113導(dǎo)數(shù)的幾何意義

1、1. 1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義課前預(yù)習(xí)學(xué)案一 預(yù)習(xí)目標(biāo)1.了解平均變化率與割線斜率之間的關(guān)系;2.理解曲線的切線的概念;3.通過函數(shù)的圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義,并會(huì)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題。二 預(yù)習(xí)內(nèi)容1.曲線的切線及切線的斜率（1）如圖3.1-2,當(dāng)沿著曲線趨近于點(diǎn)時(shí),即時(shí),割線趨近于確定的位置,這個(gè)確定位置的直線稱為 .（2）割線的斜率是,當(dāng)點(diǎn)沿著曲線無限接近點(diǎn)時(shí),無限趨近于切線的斜率,即= = 2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)等于在該點(diǎn)處的切線的斜率,即= .三 提出疑惑同學(xué)們，通過你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請(qǐng)把它填在下面的表格中疑惑點(diǎn)疑惑內(nèi)容課內(nèi)探究學(xué)案一 學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解平均變化率與

2、割線斜率之間的關(guān)系;2.理解曲線的切線的概念;3.通過函數(shù)的圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義,并會(huì)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題二 學(xué)習(xí)過程 （一）。復(fù)習(xí)回顧 1平均變化率、割線的斜率2。瞬時(shí)速度、導(dǎo)數(shù)（二）。提出問題，展示目標(biāo)我們知道,導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率,反映了函數(shù)在附近的變化情況,導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么呢？（三）、合作探究1.曲線的切線及切線的斜率（1）如圖3.1-2,當(dāng)沿著曲線趨近于點(diǎn)時(shí),割線的變化趨勢(shì)是什么？（2）如何定義曲線在點(diǎn)處的切線？(3)割線的斜率與切線的斜率有什么關(guān)系？(4)切線的斜率為多少？說明: (1)當(dāng)時(shí),割線的斜率,稱為曲線在點(diǎn)處的切線的斜率.這個(gè)概念: 提供了求曲線上某點(diǎn)

3、切線的斜率的一種方法;切線斜率的本質(zhì)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).(2)曲線在某點(diǎn)處的切線:1)與該點(diǎn)的位置有關(guān);2)要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解.如有極限,則在此點(diǎn)有切線,且切線是唯一的;如不存在,則在此點(diǎn)處無切線;3)曲線切線,并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn),可以有多個(gè),甚至可以無窮多.2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義（1）函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么？（2）將上述意義用數(shù)學(xué)式表達(dá)出來。（3）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義如何求曲線在某點(diǎn)處的切線方程？3.導(dǎo)函數(shù)（1）由函數(shù)在處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到,當(dāng)時(shí),是一個(gè)確定的數(shù),那么,當(dāng)變化時(shí), 便是的一個(gè)函數(shù),我們叫它為的導(dǎo)函數(shù). 注: 在不致發(fā)生混淆時(shí),導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù).（2）

4、函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系是什么？區(qū)別：聯(lián)系：（四）。例題精析例1 求曲線在點(diǎn)處的切線方程.解: 變式訓(xùn)練1求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程.例2 如圖3.1-3,它表示跳水運(yùn)動(dòng)中高度隨時(shí)間變化的函數(shù),根據(jù)圖像,請(qǐng)描述、比較曲線在、附近的變化情況.解: 我們用曲線在、處的切線,刻畫曲線在上述三個(gè)時(shí)刻附近的變化情況.(1) 當(dāng)時(shí),曲線在處的切線的斜率 ,所以,在附近曲線比較平坦,幾乎沒有升降.(2)當(dāng)時(shí),曲線在處的切線的斜率 ,所以,在附近曲線下降,即函數(shù)在附近單調(diào)遞減.(3)當(dāng)時(shí),曲線在處的切線的斜率 ,所以,在附近曲線下降,即函數(shù)在附近單調(diào)遞減從圖3.1-3可以看出,直線的傾斜程度

5、小于直線的傾斜程度,這說明曲線在附近比在附近下降的緩慢.例3 如圖3.1-4,它表示人體血管中藥物濃度(單位:)隨時(shí)間(單位:)變化的圖象.根據(jù)圖像,估計(jì)時(shí),血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率(精確到).解: 三。反思總結(jié)1.曲線的切線定義.2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義3求曲線在一點(diǎn)處的切線的一般步驟：四。當(dāng)堂檢測(cè)1.求曲線在點(diǎn)處的切線.2.求曲線在點(diǎn)處的切線.1.1.1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 教學(xué)目標(biāo)：1.了解平均變化率與割線斜率之間的關(guān)系;2.理解曲線的切線的概念;3.通過函數(shù)的圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義,并會(huì)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題二教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)：曲線的切線的概念、切線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義.難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)

