高中數(shù)學(xué) 111 正弦定理 教案

1、高中數(shù)學(xué) 1.1.1 正弦定理 教案教學(xué)分析本節(jié)內(nèi)容是正弦定理教學(xué)的第一節(jié)課，其主要任務(wù)是引入并證明正弦定理做好正弦定理的教學(xué)，不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識，使學(xué)生掌握新的有用的知識，體會聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點，而且能培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和實踐操作能力，以及提出問題、解決問題等研究性學(xué)習(xí)的能力在初中學(xué)習(xí)過關(guān)于任意三角形中大邊對大角、小邊對小角的邊角關(guān)系，本節(jié)內(nèi)容是處理三角形中的邊角關(guān)系，與初中學(xué)習(xí)的三角形的邊與角的基本關(guān)系有著密切的聯(lián)系；這里的一個重要問題是：是否能得到這個邊、角關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示也就是如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題這樣，用聯(lián)系的觀點，從新的角度看過去的問題

2、，使學(xué)生對過去的知識有了新的認(rèn)識，同時使新知識建立在已有知識的堅實基礎(chǔ)上，形成良好的知識結(jié)構(gòu)在學(xué)法上主要指導(dǎo)學(xué)生掌握“觀察猜想證明應(yīng)用”這一思維方法，逐步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力和創(chuàng)造性思維的能力本節(jié)課以及后面的解三角形中涉及到計算器的使用與近似計算，這是一種基本運算能力，學(xué)生基本上已經(jīng)掌握了若在解題中出現(xiàn)了錯誤，則應(yīng)及時糾正，若沒出現(xiàn)問題就順其自然，不必花費過多的時間本節(jié)可結(jié)合課件“正弦定理猜想與驗證”學(xué)習(xí)正弦定理三維目標(biāo)1通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法，會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題2通過正弦定理的探究學(xué)習(xí)，

3、培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法去解決實際問題的能力通過學(xué)生的積極參與和親身實踐，并成功解決實際問題，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情，培養(yǎng)學(xué)生獨立思考和勇于探索的創(chuàng)新精神重點難點教學(xué)重點：正弦定理的證明及其基本運用教學(xué)難點：正弦定理的探索和證明；已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，判斷解的個數(shù)課時安排1課時教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1.(特例引入)教師可先通過直角三角形的特殊性質(zhì)引導(dǎo)學(xué)生推出正弦定理形式，如RtABC中的邊角關(guān)系，若C為直角，則有acsinA，bcsinB，這兩個等式間存在關(guān)系嗎？學(xué)生可以得到，進(jìn)一步提問，等式能否與邊c和C建立聯(lián)系？從而展開正弦定理的探究思路2.(情境

4、導(dǎo)入)如圖，某農(nóng)場為了及時發(fā)現(xiàn)火情，在林場中設(shè)立了兩個觀測點A和B，某日兩個觀測點的林場人員分別測到C處有火情發(fā)生在A處測到火情在北偏西40°方向，而在B處測到火情在北偏西60°方向，已知B在A的正東方向10千米處現(xiàn)在要確定火場C距A、B多遠(yuǎn)？將此問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即“在ABC中，已知CAB130°，CBA30°，AB10千米，求AC與BC的長”這就是一個解三角形的問題為此我們需要學(xué)習(xí)一些解三角形的必要知識，今天要探究的是解三角形的第一個重要定理正弦定理，由此展開新課的探究學(xué)習(xí)推進(jìn)新課(1)閱讀本章引言，明確本章將學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容及本章將要解決哪些問題？(

5、2)聯(lián)想學(xué)習(xí)過的三角函數(shù)中的邊角關(guān)系，能否得到直角三角形中角與它所對的邊之間在數(shù)量上有什么關(guān)系？(3)由(2)得到的數(shù)量關(guān)系式，對一般三角形是否仍然成立？(4)正弦定理的內(nèi)容是什么，你能用文字語言敘述它嗎？你能用哪些方法證明它？(5)什么叫做解三角形？(6)利用正弦定理可以解決一些怎樣的三角形問題呢？活動：教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀本章引言，點出本章數(shù)學(xué)知識的某些重要的實際背景及其實際需要，使學(xué)生初步認(rèn)識到學(xué)習(xí)解三角形知識的必要性如教師可提出以下問題：怎樣在航行途中測出海上兩個島嶼之間的距離？怎樣測出海上航行的輪船的航速和航向？怎樣測量底部不可到達(dá)的建筑物的高度？怎樣在水平飛行的飛機上測量飛機下方山頂?shù)?/p>

