選D【點評】本題考查了利用軸對稱確定最短路線問題，主要

21、利用了勾股定理，垂線段最短，銳角三角函數(shù)的定義，難點在于確定出點D、E的位置9（2013濟寧）如圖，在直角坐標系中，點A、B的坐標分別為（1，4）和（3，0），點C是y軸上的一個動點，且A、B、C三點不在同一條直線上，當ABC的周長最小時，點C的坐標是（）A（0，0）B（0，1）C（0，2）D（0，3）【考點】軸對稱-最短路線問題；坐標與圖形性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】根據(jù)軸對稱作最短路線得出AE=BE，進而得出BO=CO，即可得出ABC的周長最小時C點坐標【解答】解：作B點關(guān)于y軸對稱點B點，連接AB，交y軸于點C，此時ABC的周長最小，點A、B的坐標分別為（1，4）和（3，0），B點坐標為：

22、（3，0），AE=4，則BE=4，即BE=AE，COAE，BO=CO=3，點C的坐標是（0，3），此時ABC的周長最小故選：D【點評】此題主要考查了利用軸對稱求最短路線以及平行線的性質(zhì)，根據(jù)已知得出C點位置是解題關(guān)鍵10（2013鄂爾多斯）如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，使從A到B的路徑AMNB最短的是（假定河的兩岸是平行直線，橋要與河岸垂直）（）ABCD【考點】軸對稱-最短路線問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】過A作河的垂線AH，要使最短，MN直線a，AI=MN，連接BI即可得出N，作出AM、MN、BN即可【解答】解：根據(jù)垂線段最短，得出MN是河的寬時，MN最短，即MN直線a

23、（或直線b），只要AM+BN最短就行，即過A作河岸a的垂線AH，垂足為H，在AH上取點I，使AI等于河寬連結(jié)IB交河的b邊岸于N，作MN垂直于河岸交a邊的岸于M點，所得MN即為所求故選D【點評】本題考查了最短路線問題，垂線段最短，三角形的三邊關(guān)系定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是如何找出M、N點的位置11（2013蘇州）如圖，在平面直角坐標系中，RtOAB的頂點A在x軸的正半軸上頂點B的坐標為（3，），點C的坐標為（，0），點P為斜邊OB上的一個動點，則PA+PC的最小值為（）ABCD2【考點】軸對稱-最短路線問題；坐標與圖形性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題【分析】作A關(guān)于OB的對稱點D，連接CD交OB于P，

24、連接AP，過D作DNOA于N，則此時PA+PC的值最小，求出AM，求出AD，求出DN、CN，根據(jù)勾股定理求出CD，即可得出答案【解答】解：作A關(guān)于OB的對稱點D，連接CD交OB于P，連接AP，過D作DNOA于N，則此時PA+PC的值最小，DP=PA，PA+PC=PD+PC=CD，B（3，），AB=，OA=3，B=60，由勾股定理得：OB=2，由三角形面積公式得：OAAB=OBAM，AM=，AD=2=3，AMB=90，B=60，BAM=30，BAO=90，OAM=60，DNOA，NDA=30，AN=AD=，由勾股定理得：DN=，C（，0），CN=3=1，在RtDNC中，由勾股定理得：DC=，即P

25、A+PC的最小值是，故選：B【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，軸對稱最短路線問題，勾股定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出P點的位置，題目比較好，難度適中12（2012黔西南州）如圖，拋物線y=x2+bx2與x軸交于A、B兩點，與y交于C點，且A（1，0），點M（m，0）是x軸上的一個動點，當MC+MD的值最小時，m的值是（）ABCD【考點】軸對稱-最短路線問題；二次函數(shù)的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題【分析】首先可求得二次函數(shù)的頂點坐標，再求得C關(guān)于x軸的對稱點C，求得直線CD的解析式，與x軸的交點的橫坐標即是m的值，再利用相似三角形的判定和性質(zhì)求

