11集合的含義與表示

1、11集合的含義與表示1集合的含義觀察下列對(duì)象：（1）120以內(nèi)所有的質(zhì)數(shù)；（2）我國從19912010年的20年內(nèi)所發(fā)射的所有人造衛(wèi)星；（3）曙光汽車集團(tuán)2010年生產(chǎn)的所有汽車；（4）2010年1月1日之前與我國建立外交關(guān)系的所有國家；（5）所有的正方形；（6）到直線l的距離等于定長d的所有的點(diǎn)；（7）方程x2+3x2=0的所有實(shí)數(shù)根；（8）丹東二中2010年9月入學(xué)的高一學(xué)生的全體一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合（簡稱集）我們通常用大寫拉丁字母A，B，C，表示集合，用小寫拉丁字母a，b，c，表示集合中的元素2集合元素的三個(gè)特征（1）確定性給定的集合，它的元素必

2、須是確定的，也就是說，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了（2）互異性一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的，也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的（3）無序性集合中的元素是無先后順序的，也就是說，對(duì)于一個(gè)給定的集合，它的任何兩個(gè)元素可以交換位置只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個(gè)集合是相等的3元素與集合的關(guān)系如果a是集合A中的元素，就說a屬于集合A，記作aA；如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A，記作aA4常用數(shù)集及其記法：集合非負(fù)整數(shù)（自然數(shù)集）正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集記號(hào)NN*或NZQR【例1】 下面的各組對(duì)象能否構(gòu)成集合？（1）所有的好人；（2）小于20

3、10的數(shù)；（3）和2010非常接近的數(shù)【例2】 用符號(hào)“”或“”填空：（1）3.14_Q；（2）_Q；（3）0_N*；（4）0_N；（5）（2）0_N*；（6）2_Z；（7）2_Q；（8）2_R【例3】 若xR，則3，x，x22x中的元素x應(yīng)滿足什么條件？5集合的表示方法（1）列舉法把集合的元素一一列舉出來，并用大括號(hào)“”括起來表示集合的方法稱為列舉法列舉法的優(yōu)點(diǎn)是可以明確集合中具體的元素及元素的個(gè)數(shù)使用列舉法必須注意：元素間用“，”分隔；集合中元素必須滿足三個(gè)特性；對(duì)于含有有限個(gè)元素且個(gè)數(shù)較少的集合采取該方法較適宜，若元素個(gè)數(shù)較多或無限個(gè)且構(gòu)成集合的這些元素有明顯規(guī)律，也可用列舉法，但必須把

4、元素規(guī)律顯示清楚后才能用省略號(hào)，如不超過1000的正整數(shù)構(gòu)成的集合可表示為1，2，3，1000（2）描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法具體方法是：在大括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征它的形式為pD|p適合的條件，其中p叫做代表元素，D為p的限制范圍，其含義為所有適合該條件的對(duì)象構(gòu)成的集合如果從上下文的關(guān)系來看，pD是明確的，那么pD可以省略，只寫其元素p例如A=xR|1x2也可表示為A=x|1x2；B=xZ|x=3k1，kZ也可表示為B=x|x=3k1，kZ描述法的語言形式有三種：文字語言、

5、符號(hào)語言、圖形語言如表示直線y=x上所有的點(diǎn)組成的集合，可用下列三種形式表示：文字語言形式：直線y=x上所有點(diǎn)組成的集合；符號(hào)語言形式：（x，y）|y=x；圖形語言形式：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出I、III象限角平分線使用描述法必須注意：應(yīng)寫清該集合中元素的代表符號(hào)如集合x|x2不能寫成x2，這里便少了代表元又如集合（x，y）|y=x2與集合y|y=x2便表示兩個(gè)不同的集合，前者為點(diǎn)集，而后者為數(shù)集，區(qū)別就在于它們的代表元不同準(zhǔn)確說明該集合中元素的特性應(yīng)對(duì)代表元素進(jìn)行說明如下列表示方法便是錯(cuò)誤的：（x，y）|（1，2），事實(shí)上它應(yīng)表示為（x，y）|x=1，y=2或表示為（1，2）6有限集與無限集（