6、海拔高度？這些實際問題的解決需要我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)任意三角形中邊與角關(guān)系的有關(guān)知識讓學(xué)生明確本章將要學(xué)習(xí)正弦定理和余弦定理，并學(xué)習(xí)應(yīng)用這兩個定理解三角形及解決測量中的一些問題關(guān)于任意三角形中大邊對大角、小邊對小角的邊角關(guān)系，教師引導(dǎo)學(xué)生探究其數(shù)量關(guān)系先觀察特殊的直角三角形如下圖，在RtABC中，設(shè)BCa，ACb，ABc，根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有sinA，sinB，又sinC1，則c.從而在RtABC中，.那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立呢？教師引導(dǎo)學(xué)生畫圖討論分析如下圖，當(dāng)ABC是銳角三角形時，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義，有CDasinBbsinA，則

7、.同理，可得.從而.(當(dāng)ABC是鈍角三角形時，解法類似銳角三角形的情況，由學(xué)生自己完成)通過上面的討論和探究，我們知道在任意三角形中，上述等式都成立教師點出這就是今天要學(xué)習(xí)的三角形中的重要定理正弦定理正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即上述的探究過程就是正弦定理的證明方法，即分直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三種情況進(jìn)行證明教師提醒學(xué)生要掌握這種由特殊到一般的分類證明思想，同時點撥學(xué)生觀察正弦定理的特征它指出了任意三角形中，各邊與其對應(yīng)角的正弦之間的一個關(guān)系式正弦定理的重要性在于它非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系；描述了任意三角形中大邊對大角的一種準(zhǔn)確的數(shù)

8、量關(guān)系因為如果AB，由三角形性質(zhì)，得ab.當(dāng)A、B都是銳角，由正弦函數(shù)在區(qū)間(0，)上的單調(diào)性，可知sinAsinB.當(dāng)A是銳角，B是鈍角時，由于AB，因此BA，由正弦函數(shù)在區(qū)間(，)上的單調(diào)性，可知sinBsin(A)sinA，所以仍有sinAsinB.正弦定理的證明方法很多，除了上述的證明方法以外，教師鼓勵學(xué)生課下進(jìn)一步探究正弦定理的其他證明方法討論結(jié)果：(1)(4)略(5)已知三角形的幾個元素(把三角形的三個角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素)求其他元素的過程叫做解三角形(6)應(yīng)用正弦定理可解決兩類解三角形問題：已知三角形的任意兩個角與一邊，由三角形內(nèi)角和定理，可以計算出

9、三角形的另一角，并由正弦定理計算出三角形的另兩邊，即“兩角一邊問題”這類問題的解是唯一的已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角，可以計算出另一邊的對角的正弦值，進(jìn)而確定這個角和三角形其他的邊和角，即“兩邊一對角問題”這類問題的答案有時不是唯一的，需根據(jù)實際情況分類討論例1在ABC中，已知A32.0°，B81.8°，a42.9 cm，解此三角形活動：解三角形就是已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程，在本例中就是求解C，b，c.此題屬于已知兩角和其中一角所對邊的問題，直接應(yīng)用正弦定理可求出邊b，若求邊c，則先求C，再利用正弦定理即可解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得C180&#

10、176;(AB)180°(32.0°81.8°)66.2°.根據(jù)正弦定理，得b80.1(cm)；c74.1(cm)點評：(1)此類問題結(jié)果為唯一解，學(xué)生較易掌握，如果已知兩角及兩角所夾的邊，也是先利用三角形內(nèi)角和定理180°求出第三個角，再利用正弦定理(2)對于解三角形中的復(fù)雜運算可使用計算器變式訓(xùn)練在ABC中(結(jié)果保留兩個有效數(shù)字)，(1)已知c，A45°，B60°，求b；(2)已知b12，A30°，B120°，求a.解：(1)C180°(AB)180°(45°60

11、6;)75°，b1.6.(2)，a6.9.例2已知ABC，根據(jù)下列條件，求相應(yīng)的三角形中其他邊和角的大小(保留根號或精確到0.1)：(1)A60°，B45°，a10；(2)a3，b4，A30°；(3)b3，c6，B120°.活動：教師可引導(dǎo)學(xué)生先畫圖，加強直觀感知，明確解的實際情況，這樣在求解之后，無需作進(jìn)一步的檢驗，使學(xué)生在運用正弦定理求邊、角時，感到目的明確，思路清晰流暢，同時體會分析問題的重要性，養(yǎng)成解題前自覺判定解題策略的良好習(xí)慣，而不是盲目亂試，靠運氣解題解：(1)因為C180°60°45°75°