26、解即可【解答】解：點A（1，0）在拋物線y=x2+bx2上，（1）2+b（1）2=0，b=，拋物線的解析式為y=x2x2，頂點D的坐標為（，），作出點C關(guān)于x軸的對稱點C，則C（0，2），OC=2連接CD交x軸于點M，根據(jù)軸對稱性及兩點之間線段最短可知，MC+MD的值最小 設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點EEDy軸，OCM=EDM，COM=DEMCOMDEM=，即=，m=故選B【點評】本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，軸對稱性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于求出函數(shù)表達式，作出輔助線，找對相似三角形二填空題（共16小題）13（2015武漢）如圖，AOB=30，點M、N分別在邊OA、OB上，且

27、OM=1，ON=3，點P、Q分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是【考點】軸對稱-最短路線問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題【分析】作M關(guān)于OB的對稱點M，作N關(guān)于OA的對稱點N，連接MN，即為MP+PQ+QN的最小值【解答】解：作M關(guān)于OB的對稱點M，作N關(guān)于OA的對稱點N，連接MN，即為MP+PQ+QN的最小值根據(jù)軸對稱的定義可知：NOQ=MOB=30，ONN=60，ONN為等邊三角形，OMM為等邊三角形，NOM=90，在RtMON中，MN=故答案為【點評】本題考查了軸對稱最短路徑問題，根據(jù)軸對稱的定義，找到相等的線段，得到等邊三角形是解題的關(guān)鍵14（2015鄂州）如圖，AOB=

28、30，點M、N分別是射線OA、OB上的動點，OP平分AOB，且OP=6，當PMN的周長取最小值時，四邊形PMON的面積為3654【考點】軸對稱-最短路線問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題【分析】設(shè)點P關(guān)于OA的對稱點為C，關(guān)于OB的對稱點為D，當點M、N在CD上時，PMN的周長最小，此時COD是等邊三角形，求得三角形PMN和COD的面積，根據(jù)四邊形PMON的面積為：（ SCOD+SPMN）求得即可【解答】解：分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點M、N，連接OC、OD、PC、PD點P關(guān)于OA的對稱點為C，關(guān)于OB的對稱點為D，PM=CM，OP=OC，COA=POA

29、；點P關(guān)于OB的對稱點為D，PN=DN，OP=OD，DOB=POB，OC=OD=OP=6，COD=COA+POA+POB+DOB=2POA+2POB=2AOB=60，COD是等邊三角形，CD=OC=OD=6POC=POD，OPCD，OQ=6=3，PQ=63，設(shè)MQ=x，則PM=CM=3x，（3x）2x2=（63）2，解得x=69，SPMN=MNPQ=MQPQ=（69）（63）=63108，SCOD=36=9，SCOM=SPOM，SDON=SPON，四邊形PMON的面積為：（SCOD+SPMN）=（72108）=3654故答案為3654【點評】此題主要考查軸對稱最短路線問題，熟知兩點之間線段最短

30、是解答此題的關(guān)鍵15（2015盤錦）如圖，菱形ABCD的邊長為2，DAB=60，E為BC的中點，在對角線AC上存在一點P，使PBE的周長最小，則PBE的周長的最小值為+1【考點】軸對稱-最短路線問題；菱形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】連接BD，與AC的交點即為使PBE的周長最小的點P；由菱形的性質(zhì)得出BPC=90，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出PE=BE，證明PBE是等邊三角形，得出PB=BE=PE=1，即可得出結(jié)果【解答】解：連結(jié)DEBE的長度固定，要使PBE的周長最小只需要PB+PE的長度最小即可，四邊形ABCD是菱形，AC與BD互相垂直平分，PD=PB，PB+PE的最小長度為DE的長，菱

31、形ABCD的邊長為2，E為BC的中點，DAB=60，BCD是等邊三角形，又菱形ABCD的邊長為2，BD=2，BE=1，DE=，PBE的最小周長=DE+BE=+1，故答案為：+1【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)、軸對稱以及最短路線問題、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；熟練掌握菱形的性質(zhì)，并能進行推理計算是解決問題的關(guān)鍵16（2015攀枝花）如圖，在邊長為2的等邊ABC中，D為BC的中點，E是AC邊上一點，則BE+DE的最小值為【考點】軸對稱-最短路線問題；等邊三角形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】作B關(guān)于AC的對稱點B，連接BB、BD，交AC于E，此時BE+ED=BE+ED=BD，根據(jù)兩點之間線段最短可知B