6、1）有限集：集合中的元素個(gè)數(shù)是有限個(gè)的，如集合A=1，2，4，是含有3個(gè)元素的有限集（2）無限集：集合中的元素個(gè)數(shù)是無限個(gè)的，如集合A=xR|1x2，便是一個(gè)無限集【例4】 把下列集合用另一種形式表示出來：（1）1，5；（2）x|x2+x1=0；（3）2，4，6，8；（4）xN|3x7【練習(xí)題】1用符號(hào)“”或“”填空：（1）設(shè)A為所有亞洲國家組成的集合，則中國_A，美國_A，印度_A，英國_A；（2）若A=方程x2=1的解，則1_A；（3）若B=方程x2+x6=0的解，則3_B；（4）若C=滿足1x10的自然數(shù)，則8_C，9.1_C2下列各組對(duì)象不能形成集合的是 A大于6的所有整數(shù)B高中數(shù)學(xué)的

7、所有難題C被3除余2的所有整數(shù)D函數(shù)y=圖象上所有的點(diǎn)3M=a，b，c中的三個(gè)元素可構(gòu)成某一個(gè)三角形的三邊長，那么此三角形一定不是A直角三角形 B銳角三角形C鈍角三角形D等腰三角形4方程ax2+5x+c=0的解集是，則a_，c_5含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合可表示為a，1，也可表示為a2，a+b，0，則a2009+b2010的值為_6若3a3，2a+1，a2+1，求實(shí)數(shù)a的值7設(shè)a、b為整數(shù)，把形如a+b的一切數(shù)構(gòu)成的集合記為M，設(shè)xM，yM，試判斷x+y，xy，xy是否屬于M，說明理由8用列舉法表示集合（x，y）|x+y=3，x，yN9用描述法表示集合1，10方程組的解集是Ax=0，y=1 B0，1C

8、（0，1）D（x，y）|x=0或y=111M =m | m=2k，kZ，X =x | x=2k+1，kZ，Y=y | y =4k+1，kZ，則Ax+yMBx+yXCx+yYDx+yM12下列各小題中，分別指出了一個(gè)集合的所有元素，用適當(dāng)?shù)姆椒ò堰@個(gè)集合表示出來，然后說出它是有限集還是無限集：（1）組成中國國旗圖案的顏色；（2）世界上最高的山峰；（3）由1、2、3這三個(gè)數(shù)字抽出一部分或全部數(shù)字（沒有重復(fù)）所組成的一切自然數(shù)；（4）平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)O的距離等于定長l（l0）的所有的點(diǎn)P12 集合間的基本關(guān)系1子集對(duì)于兩個(gè)集合A、B，如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個(gè)集合有包

9、含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集，記作AB（或B A）讀作“A含于B”（或“B包含A”）其數(shù)學(xué)語言的表示形式為：若對(duì)任意的xA，有xB，則AB為判別A是B的子集的方法之一很明顯：NZ，NQ，RZ，RQ若A不是B的子集，則記作A B（或B A）讀作“A不包含于B”（或“B不包含A”）例如，A=2，4，B=3，5，7，則A B2圖示法表示集合（1）Venn圖在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖（必要時(shí)還可以用小寫字母分別定出集合中的某些元素）由此，AB的圖形語言如下圖（2）數(shù)軸在數(shù)學(xué)中，表示實(shí)數(shù)取值范圍的集合，我們往往借助于數(shù)軸直觀地表示例如x|x3可表示為又如x|

10、x2可表示為還比如x|1x3可表示為3集合相等對(duì)于C=x|x是兩條邊相等的三角形，D=x|x是等腰三角形，由于“兩條邊相等的三角形”是等腰三角形，因此，集合C、D都是由所有等腰三角形組成的集合，即集合C中任何一個(gè)元素都是集合D中的元素同時(shí)，集合D中任何一個(gè)元素也都是集合C中的元素這樣，集合D的元素與集合C的元素是一樣的我們可以用子集概念對(duì)兩個(gè)集合的相等作進(jìn)一步的數(shù)學(xué)描述如果集合A是集合B的子集（AB），且集合B是集合A的子集（BA），此時(shí)，集合A與集合B中的元素是一樣的，因此，集合A與集合B相等，記作A=B即：AB，BAA=B上述結(jié)論可以與實(shí)數(shù)中的結(jié)論“若ab，且ba，則a=b”相類比4真子集