6、的幾何意義三教學(xué)過程：（一）?！緩?fù)習(xí)回顧】 1平均變化率、割線的斜率2。瞬時(shí)速度、導(dǎo)數(shù)（二）?！咎岢鰡栴}，展示目標(biāo)】我們知道,導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率,反映了函數(shù)在附近的變化情況,導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么呢？（三）、【合作探究】1.曲線的切線及切線的斜率如圖3.1-2,當(dāng)沿著曲線趨近于點(diǎn)時(shí),割線的變化趨勢(shì)是什么？我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)沿著曲線無限接近點(diǎn)即時(shí),割線趨近于確定的位置,這個(gè)確定位置的直線稱為曲線在點(diǎn)處的切線.問題: (1)割線的斜率與切線的斜率有什么關(guān)系？ (2)切線的斜率為多少？容易知道,割線的斜率是,當(dāng)點(diǎn)沿著曲線無限接近點(diǎn)時(shí),無限趨近于切線的斜率,即說明: (1)當(dāng)時(shí),割線的斜率,稱為曲

7、線在點(diǎn)處的切線的斜率.這個(gè)概念: 提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法;切線斜率的本質(zhì)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù). (2)曲線在某點(diǎn)處的切線:1)與該點(diǎn)的位置有關(guān);2)要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解.如有極限,則在此點(diǎn)有切線,且切線是唯一的;如不存在,則在此點(diǎn)處無切線;3)曲線切線,并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn),可以有多個(gè),甚至可以無窮多.2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)等于在該點(diǎn)處的切線的斜率, 即說明: 求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的基本步驟:求出點(diǎn)的坐標(biāo);求出函數(shù)在點(diǎn)處的變化率得到曲線在點(diǎn)的切線的斜率;利用點(diǎn)斜式求切線方程.3.導(dǎo)函數(shù)由函數(shù)在處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到,當(dāng)時(shí),是一個(gè)確定的數(shù),那么,當(dāng)變

8、化時(shí),便是的一個(gè)函數(shù),我們叫它為的導(dǎo)函數(shù).記作:或,即.注: 在不致發(fā)生混淆時(shí),導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù).4.函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系(1)函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限,它是一個(gè)常數(shù),不是變數(shù).(2)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)而言的,就是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù). (3)函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值,這也是求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的方法之一.四。【例題精析】例1 求曲線在點(diǎn)處的切線方程.解: 所以,所求切線的斜率為因此,所求的切線方程為即變式訓(xùn)練1求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程.因?yàn)?所以,所求切線的斜率為,因此,所求的切線方程為即例2 如圖3.1

9、-3,它表示跳水運(yùn)動(dòng)中高度隨時(shí)間變化的函數(shù),根據(jù)圖像,請(qǐng)描述、比較曲線在、附近的變化情況.解: 我們用曲線在、處的切線,刻畫曲線在上述三個(gè)時(shí)刻附近的變化情況.(1) 當(dāng)時(shí),曲線在處的切線平行于軸,所以,在附近曲線比較平坦,幾乎沒有升降.(2)當(dāng)時(shí),曲線在處的切線的斜率,所以,在附近曲線下降,即函數(shù)在附近單調(diào)遞減.(3)當(dāng)時(shí),曲線在處的切線的斜率,所以,在附近曲線下降,即函數(shù)在附近單調(diào)遞減從圖3.1-3可以看出,直線的傾斜程度小于直線的傾斜程度,這說明曲線在附近比在附近下降的緩慢.例3 如圖3.1-4,它表示人體血管中藥物濃度(單位:)隨時(shí)間(單位:)變化的圖象.根據(jù)圖像,估計(jì)時(shí),血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率(精確到).解: 血管中某一時(shí)刻藥物濃度的瞬時(shí)變化率,就是藥物濃度在此時(shí)刻的導(dǎo)數(shù),從圖像上看,它表示曲線在此點(diǎn)處的切線的斜率.如圖3.1-4,畫出曲線上某點(diǎn)處的切線,利用網(wǎng)格估計(jì)這條切線的斜率,可以得到此時(shí)刻藥物濃度瞬時(shí)變化率的近似值.作處的切線,并在切線上去兩點(diǎn),如,則它的斜率為,所以下表給出了藥物濃度瞬時(shí)變化率的估計(jì)值:0.20.40.60.8藥物濃度瞬時(shí)變化率0.40-0.7-1.4五。課堂小結(jié)1.曲線的切線定義.當(dāng)點(diǎn)沿著曲線無限接近點(diǎn)即時(shí),割線趨近于確定的位置,這個(gè)確定位置的直