32、D就是BE+ED的最小值，故E即為所求的點【解答】解：作B關(guān)于AC的對稱點B，連接BB、BD，交AC于E，此時BE+ED=BE+ED=BD，根據(jù)兩點之間線段最短可知BD就是BE+ED的最小值，B、B關(guān)于AC的對稱，AC、BB互相垂直平分，四邊形ABCB是平行四邊形，三角形ABC是邊長為2，D為BC的中點，ADBC，AD=，BD=CD=1，BB=2AD=2，作BGBC的延長線于G，BG=AD=，在RtBBG中，BG=3，DG=BGBD=31=2，在RtBDG中，BD=故BE+ED的最小值為故答案為：【點評】本題考查的是最短路線問題，涉及的知識點有：軸對稱的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等，有一

33、定的綜合性，但難易適中17（2015玉林）如圖，已知正方形ABCD邊長為3，點E在AB邊上且BE=1，點P，Q分別是邊BC，CD的動點（均不與頂點重合），當四邊形AEPQ的周長取最小值時，四邊形AEPQ的面積是3【考點】軸對稱-最短路線問題；正方形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】計算題；壓軸題【分析】根據(jù)最短路徑的求法，先確定點E關(guān)于BC的對稱點E，再確定點A關(guān)于DC的對稱點A，連接AE即可得出P，Q的位置；再根據(jù)相似得出相應(yīng)的線段長從而可求得四邊形AEPQ的面積【解答】解：如圖1所示，作E關(guān)于BC的對稱點E，點A關(guān)于DC的對稱點A，連接AE，四邊形AEPQ的周長最小，AD=AD=3，BE=BE=

34、1，AA=6，AE=4DQAE，D是AA的中點，DQ是AAE的中位線，DQ=AE=2；CQ=DCCQ=32=1，BPAA，BEPAEA，=，即=，BP=，CP=BCBP=3=，S四邊形AEPQ=S正方形ABCDSADQSPCQSBEP=9ADDQCQCPBEBP=93211=，故答案為：【點評】本題考查了軸對稱，利用軸對稱確定A、E，連接AE得出P、Q的位置是解題關(guān)鍵，又利用了相似三角形的判定與性質(zhì)，圖形分割法是求面積的重要方法18（2015安順）如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，BE=1，F(xiàn)為AB上一點，AF=2，P為AC上一點，則PF+PE的最小值為【考點】軸對稱-最短路線問

35、題；正方形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題【分析】作E關(guān)于直線AC的對稱點E，連接EF，則EF即為所求，過F作FGCD于G，在RtEFG中，利用勾股定理即可求出EF的長【解答】解：作E關(guān)于直線AC的對稱點E，連接EF，則EF即為所求，過F作FGCD于G，在RtEFG中，GE=CDBEBF=412=1，GF=4，所以EF=故答案為：【點評】本題考查的是最短線路問題，熟知兩點之間線段最短是解答此題的關(guān)鍵19（2014資陽）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，E是AB邊上的一點，且AE=3，點Q為對角線AC上的動點，則BEQ周長的最小值為6【考點】軸對稱-最短路線問題；正方形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【

36、專題】計算題【分析】連接BD，DE，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知點B與點D關(guān)于直線AC對稱，故DE的長即為BQ+QE的最小值，進而可得出結(jié)論【解答】解：連接BD，DE，四邊形ABCD是正方形，點B與點D關(guān)于直線AC對稱，DE的長即為BQ+QE的最小值，DE=BQ+QE=5，BEQ周長的最小值=DE+BE=5+1=6故答案為：6【點評】本題考查的是軸對稱最短路線問題，熟知軸對稱的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵20（2014東營）在O中，AB是O的直徑，AB=8cm，=，M是AB上一動點，CM+DM的最小值是8cm【考點】軸對稱-最短路線問題；勾股定理；垂徑定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】作點C關(guān)于AB的對稱點C，連接C