11、如果集合AB，但存在元素xB，且xA，我們稱集合A是集合B的真子集，記作AB（或B A）例如，A=1，2，B=1，2，3，則有A B子集與真子集的區(qū)別就在于“AB”允許A=B或A B，而“A B”是不允許“A=B”的，所以若“AB”，則“A B”不一定成立5空集我們把不含有任何元素的集合叫做空集，記為例如x|x2+1=0，xR，邊長為3，5，9的三角形等都是空集規(guī)定：空集是任何集合的子集，即A空集是任何非空集合的真子集，即若A，則A6子集的有關(guān)性質(zhì)（1）AA；（2）AB，BCAC；（3）AB，B CAC【例1】 （1）寫出集合a，b的所有子集，并指出子集的個(gè)數(shù)；（2）寫出集合a，b，c的所有子

12、集，并指出子集的個(gè)數(shù)猜一猜4個(gè)元素集合的子集個(gè)數(shù)是多少？集 合集合元素個(gè)數(shù)集合子集個(gè)數(shù)01=20a12=21a，b2a，b，c3a，b，c，d4a1，a2，ann個(gè)元素【例2】 寫出不等式x32的解集并進(jìn)行化簡（即化成直接表明未知數(shù)本身的取值范圍的解集）【例3】 在以下六個(gè)寫法中，錯(cuò)誤的寫法個(gè)數(shù)是00，1 0 0，1，11，0，10 Z=全體整數(shù) （0，0）=0A2B3C4D5【例4】 已知A=x|x=4m+1，mZ，B=x|x=2k+1，kZ，問：（1）數(shù)3與集合A的關(guān)系如何？（2）集合A與集合B的關(guān)系如何？【練習(xí)題】1滿足條件1，2 M1，2，3，4，5的集合M的個(gè)數(shù)是A3 B6C7 D8

13、2已知集合A=x，xy，B=0，|x|，y，A=B，求實(shí)數(shù)x、y的值3已知集合A=-1，3，m，集合B=3，4，若BA，則實(shí)數(shù)m=_.4設(shè)集合M=x|2x2-5x-3=0，N=x|mx=1，且NM，求實(shí)數(shù)m的取值集合5已知M1，2，3，4，5，且aM時(shí)，也有6aM，試求集合M所有可能的結(jié)果6已知A=2，4，x25x+9，B=3，x2+ax+a，C=x2+（a+1）x3，1，分別解答下列各題：（1）求使A=2，3，4的x的值；（2）求使2B，BA的a、x的值；（3）求使B=C的a、x的值13 集合的基本運(yùn)算情景引入我們來做一些統(tǒng)計(jì)，符合條件的同學(xué)請舉手，第一項(xiàng)統(tǒng)計(jì)：“我班45名同學(xué)中愛好數(shù)學(xué)的同

14、學(xué)請舉手”（喜歡數(shù)學(xué)的同學(xué)舉起了手）我們可以用集合A來表示我班45名同學(xué)中愛好數(shù)學(xué)的同學(xué)第二項(xiàng)統(tǒng)計(jì)：請愛好物理的同學(xué)舉手”（喜歡物理的同學(xué)舉起了手）我們可以用集合B來表示我班45名同學(xué)中愛好物理的同學(xué)第三項(xiàng)統(tǒng)計(jì)：請我班同學(xué)中愛好數(shù)學(xué)或愛好物理的同學(xué)舉手（喜歡數(shù)學(xué)或喜歡物理的同學(xué)舉起了手）同樣，我們可以用集合C來表示我班45名同學(xué)中喜歡數(shù)學(xué)或喜歡物理的同學(xué)上面的描述我們可以用圖來表示，我們看下圖第一次看到了集合A，第二次看到了集合A、B結(jié)合在一起，第三次又看到的陰影部分是集合A、B合并在一起，陰影部分的周界線是一條封閉曲線，它的內(nèi)部（陰影部分）當(dāng)然表示一個(gè)新的集合，它的元素屬于集合A或?qū)儆诩螧

