物理中求極值的常用方法

1、物理解題中求極值的常用方法 運用數(shù)學(xué)工具處理物理問題的能力是高考重點考查的五種能力之一，其中極值的計算在教學(xué)中頻繁出現(xiàn)。因為極值問題范圍廣、習(xí)題多，會考、高考又經(jīng)?？疾椋瑧?yīng)該得到足夠重視。另外很多學(xué)生數(shù)、理結(jié)合能力差，這里正是加強數(shù)理結(jié)合的“切人點”。學(xué)生求極值，方法較少，教師應(yīng)該在高考專題復(fù)習(xí)中提供多種求極值的方法。求解物理極值問題可以從物理過程的分析著手，也可以從數(shù)學(xué)方法角度思考，下面重點對數(shù)學(xué)方法求解物理極值問題作些說明。1、利用頂點坐標(biāo)法求極值對于典型的一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c,若a>0,則當(dāng)x=-時,y有極小值，為ymin=；若a<0,則當(dāng)x=-時,y有極大值，為

2、ymax =；2、利用一元二次函數(shù)判別式求極值對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c，用判別式法利用b2-4ac0。(式中含y)若yA，則yminA。若yA，則ymaxA。3、利用配方法求極值對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c，函數(shù)解析式經(jīng)配方可變?yōu)閥=(x-A)2+常數(shù)：（1）當(dāng)xA時，常數(shù)為極小值；或者函數(shù)解析式經(jīng)配方可變?yōu)閥 = ( xA )2+常數(shù)。（2）當(dāng)xA時，常數(shù)為極大值。4、利用均值定理法求極值均值定理可表述為，式中a、b可以是單個變量，也可以是多項式。當(dāng)ab時， (a+b)min2 。當(dāng)ab時， (a+b) max。5、利用三角函數(shù)求極值如果所求物理量表達(dá)式中含有三角函數(shù)，可利用三角

3、函數(shù)的極值求解。若所求物理量表達(dá)式可化為“y=Asin”的形式，則y=Asin2，在=45º時，y有極值。對于復(fù)雜的三角函數(shù)，例如y=asin+bcos，要求極值時先需要把不同名的三角函數(shù)sin和cos2 / 18，變成同名的三角函數(shù)，比如sin(+) 。這個工作叫做“化一”。首先應(yīng)作輔助角如所示。ab圖1考慮asin+bcos () (cossin+sincos)sin(+)其最大值為。6、用圖象法求極值通過分析物理過程遵循的物理規(guī)律，找到變量之間的函數(shù)關(guān)系，作出其圖象，由圖象可求得極值。7、用分析法求極值分析物理過程，根據(jù)物理規(guī)律確定臨界條件求解極值。下面針對上述7種方法做舉例說

4、明。例1：如圖2所示的電路中。電源的電動勢12伏，內(nèi)阻r0.5歐，外電阻R12歐，R23歐，滑動變阻器R35歐。求滑動變阻器的滑動頭P滑到什么位置，電路中的伏特計的示數(shù)有最大值?最大值是多少?R1R3apbVR2圖2分析：設(shè)aP間電阻為x，外電路總電阻為R. 則： 先求出外電阻的最大值Rmax再求出伏特計示數(shù)的最大值Umax。本題的關(guān)鍵是求Rmax，下面用四種方法求解Rmax。 方法一 用頂點坐標(biāo)法求解拋物線方程可表示為yax2+bx+c?？紤]R=，設(shè)y-x2+6x+16，當(dāng)x 3時，Rmax(3) 2.5。 方法二 用配方法求解考慮R =。即x3時，Rmax。方法三 用判別式法求解考慮R ，

