《有理數(shù)》和《代數(shù)式》知識要點

1、有理數(shù)知識要點知識要點一：負(fù)數(shù)的引入（正數(shù)和負(fù)數(shù)用來表示具有相反意義的量）例1：（1）如果把零上溫度規(guī)定為正，則零下8可以記作_，零上5可以記作_，零攝氏度可以記作_。（2）如果收入1000元記作1000元，那么 1000元表示_ （3）如果向東走8米記作8米，那么向西走10米記作_，原地不動記作_.（4）知識競賽中，如果加5分用5表示，那么扣3分應(yīng)該怎樣表示呢？_（5）如果虧損200元記為 200元，那么盈利300元應(yīng)記作什么呢？_（6）一個球超出標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量10克，記為10克，那么 5克表示_例2：在一次體育課上，老師讓同學(xué)練習(xí)踢毽子，以踢7個為標(biāo)準(zhǔn)，超過的個數(shù)用正數(shù)表示，不足的個數(shù)用負(fù)數(shù)表示

2、，其中8名同學(xué)的成績分別為 1， 0， 3， 4，2， 0， 1， 2. （1）這8名同學(xué)的實際成績分別是多少？ （2）這8名同學(xué)中有幾個人達(dá)標(biāo)？（即踢7個或7個以上）注意：帶有負(fù)號的數(shù)就是負(fù)數(shù)嗎？例3：a一定是正數(shù)嗎？ a一定是負(fù)數(shù)嗎？知識要點二：有理數(shù)的分類 _ _ _ _ 有 _ 理 _ _ 數(shù) _ _ _ 注意：自然數(shù)：0，1，2，3， 偶數(shù)：2，4，2，3， p不是有理數(shù)通常把正數(shù)和0統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)和0統(tǒng)稱為非正數(shù)，正整數(shù)和0稱為非負(fù)整數(shù)（也叫做自然數(shù)），負(fù)整數(shù)和0統(tǒng)稱為非正整數(shù)。如果用字母表示數(shù)，a0表明a是正數(shù)；a0表明a是負(fù)數(shù)；a0表明a是非負(fù)數(shù)；a0表明a是非正數(shù)。例4：

3、判斷題（1）有理數(shù)包括正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)。 （ ）（2）有限小數(shù)和無限小數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。 （ ）（3）一個數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)。 （ ）例5：最小的正整數(shù)是_，最大的負(fù)整數(shù)是_，最小的自然數(shù)是_.例6：把下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合中。 6.9，18， ，3.1416，0，2008，4.95，0.28，2000.（1）正整數(shù)集合： ；（2）負(fù)整數(shù)集合： ；（3）正分?jǐn)?shù)集合： ；（4）負(fù)分?jǐn)?shù)集合： ；（5）整數(shù)集合： ；（6）分?jǐn)?shù)集合： ；（7）非負(fù)數(shù)集合： ；（8）非負(fù)整數(shù)集合： ；（9）負(fù)數(shù)集合： ；（10）有理數(shù)集合： ；例7：找規(guī)律填數(shù)。（1），( ) (2) 填第k個數(shù)：（ ）知識點三：數(shù)軸（

4、三要素：_、_、_）數(shù)軸上的點所表示的數(shù)，越往_越大，即_邊的數(shù)大于_邊的數(shù)。例8：在數(shù)軸上，與表示數(shù)1的點距離2個單位長度的點有幾個？所表示的數(shù)分別是什么？例9：如下圖所示，在數(shù)軸上有四個點A，B，C，D.（1）A，C兩點間的距離是多少？ （2）B，D兩點間的距離是多少？（3）將A點向右移動5個單位長度后，所表示的數(shù)是多少？例10：如下圖所示，數(shù)軸上的點A，B分別表示數(shù)3和2，點C到A，B兩點的距離相等，求點C所表示的數(shù)。知識點四：相反數(shù)(表示方法：_)1.相反數(shù)的性質(zhì)：互為相反數(shù)的兩個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點一個在原點的左邊，一個在原點的右邊，且離原點的距離相等，也就是說它們關(guān)于原點對稱。如果數(shù)