15、，稱為A與B的并集由此引入并集的概念1并集（1）并集的定義由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合稱為集合A與B的并集，記作AB（讀作“A并B”）；（2）并集的符號(hào)表示：AB=x|xA或xB并集定義的數(shù)學(xué)表達(dá)式中“或”字的意義應(yīng)引起注意，用它連接的并列成分之間不一定是互相排斥的xA，或xB包括如下三種情況：xA，但xB；xB，但xA；xA，且xB由集合中元素的互異性知，A與B的公共元素在AB中只出現(xiàn)一次，因此，AB是由所有至少屬于A、B兩者之一的元素組成的集合例如，設(shè)A=3，5，6，8，B=4，5，7，8，則AB=3，4，5，6，7，8，而不是3，5，6，8，4，5，7，8（3）并集的圖

16、形表示如下所示Venn圖【例1】A =x|1x2，B=x|1x3，求AB解：AB=x|1x2x|1x3=x|1x3我們還可以在數(shù)軸上表示本例中的并集，如下圖所示本例中數(shù)軸的表示是為了直觀地表現(xiàn)集合的并運(yùn)算的過程2交集利用下圖類比并集的概念引出交集的概念（1）交集的定義由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作AB（讀作“A交B”）（2）交集的符號(hào)表示：AB=x|xA且xB例如，設(shè)A=3，5，6，8，B=4，5，7，8，則AB=5，8（3）交集的圖形表示如下所示Venn圖圖（1）表示集合A與集合B的關(guān)系是AB，此時(shí)集合A與B的公共部分就是A，即AB=A圖（2）表示集合A

17、與集合B的公共部分不是空集，但不是A，也不是B，即AB A，且AB B圖（3）表示集合A與集合B的公共部分是空集，即AB=【例2】A =x|1x2，B=x|1x3，求AB解：AB=x|1x2x|1x3=x|1x2【例3】 已知M=y|y=2x2+1，xR，N=y|y=x2+1，xR，則MN=_，MN=_【例4】 設(shè)A=x|x2+4x=0，B=x|x2+2（a+1）x+a21=0（1）若AB=B，分析a的取值情況；（2）若AB=B，分析a的取值情況引例：A=班上所有參加足球隊(duì)同學(xué)，B=班上沒有參加足球隊(duì)同學(xué)，U=全班同學(xué)，那么U、A、B三集合關(guān)系如何？集合B就是集合U中除去集合A之后余下來的集合

18、，即為如下圖陰影部分這里，集合U恰好含有集合A、B中的所有元素，這樣的集合在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里常起著舉足輕重的作用一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集，通常記作U有時(shí)雖然沒有指明全集，但實(shí)際上全集是存在的，全集因所研究的問題而異例如，在考慮正整數(shù)的因數(shù)分解時(shí)，我們把正整數(shù)集作為全集；在解不等式時(shí)，我們把實(shí)數(shù)集作為全集3補(bǔ)集對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，簡稱為集合A的補(bǔ)集，記作UA，即UA=x|xU，且xA其圖形表示如上圖所示的Venn圖補(bǔ)集既是集合之間的一種關(guān)系，又是集合的一種運(yùn)算，利用定義可直接求出

19、已知集合的補(bǔ)集，從全集U中去掉屬于集合A的元素后，由所有剩下的元素組成的集合是U中子集A的補(bǔ)集【例5】（1）設(shè)U=R，A=x|1x2，求UA（2）設(shè)U=x| x0，A=x|1x2，求UA【例6】設(shè)U=R，A=x|1x4，B=x|x-1，或x3，求AB，U (AB)，(U A)(U B)【例7】已知集合U=1，2，3，4，5，6，7，A=2，4，5，7，B=3，4，5，驗(yàn)證等式：（1）(U A)(U B)=U (AB)；（2）(U A)(U B)=U(AB)【例8】若A，B均為集合U=1，3，5，7，9的子集，且AB=3，(U B)A=9，求A【例9】 已知全集U=x|x取不大于30的質(zhì)數(shù)，A、