12、;，所以由正弦定理，得b8.2，c11.2(如圖1所示)圖1(2)由正弦定理，得sinB，因此B41.8°或B138.2°(如圖2所示)圖2當(dāng)B41.8°時，C180°30°41.8°108.2°，c5.7；當(dāng)B138.2°時，C180°30°138.2°11.8°，c1.2(如圖2所示)(3)由正弦定理，得sinC，因此C45°或C135°.因為B120°，所以C60°.因此C45°，A180°BC15°

13、.再由正弦定理，得a2.2(如圖3所示)圖3點評：通過此例題可使學(xué)生明確，利用正弦定理求角有兩種可能，可以通過分析獲得，這就要求學(xué)生熟悉已知兩邊和其中一邊的對角時解三角形的各種情形當(dāng)然對于不符合題意的解的取舍，也可通過三角形的有關(guān)性質(zhì)來判斷，對于這一點，我們通過下面的變式訓(xùn)練來體會變式訓(xùn)練在ABC中，已知a60，b50，A38°，求B(精確到1°)和c.(保留兩個有效數(shù)字)解：ba，BA，因此B也是銳角sinB0.513 1，B31°.C180°(AB)180°(38°31°)111°.c91.例3如圖，在ABC中

14、，A的角平分線AD與邊BC相交于點D，求證：.活動：這是初中平面幾何中角平分線的性質(zhì)定理，用平面幾何的方法很容易證得教材安排本例的目的是讓學(xué)生熟悉正弦定理的應(yīng)用，教師可引導(dǎo)學(xué)生分析相關(guān)的三角形的邊角關(guān)系，讓學(xué)生自己證明證明：如圖，在ABD和CAD中，由正弦定理，得，÷，得.點評：解完此題后讓學(xué)生體會是如何通過正弦定理把所要證的線段連在一起的本例可以啟發(fā)學(xué)生利用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，并且注意互補角的正弦值相等這一特殊關(guān)系式的應(yīng)用例4在ABC中，A45°，BC45，最大邊長為10，求角B、C，外接圓半徑R及面積S.活動：教師引導(dǎo)學(xué)生分析條件BC45，由于ABC180

15、°，由此可求解出B、C，這樣就轉(zhuǎn)化為已知三個角及最大角所對的邊解三角形，顯然其解唯一，結(jié)合正弦定理的平面幾何證法，由此可解三角形，教師讓學(xué)生自己探究此題，對于思路有阻的學(xué)生可給予適當(dāng)點撥解：由ABC180°及BC45，可設(shè)B4k，C5k，則9k135°，故k15°，那么B60°，C75°.由正弦定理，得R5()，由面積公式Sbc·sinAc·2RsinB·sinA7525.點評：求面積時，b未知但可轉(zhuǎn)化為b2RsinB，從而解決問題1.在ABC中，(a2b2)sin(AB)(a2b2)sinC，則ABC是

16、()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形答案：D解析：運用正弦定理a2RsinA，b2RsinB以及結(jié)論sin2Asin2Bsin(AB)·sin(AB)，由(a2b2)sin(AB)(a2b2)sinC，(sin2Asin2B)sin(AB)(sin2Asin2B)sinC.(sin2Asin2B)sin(AB)sin(AB)·sin(AB)·sinC.若sin(AB)0，則AB.若sin(AB)0，則sin2Asin2Bsin2Ca2b2c2.ABC為等腰三角形或直角三角形故選D.2已知ABC中，ABC123，那么abc等于()A123

17、B321C12 D21答案：C1在ABC中，a2，A30°，C45°，則ABC的面積S的值是()A. B.1 C.(1) D22在ABC中，已知a5，B105°，C15°，則此三角形的最大邊長為_3在ABC中，若(bc)cosAacosC，則cosA_.答案：1B解析：由正弦定理，得c2，B180°AC105°，ABC的面積SacsinB×2×2sin105°1.2.解析：B105°，C15°，A60°.b為ABC的最長邊由正弦定理，得b.3.解析：由正弦定理，知a2Rsin

18、A，b2RsinB，c2RsinC(R為ABC的外接圓半徑)(sinBsinC)cosAsinA·cosC，化簡，得sinB·cosAsin(AC)sinB.0sinB1，cosA.1先由學(xué)生回顧本節(jié)課正弦定理的證明方法、正弦定理可以解決的兩類問題及解三角形需要注意的問題，特別是兩解的情況應(yīng)怎樣理解2我們在推證正弦定理時采用了從特殊到一般的分類討論思想，以“直角三角形”作問題情境，由此展開問題的全面探究，正弦定理的證明方法很多，如平面幾何法、向量法、三角形面積法等讓學(xué)生課后進(jìn)一步探究這些證明方法，領(lǐng)悟這些方法的思想內(nèi)涵3通過例3引入了三角形外接圓半徑R與正弦定理的關(guān)系但應(yīng)引