5、a和數(shù)b互為相反數(shù)，則ab=0（和為零）； （商為1）；互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等。即a =b ；a =b 等價于a=b或者a= b（a與b互為相反數(shù)）2.雙重或雙重以上符號化簡：看負(fù)號的個數(shù)，奇數(shù)個負(fù)號結(jié)果為_，偶數(shù)個負(fù)號結(jié)果為_。例11：求下列各數(shù)的相反數(shù)。（1）2 （2）3a （3） （4）（8）例12：的相反數(shù)是_；的相反數(shù)是_；的相反數(shù)是_；例13：已知a，b，c，d都是不為0的有理數(shù)，且a，b互為相反數(shù)，c，d互為相反數(shù)。求的值。例14：化簡下列各數(shù)的符號 知識點五：絕對值(1) 絕對值可表示為：(2) |a|是重要的非負(fù)數(shù)，即|a|0；(3) ； ；例15：如果兩個數(shù)和的絕對值

6、相等，則下列說法正確的是（ ） A、 B、 C、 D、不能確定例16：如果兩個數(shù)的絕對值相等，那么這兩個數(shù)是( ) A、互為相反數(shù) B、相等 C、積為0 D、互為相反數(shù)或相等例17：已知ab>0，試求的值。例18：若|x|= x，則x是_數(shù)；例19：若3y2=0，則 = ；例20：如果兩個數(shù)和的絕對值相等，則下列說法正確的是（ ） A、 B、 C、 D、不能確定知識點六：有理數(shù)的大小比較1.數(shù)學(xué)中規(guī)定：在數(shù)軸上表示有理數(shù)，它們從左到右的順序，就是從_到_的順序，即_邊的數(shù)小于_邊的數(shù)。2.正數(shù)_于0，0_于負(fù)數(shù)，正數(shù)_于負(fù)數(shù)。兩個負(fù)數(shù)，絕對值_的反而_。知識點七：有理數(shù)的加法例21：計算

7、下列各式 （ 3）（ 4）7 用加法的運算律進(jìn)行簡便運算的基本思路是：先把互為相反數(shù)的數(shù)相加；把同分母的分?jǐn)?shù)先相加；符號相同的數(shù)先相加；把相加得整數(shù)的數(shù)先相加。例22：計算下列各式 知識點八：有理數(shù)的減法例23：計算：例24：月球表面的溫度中午是，半夜是，中午比半夜高多少度？例25：已知是6的相反數(shù)，比的相反數(shù)小5，求比大多少？知識點九：有理數(shù)的乘法多個有理數(shù)相乘時，積的符號確定規(guī)律：多個有理數(shù)相乘，若有一個因數(shù)為0，則積為0；幾個都不為0的因數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)來決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)時，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)時，積為正。 （與多重符號化簡類似）例26：計算下列各式： 知

8、識點十：有理數(shù)的除法a和b互為倒數(shù)，則ab=1；求一個數(shù)的倒數(shù)就是把原分子分母的位置顛倒過來。例27：倒數(shù)是其本身的數(shù)有_；例28：計算下列各式： 知識點十一：有理數(shù)的乘方（1）正數(shù)的任何次方都是正數(shù)，負(fù)數(shù)的偶數(shù)次方是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇數(shù)次方是負(fù)數(shù)，0的任何非0次冪都是0，1的任何非0次冪都是1，1偶數(shù)次冪是1、1奇數(shù)次冪是 1；（2）“” 所表示的意義是n個a相乘，不是n乘以a；（3）。因為表示個相乘，而表示個的相反數(shù)；（4）任何數(shù)的偶次冪都得非負(fù)數(shù)，即 。例29：的意義是_;的意義是_;的意義是_.例30：計算：例31：若互為相反數(shù)，是自然數(shù)，則（ ）A、和互為相反數(shù) B、和互為相反數(shù)C、和互

9、為相反數(shù) D、和互為相反數(shù)所有的奇數(shù)可以表示為或；所有的偶數(shù)可以表示為。知識點十二：有理數(shù)的混合運算有理數(shù)混合運算的關(guān)鍵時把握好運算順序，即先乘方、再乘除、最后加減；有括號的先算括號；若是同級運算，應(yīng)按照從左到右的順序進(jìn)行。例32：計算下列各式 例33：已知的絕對值為3、且滿足的一元一次方程，則的值為多少？知識點十三：科學(xué)計數(shù)法例34：用科學(xué)記數(shù)法表示下列各數(shù)1893400000 800032000 0.000003578012 120萬人民幣 108億元；代數(shù)式知識要點知識點一：用字母表示數(shù)書寫要求：字母與字母相乘時，應(yīng)注意_；如a×c×b=_.數(shù)字與字母相乘時，應(yīng)注意_