5、則有-x2+6x+16-10R0，b2-4ac36-4(-1)(16-10R)0，即：100-40R0，R2.5，即Rmax2.5。 方法四 用均值定理法求解考慮R，設(shè)a2+x；b8-x。當(dāng)ab時，即2+x8-x，即x3時，Rmax(3) 2.5。也可以用上面公式(a+b)max25，Rmax2.5。以上用四種方法求出Rmax2.5，下邊求伏特計的最大讀數(shù)。Imin4(A)。Umax- Iminr12-40.510(V)。即變阻器的滑動頭P滑到R3的中點2.5處，伏特計有最大值，最大值為10伏。例2：如圖3所示。光滑軌道豎直放置，半圓部分的半徑為R，在水平軌道上停著一個質(zhì)量為M0.99kg的木

6、塊，一顆質(zhì)量為m0.01Kg的子彈，以V0=400m/s的水平速度射入木塊中，然后一起運動到軌道最高點水平拋出，試分析：當(dāng)圓半徑R多大時，平拋的水平位移是最大?且最大值為多少? 圖3Mmv0RO 解析子彈與木塊發(fā)生碰撞的過程，動量守恒，設(shè)共同速度為V1，則：mV0(m+M)V1，所以：V1= 設(shè)在軌道最高點平拋時物塊的速度為V2，由于軌道光滑，故機械能守恒： 所以：V2=則平拋后的位移可以表示為：s =V2t =V2 4。因為a=-1<0,所以水平位移S應(yīng)該存在最大值。當(dāng)R=0.2m時，Smax0.8m例3：在一平直較窄的公路上，一輛汽車正以22m/s的速度勻速行駛，正前方有一輛自行車以

7、4m/s的速度同向勻速行駛，汽車剎車的最大加速度為6ms2，試分析兩車不相撞的條件。解析要使二者不相撞，則二者在任一時間內(nèi)的位移關(guān)系應(yīng)滿足V0t- （式中S為汽車剎車時與自行車間距）代入數(shù)據(jù)整理得：3t2-18t+S>0，顯然，當(dāng)滿足b2-4ac0，即182-43S0得：S27m，Smin=27m。當(dāng)汽車剎車時與自行車間距為27米時是汽車不與自行車相撞的條件。例4：如圖4所示。一輛四分之一圓弧小車停在不光滑水平地面上，質(zhì)量為m的小球從靜止開始由車頂無摩擦滑下，且小車始終保持靜止?fàn)顟B(tài)，試分析：當(dāng)小球運動到什么位置時，地面對小車的摩擦力最大?最大值是多少?OmgN圖4解析：設(shè)圓弧半徑為R，當(dāng)

8、小球運動到重力mg與半徑夾角為時，速度為V，根據(jù)機械能守恒定律和牛頓第二定律有：解得小球?qū)π≤嚨膲毫椋篘=3mgcos，其水平分量為：Nx=3mgsincos=根據(jù)平衡條件，地面對小車的靜摩擦力水平向右，大小為：f= Nx=可以看出：當(dāng)sin2=1,即=45º時，地面對小車的靜摩擦力最大，其值為：fmax=。例5：如圖5所示。質(zhì)量為m的物體由力F牽引而在地面上勻速直線運動。物體與地面間的滑動摩擦系數(shù)為,求力F最小時的牽引角。(F的方向是隨變化的。)N圖5GfF解析：因物體勻速直線運動，所以有： Fcos-f0 fN(mg-Fsin) 代人得：Fcos-mg+Fsin0即：F 。分母

9、為兩項不同名的三角函數(shù)，需要轉(zhuǎn)化成同名的三角函數(shù)，也就是需要“化一”。由前面的“化一”結(jié)論得：a sin+b cossin(+)考慮本題分母：sin+cos與a sin+b cos用比較法，得：a；b1。于是tg，則arc tg。所以，sin+cossin(+arc tg)。要使F最小，則分母sin+cos需最大，因此，+arc tg。所以有：-arc tg-arc ctg=arc tg。 即：=arc tg時，F(xiàn)最小。作為教師，運用“求導(dǎo)數(shù)”對本題驗算非常簡便。F。考慮，則有cos-sin0則arc tg，即當(dāng)F最小時，牽引角arc tg。例6：甲、乙兩物體同時、同地、同向由靜止出發(fā)，甲做勻