20、B是U的兩個(gè)子集，且A(UB)=5，13，23，（(UA)B=11，19，29，(UA)(UB)=3，7，求集合A、B【例10】 設(shè)U=2，4，1a，A=2，a2a+2，若UA=1，求a值【練習(xí)題】1填空題（U為全集）：（1）AB_A，A=_，AB_BA，AA_A；（2）AA=_，A=_，AB_BA，AB_A；AB_ AB ；（3）U（U A）=_， U = _， U U= _， A（U A）=_，A（U A）=_；（4）若AB=A，則A _B，若AB=A，則A _B2滿足Aa=a，b，c的集合A的個(gè)數(shù)為A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)3已知I=xN|x7，集合A=3，5，7，集合B=2，3，4

21、，5，則AIA=1，2，4，6 B（I A）（I B）=1，2，3，4，6CAI B= DBI A=2，44已知全集U（U）和子集M、N、P，且M=UN，N=UP，則M與P的關(guān)系是AM=UPBM=PCM PDM P5設(shè)集合M=x|-1x7，S=x|k+1x2k-1，若MS=，則k的取值范圍是Ak4 Bk<2或者k>6 Ck<0或者k>6 Dk<06設(shè)集合M=y|y=x2+1，xR，N=y|y=-x2+1，xR，則MN是A0，1 B（0，1） C1 D以上都不對(duì)7設(shè)集合A=x|1x2，B=x|xa，若AB，則a的取值范圍是Aa2 Ba2 Ca2 Da28已知集合P=

22、x|x-1|1，xR，Q=x|xN，則PQ等于AP BQ C1，2 D0，1，29如右圖，U是全集，M、P、S是U的3個(gè)子集，則陰影部分表示的集合是A（MP）SB（MP）SC（MP）（US）D（MP）（US）10集合M=x|2x2+3ax+2=0，N=x|2x2+x+b=0，MN=，則a+b=_11已知A=正方形，當(dāng)U=菱形時(shí)，UA=_；當(dāng)U=矩形時(shí)，UA=_12已知集合U=1，2，3，4，5，若AB=U，AB，且A（UB）=1，2，試寫出滿足上述條件的集合A、B13集合A=x|x-1或x>6，B=x|-2xa，若AB=R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_14某中學(xué)高中一年級(jí)學(xué)生參加數(shù)學(xué)小組的有4

23、5人，參加物理小組的有37人，其中同時(shí)參加數(shù)學(xué)小組和物理小組的有15人，數(shù)學(xué)小組和物理小組都沒有參加的有127人，問該校高中一年級(jí)共有多少學(xué)生？15已知全集U=2，0，3-a2，P=2，a2-a-2，且UP=-1，求實(shí)數(shù)a16已知A=x|axa+3，B=x|x<-1或x>5（1）若AB=，求a的取值范圍；（2）若AB=B，求a的取值范圍17在相應(yīng)的圖中，對(duì)所要求的集合部分打上陰影：（1）（AB）U（AB）； （2）（BC）（U A）； （3）BU（AC）18舉例驗(yàn)證下列等式（1）（U A）（U B）=U （AB） （2）（U A）（U B）=U （AB）【練習(xí)題答案】1填空題（U為

24、全集）：（1）AB_A，A=_，AB_BA，AA_A；（2）AA=_，A=_，AB_BA，AB_A；AB_ AB ；（3）U（U A）=_， U = _， U U= _， A（U A）=_，A（U A）=_；（4）若AB=A，則A _B，若AB=A，則A _B2滿足Aa=a，b，c的集合A的個(gè)數(shù)為A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)答案：B3已知I=xN|x7，集合A=3，5，7，集合B=2，3，4，5，則AIA=1，2，4，6 B（I A）（I B）=1，2，3，4，6CAI B= DBI A=2，4答案：D4已知全集U（U）和子集M、N、P，且M=UN，N=UP，則M與P的關(guān)系是AM=UPBM=PCM PDM P答案：B5設(shè)集合M=x|-1x7，S=x|k+1x2k-1，若MS=，則k的取值范圍是Ak4 Bk<2或者k>6 Ck<0或者k>6 Dk<0解析：MS=若S=，則k+1>2k-1，k<2 若S，則或 解得：k>6 故k<2或k>6選B答案：B6設(shè)集合M=y|