10、；如a×4=_.數(shù)字與數(shù)字相乘時，應(yīng)注意_；帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時，應(yīng)注意_；如=_.兩數(shù)相除，應(yīng)寫成_的形式；如a÷2=_. b÷3=_.例1：下列個代數(shù)式中 人 2·5 書寫規(guī)范的有_（只填序號）；例2：某商品利潤是a元，利潤率是20%，此商品進(jìn)價是_。知識點二：列代數(shù)式代數(shù)式的概念：用運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。運算符號指的是加、減、乘、除、乘方、絕對值，大中小括號以及以后要學(xué)到的開方符號，但不包括大于、小于號、等號等表示數(shù)量關(guān)系的關(guān)系符號；單個的數(shù)字和字母也是代數(shù)式。幾個重要的代數(shù)式：a與b的平方差_；a與b的差的平方_；被5

11、除商為m余數(shù)位n_；偶數(shù)(用n表示)_；奇數(shù)(用n表示)_；三個連續(xù)整數(shù)(用n表示)_；例3：下列的式子中那些是代數(shù)式 57是代數(shù)式的有_（只填序號）；例4：說出下列代數(shù)式的意義2m+n的意義是_； 2(m+n)的意義是_；的意義是_；的意義是_； x2 y2的意義是_。例5：用代數(shù)式表示。比x大20%的數(shù)；比a的平方的2倍大1的數(shù)；m與n的差的倒數(shù)（m與n不相等）；x，y的平方和與它們的平方差的積；例6：（用代數(shù)式表示）某工廠第一年的產(chǎn)量為a萬元，第二年的產(chǎn)量增加了x%，那么第二年產(chǎn)量為_萬元，第三年又比第二年增加了，則第三年的產(chǎn)值為_萬元。知識點三：單項式概念：由數(shù)與字母的積組成的代數(shù)式叫

12、做單項式。注意：單項式里面只含有乘法運算。 單獨的一個數(shù)或字母也叫做單項式。單獨的一個數(shù)作為單項式時，其系數(shù)就是它本身，次數(shù)為0；單獨的一個字母作為單項式時，其系數(shù)就是1，次數(shù)為它本身的次數(shù)；例7：下列代數(shù)式中， 1 是單項式的有 （只填序號）；例8：若單項式與單項式相等，則 ， ；知識點四：多項式 概念：幾個單項式的代數(shù)和叫做多項式，其中每個單項式都叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數(shù)項，次數(shù)最高項的次數(shù)叫做該多項式的次數(shù)；如果一個多項式有項，且次數(shù)為，則我們稱該多項式為次項式。例9：多項式是由哪些項組成 _ ，次數(shù) ；是由哪些項組成 _ _，次數(shù) 。例10：若是關(guān)于、的四次四項式，則 ；例

13、11：若是關(guān)于、的四次三項式，則 ； 若是關(guān)于、的多項式，且不含一次項，則 ；例12：若多項式與多項式相等，則 ， ；知識點五：合并同類項 滿足同類項的兩個條件：_；_。(注意：與系數(shù)無關(guān)) （所有的常數(shù)項都是同類項）合并同類項法則：（1）系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)；（2）字母和字母的指數(shù)不變。例13：指出多項式里的同類項，它們分別是 ；例14：若與是同類項，則 _, _；例15：當(dāng)_時， 與是同類項；例16：若單項式與的和仍是單項式，則 ；知識點六：代數(shù)式的值（分直接代入和間接代入）例17：當(dāng)時，求多項式的值；例18：已知，求代數(shù)式的值；知識點七：去括號（_變_不變）例19：將下列各式的括號去掉 例20：化簡知識點八：探索規(guī)律例21：（1）已知， ， 則1+2+3+4+5=_=_，探索1+2+3+n=_。 （2）已知9×0十11，9×1+2=11， 9×2+321， 9×3+4=31，9× 4+5=4l猜