19、起學(xué)生注意，R的引入能給我們解題帶來極大的方便習(xí)題11A組1、2、3.設(shè)計感想本教案設(shè)計思路是：立足于所創(chuàng)設(shè)的情境，通過學(xué)生自主探索、合作交流，讓學(xué)生親身經(jīng)歷提出問題、解決問題、應(yīng)用反思的過程，使學(xué)生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受創(chuàng)造的快樂，知識目標(biāo)、能力目標(biāo)、情感目標(biāo)均得到較好的落實本教案的設(shè)計時刻注意引導(dǎo)并鼓勵學(xué)生提出問題一方面鼓勵學(xué)生大膽地提出問題；另一方面注意妥善處理學(xué)生提出的問題，啟發(fā)學(xué)生抓住問題的數(shù)學(xué)實質(zhì)，將問題逐步引向深入根據(jù)上述設(shè)想，引導(dǎo)學(xué)生從感興趣的實際問題到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標(biāo)問題在直角三角形中的情況，從而形成猜想，激起進(jìn)一步探究的欲望，然后引

20、導(dǎo)學(xué)生對猜想進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯證明，并讓學(xué)生通過自己的努力發(fā)現(xiàn)多種證法，開闊學(xué)生視野備課資料一、知識擴展1判斷三角形解的方法“已知兩邊和其中一邊的對角”解三角形，這類問題分為一解、兩解和無解三種情況一方面，我們可以利用課本上的幾何圖形加以理解，另一方面，也可以利用正弦函數(shù)的有界性進(jìn)行分析設(shè)已知a、b、A，則利用正弦定理sinB，如果sinB1，則問題無解；如果sinB1，則問題有一解；如果求出的sinB1，則可得B的兩個值，但要通過“三角形內(nèi)角和定理”或“大邊對大角”等三角形有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行判斷2利用正弦定理進(jìn)行邊角互換對于三角形中的三角函數(shù)，在進(jìn)行恒等變形時，常常將正弦定理寫成a2RsinA，b2R

21、sinB，c2RsinC或sinA，sinB，sinC(R為ABC的外接圓半徑)這樣可以很方便地把邊和角的正弦進(jìn)行轉(zhuǎn)換，我們將在以后具體應(yīng)用3正弦定理的其他幾種證明方法(1)三角形面積法如圖，已知ABC，設(shè)BCa，CAb，ABc，作ADBC，垂足為D.則RtADB中，sinB，ADAB·sinBcsinB.SABCa·ADacsinB.同理，可得SABCabsinCbcsinA.acsinBabsinCbcsinA.，即.(2)平面幾何法如圖，在ABC中，已知BCa，ACb，ABc，作ABC的外接圓，O為圓心，連結(jié)BO并延長交圓于C點，設(shè)BC2R，則根據(jù)直徑所對的圓周角是直

22、角以及同弧所對的圓周角相等可以得到BAC90°，CC，sinCsinC.2R.同理，可得2R，2R.2R.這就是說，對于任意的三角形，上述關(guān)系式均成立，因此，我們得到等式.這種證明方法簡潔明快在鞏固平面幾何知識的同時，將任意三角形與其外接圓聯(lián)系在一起，并且引入了外接圓半徑R，得到2R這一等式，其變式為a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，可以更快捷地實現(xiàn)邊角互化特別是可以更直觀地看出正弦定理描述的三角形中大邊對大角的準(zhǔn)確數(shù)量關(guān)系，為正弦定理的應(yīng)用帶來更多的便利(3)向量法如圖，ABC為銳角三角形，過點A作單位向量j垂直于，則j與的夾角為90°A，j與的夾角為90&

23、#176;C.由向量的加法原則可得，為了與圖中有關(guān)角的三角函數(shù)建立聯(lián)系，我們在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數(shù)量積運算，得到j(luò)·()j·，由分配律可得j·j·j·.|j|cos90°|j|cos(90°C)|j|cos(90°A)asinCcsinA.同理，可得.如圖，ABC為鈍角三角形，不妨設(shè)A90°，過點A作與垂直的單位向量j，則j與的夾角為A90°，j與的夾角為90°C.由，得j·j·j·，即a·cos(90°C)c·cos(A90°)，asinCcsinA.同理，可得.當(dāng)ABC為直角三角形時，顯然成立綜上所述，正弦定理對于銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形均成立二、備用習(xí)題1在ABC中，A45°，B60°，a10，則b等于()A5 B10 C. D52ABC中，A、B、C的對邊分別為a、b、c，且sinB，sinC，則abc等于 ()A12 B11C12 D2