彈塑性力學(xué)習(xí)題解答

1、塑性：彈性：2-16設(shè)有任意形狀的等厚度薄板，體力可以不計，在全部邊界上(包括孔口邊界上)受有均勻壓力q試證 及能滿足平衡微分方程、相容方程和應(yīng)力邊界條件，也能滿足位移單值條件，因而就是正確的解答。 證明： （1）將應(yīng)力分量，和分別代入平衡微分方程、相容方程 （a） （b）顯然（a）、（b）是滿足的（2）對于微小的三角板都為正值，斜邊上的方向余弦,將，代入平面問題的應(yīng)力邊界條件的表達(dá)式 （c）則有 所以，。對于單連體，上述條件就是確定應(yīng)力的全部條件。（3）對于多連體，應(yīng)校核位移單值條件是否滿足。 該題為平面應(yīng)力的情況，首先，將應(yīng)力分量及代入物理方程，得形變分量， （d）然后，將（d）的變形分量

2、代入幾何方程，得， （e）前而式的積分得到 ， （f） 其中的和分別是y和x的待定函數(shù)，可以通過幾何方程的第三式求出，將式（f）代入（e）的第三式得 等式左邊只是y的函數(shù)，而等式右邊只是x的函數(shù)。因此，只可能兩邊都等于同一個常數(shù)，于是有，積分以后得，代入（f）得位移分量其中為表示剛體位移量的常數(shù)，須由約束條件求得。從式（g）可見，位移是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)，滿足位移單值條件，因而，應(yīng)力分量是正確的解答。2-17設(shè)有矩形截面的懸臂粱，在自由端受有集中荷載F ，體力可以不計。試根據(jù)材料力學(xué)公式，寫出彎應(yīng)力和切應(yīng)力的表達(dá)式，并取擠壓應(yīng)力，然后證明，這些表達(dá)式滿足平衡微分方程和相容方程，再說明，這些表達(dá)

3、式是否就表示正確的解答。解1矩形懸臂梁發(fā)生彎曲變形，任意橫截面上的彎矩方程為，橫截面對z軸（中性軸)的慣性矩為，根據(jù)材料力學(xué)公式，彎應(yīng)力；該截面上的剪力為，剪應(yīng)力；并取擠壓應(yīng)力（2）經(jīng)驗(yàn)證，上述表達(dá)式能滿足平衡微分方程 也能滿足相容方程再考察邊界條件：在的主要邊界上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件：，；，。能滿足在次要邊界x=0上，列出三個積分的應(yīng)力邊界條件：滿足應(yīng)力邊界條件。在次要邊界上，列出三個積分的應(yīng)力邊界條件：滿足應(yīng)力邊界條件因此，他們是該問題的解答。3-8設(shè)題3-8圖中的三角形懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為，試用純?nèi)问降膽?yīng)力函數(shù)求解。解（1）相容條件： 設(shè) (a) 不論上述中的系數(shù)取何值

4、，純?nèi)问降膽?yīng)力函數(shù)總能滿足相容方程。（2）體力分量由應(yīng)力函數(shù)得應(yīng)力分量的表達(dá)式 (b) (c) (d)（3)考察邊界條件：利用邊界條件確定待定系數(shù)先考察主要邊界上的邊界條件：， 將應(yīng)力分量式(b)和式（c）代入，這些邊界條件要求， 得A=0，B=0。式(b)、（c）、（d）成為 （e） （f） （g）根據(jù)斜邊界的邊界條件,它的邊界線方程是,在斜面上沒有任何面力，即,按照一般的應(yīng)力邊界條件，有將(e)、（f）、（g）代入得 （h） （i）由圖可見， ， 代入式（h）、(i)求解C和D,即得，將這些系數(shù)代入式(b)、（c）、（d）得應(yīng)力分量的表達(dá)式4-12楔形體在兩側(cè)面上受有均布剪力q，如題4-

5、12圖所示.試求其應(yīng)力分量。解 （1）應(yīng)力函數(shù)，進(jìn)行求解由應(yīng)力函數(shù)得應(yīng)力分量（2）考察邊界條件：根據(jù)對稱性，得 （a） （b） （c） （d）由式（a）得 （e）由式（b）得 （f）由式（c）得 （g）由式（d）得 （h）式（e）、（f）、（g）、(h)聯(lián)立求解，得將以上系數(shù)代入應(yīng)力分量，得 4一13設(shè)有內(nèi)半徑為r,外半徑為R的圓筒受內(nèi)壓力q，試求內(nèi)半徑和外半徑的改變，并求圓筒厚度的改變。 解 本題為軸對稱問題，只有徑向位移而無環(huán)向位移。當(dāng)圓筒只受內(nèi)壓力q的情況下，取應(yīng)力分量表達(dá)式（B=0），內(nèi)外的應(yīng)力邊界條件要求，由表達(dá)式可見，前兩個關(guān)于的條件是滿足的，而后兩個條件要求由上式解得， (a)把A,B,C值代入軸對稱應(yīng)力狀態(tài)下對應(yīng)的位移分量， （b） (c)式（c）中的取任何值等式都成立，所以個自由項(xiàng)的系數(shù)為