10、加速直線運動，加速度為4米秒2，4秒后改為勻速直線運動；乙做勻加速直線運動，加速度為2米秒2，10秒后改為勻速直線運動，求乙追上甲之前它們之間的最大距離。 分析：運用物理規(guī)律和圖形相結(jié)合求極值是常用的一種比較直觀的方法。由題意可知，4秒后甲做勻速直線運動的速度為：V甲=a甲t甲4416(ms)。 乙10秒后做勻速運動的速度為：V乙a乙t乙21020(ms)。481251020V(m/s)t/s0A（8；16）甲乙16圖6可畫出vt如上圖6所示。圖線在A(8，16)點相交，這表明在t8秒時，兩物體的速度相等，因此在t8秒時，兩者間的距離最大。此時兩圖線所圍觀積之差，就是兩者間的最大距離。 即S

11、max416 + 416 81632(m)。 用分析法求極值在物理計算中較常見。經(jīng)過對物理狀態(tài)或過程分析后求極值，不一定要用繁難的數(shù)學(xué)，關(guān)鍵是確定臨界狀態(tài)和過程的最值。例7：如圖7所示。AB、CD是兩條足夠長的固定平行金屬導(dǎo)軌，兩條導(dǎo)軌間的距離為L，導(dǎo)軌平面與平面的夾角是，在整個導(dǎo)軌平面內(nèi)部有垂直于導(dǎo)軌平面斜向上方的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B。在導(dǎo)軌的AC端連接一個阻值為R的電阻，一根垂直于導(dǎo)軌放置的金屬棒ab，質(zhì)量為m，從靜止開始沿導(dǎo)軌下滑。已知ab與導(dǎo)軌間的滑動摩擦系數(shù)為，導(dǎo)軌和金屬棒的電阻不計。求ab棒的最大速度。 RACBab圖7B 解析：采用分析法要注意抓三個環(huán)節(jié)，即分析物理過程；確定

12、極值狀態(tài)；運用物理規(guī)律求解。金屬棒ab橫截面受力如上圖7所示。在下滑過程中，ab受重力mg，支持力Nmgcos，摩擦力fmgcos，安培力F。沿導(dǎo)軌平面有： mgsin-mgcos-=ma ab由靜止加速下滑會導(dǎo)致：VFa 當(dāng)a0時，ab速度到達(dá)最大，即：VVmax所以式變?yōu)閙gsinmgcos=0 解式得：Vmax 。綜上所述，求解極值習(xí)題常用的方法列舉了七種、即均值定理法、頂點坐標(biāo)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)中“化一”法、圖解法、分析法。針對有些習(xí)題所給的條件的“有界性”，運用求極值的方法時要特別注意，求出的極值不能“出界”，要注意定義域和值域的對應(yīng)關(guān)系。 例8：如圖8所示。已知電流表內(nèi)阻忽略不計。10V，r1，RoR4，其中R為滑動變阻器的最大值。當(dāng)滑動片P從最左端滑到最右端的過程中，電流表的最小值是多少?最大值是多少?電流表的示數(shù)將怎樣變化?AR0RPab圖8解：設(shè)滑動變阻器滑片P左端的電阻為R左，通過電流表的電流為IA，通過Ro的電流為Io，由并聯(lián)電路可知= 由歐姆定律得：I 即：I=I=I0+IA= IA 把代入式整理得IA 用配方法對式求極值。IA = 當(dāng)R2.5時，IA有極小值IAmin1.52(A)。當(dāng)求電流表的最大值時，就需考慮R的取值范圍是“有界”的。這時的極值要與“界”的定義域?qū)?yīng)，不能“出界”。