37、D與AB相交于點M，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，點M為CM+DM的最小值時的位置，根據(jù)垂徑定理可得=，然后求出CD為直徑，從而得解【解答】解：如圖，作點C關(guān)于AB的對稱點C，連接CD與AB相交于點M，此時，點M為CM+DM的最小值時的位置，由垂徑定理，=，=，=，AB為直徑，CD為直徑，CM+DM的最小值是8cm故答案為：8【點評】本題考查了軸對稱確定最短路線問題，垂徑定理，熟記定理并作出圖形，判斷出CM+DM的最小值等于圓的直徑的長度是解題的關(guān)鍵21（2014宿遷）如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E為邊BC的中點，點P在對角線BD上移動，則PE+PC的最小值是【考點】軸對稱-最短路線問題；

38、正方形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】計算題【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化PE，PC的值，從而找出其最小值求解【解答】解：如圖，連接AE，點C關(guān)于BD的對稱點為點A，PE+PC=PE+AP，根據(jù)兩點之間線段最短可得AE就是AP+PE的最小值，正方形ABCD的邊長為2，E是BC邊的中點，BE=1，AE=，故答案為：【點評】此題主要考查了正方形的性質(zhì)和軸對稱及勾股定理等知識的綜合應(yīng)用根據(jù)已知得出兩點之間線段最短可得AE就是AP+PE的最小值是解題關(guān)鍵22（2014黑龍江）如圖，菱形ABCD中，對角線AC=6，BD=8，M、N分別是BC、CD的中點，P是線段

39、BD上的一個動點，則PM+PN的最小值是5【考點】軸對稱-最短路線問題；勾股定理的應(yīng)用；平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】幾何圖形問題【分析】作M關(guān)于BD的對稱點Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時MP+NP的值最小，連接AC，求出CP、PB，根據(jù)勾股定理求出BC長，證出MP+NP=QN=BC，即可得出答案【解答】解：作M關(guān)于BD的對稱點Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時MP+NP的值最小，連接AC，四邊形ABCD是菱形，ACBD，QBP=MBP，即Q在AB上，MQBD，ACMQ，M為BC中點，Q為AB中點，N為CD中點，四邊形ABCD是菱形，BQCD，BQ=C

40、N，四邊形BQNC是平行四邊形，NQ=BC，四邊形ABCD是菱形，CP=AC=3，BP=BD=4，在RtBPC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，MP+NP=QP+NP=QN=5，故答案為：5【點評】本題考查了軸對稱最短路線問題，平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)軸對稱找出P的位置23（2014錦州）菱形ABCD的邊長為2，ABC=60，E是AD邊中點，點P是對角線BD上的動點，當AP+PE的值最小時，PC的長是【考點】軸對稱-最短路線問題；菱形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】幾何綜合題【分析】作點E關(guān)于直線BD的對稱點E，連接AE，則線段AE的長即為AP

41、+PE的最小值，再由軸對稱的性質(zhì)可知DE=DE=1，故可得出AED是直角三角形，由菱形的性質(zhì)可知PDE=ADC=30，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出PE的長，進而可得出PC的長【解答】解：如圖所示，作點E關(guān)于直線BD的對稱點E，連接AE，則線段AE的長即為AP+PE的最小值，菱形ABCD的邊長為2，E是AD邊中點，DE=DE=AD=1，AED是直角三角形，ABC=60，PDE=ADC=30，PE=DEtan30=，PC=故答案為：【點評】本題考查的是軸對稱最短路線問題，熟知菱形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵24（2014長沙）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（2，3），點B（2，1）

42、，在x軸上存在點P到A，B兩點的距離之和最小，則P點的坐標是（1，0）【考點】軸對稱-最短路線問題；坐標與圖形性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題【分析】作A關(guān)于x軸的對稱點C，連接BC交x軸于P，則此時AP+BP最小，求出C的坐標，設(shè)直線BC的解析式是y=kx+b，把B、C的坐標代入求出k、b，得出直線BC的解析式，求出直線與x軸的交點坐標即可【解答】解：作A關(guān)于x軸的對稱點C，連接BC交x軸于P，則此時AP+BP最小，A點的坐標為（2，3），B點的坐標為（2，1），C（2，3），設(shè)直線BC的解析式是：y=kx+b，把B、C的坐標代入得：解得即直線BC的解析式是y=x1，當y=0時，x1=0，解

43、得：x=1，P點的坐標是（1，0）故答案為：（1，0）【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，軸對稱最短路線問題的應(yīng)用，關(guān)鍵是能找出P點，題目具有一定的代表性，難度適中25（2014無錫）如圖，菱形ABCD中，A=60，AB=3，A、B的半徑分別為2和1，P、E、F分別是邊CD、A和B上的動點，則PE+PF的最小值是3【考點】軸對稱-最短路線問題；菱形的性質(zhì)；相切兩圓的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】幾何圖形問題；壓軸題【分析】利用菱形的性質(zhì)以及相切兩圓的性質(zhì)得出P與D重合時PE+PF的最小值，進而求出即可【解答】解：由題意可得出：當P與D重合時，E點在AD上，

44、F在BD上，此時PE+PF最小，連接BD，菱形ABCD中，A=60，AB=AD，則ABD是等邊三角形，BD=AB=AD=3，A、B的半徑分別為2和1，PE=1，DF=2，PE+PF的最小值是3故答案為：3【點評】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及相切兩圓的性質(zhì)等知識，根據(jù)題意得出P點位置是解題關(guān)鍵26（2014青島）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=AD=2，BCD=60，對角線AC平分BCD，E，F(xiàn)分別是底邊AD，BC的中點，連接EF點P是EF上的任意一點，連接PA，PB，則PA+PB的最小值為2【考點】軸對稱-最短路線問題；等腰梯形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】幾何動點問題【分析】要求PA+PB的

45、最小值，PA、PB不能直接求，可考慮轉(zhuǎn)化PA、PB的值，從而找出其最小值求解【解答】解：E，F(xiàn)分別是底邊AD，BC的中點，四邊形ABCD是等腰梯形，B點關(guān)于EF的對稱點C點，AC即為PA+PB的最小值，BCD=60，對角線AC平分BCD，ABC=60，BCA=30，BAC=90，AD=2，PA+PB的最小值=ABtan60=故答案為：2【點評】考查等腰梯形的性質(zhì)和軸對稱等知識的綜合應(yīng)用綜合運用這些知識是解決本題的關(guān)鍵27（2014莆田）如圖，菱形ABCD的邊長為4，BAD=120，點E是AB的中點，點F是AC上的一動點，則EF+BF的最小值是2【考點】軸對稱-最短路線問題；菱形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)

46、所有【分析】首先連接DB，DE，設(shè)DE交AC于M，連接MB，DF證明只有點F運動到點M時，EF+BF取最小值，再根據(jù)菱形的性質(zhì)、勾股定理求得最小值【解答】解：連接DB，DE，設(shè)DE交AC于M，連接MB，DF，延長BA，DHBA于H，四邊形ABCD是菱形，AC，BD互相垂直平分，點B關(guān)于AC的對稱點為D，F(xiàn)D=FB，F(xiàn)E+FB=FE+FDDE只有當點F運動到點M時，取等號（兩點之間線段最短），ABD中，AD=AB，DAB=120，HAD=60，DHAB，AH=AD，DH=AD，菱形ABCD的邊長為4，E為AB的中點，AE=2，AH=2，EH=4，DH=2，在RtEHD中，DE=2，EF+BF的最小值為2故答案為：2【點評】此題主要考查菱形是軸對稱圖形的性質(zhì)，知道什么時候會使EF+BF成為最小值是解本題的關(guān)鍵28（2013莆田）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點P在DC邊上且DP=1，點Q是AC上一動點，則DQ+PQ的最小值為5【考點】軸對稱-最短路線問題；正方形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】要求DQ+PQ的最小值，DQ，PQ不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化DQ，PQ的值，從而找出其最小值求解【解答】解：如圖，連接BP，點B和點D關(guān)于直線AC對稱，QB=QD，