專題二、分式不等式的解法(共8頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上（一）分式不等式：型如：或（其中為整式且）的不等式稱為分式不等式。（2）歸納分式不等式與整式不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化：（1） （3）（2） （4）（3）小結(jié)分式不等式的解法步驟：（1）移項(xiàng)通分，不等式右側(cè)化為“0”，左側(cè)為一分式（2）轉(zhuǎn)化為等價(jià)的整式不等式（3）因式分解，解整式不等式（注意因式分解后，一次項(xiàng)前系數(shù)為正）（1）分式不等式的解法：解關(guān)于x的不等式方法一：等價(jià)轉(zhuǎn)化為： 方法二：等價(jià)轉(zhuǎn)化為： 或 變式一： 等價(jià)轉(zhuǎn)化為： 比較不等式及的解集。（不等式的變形，強(qiáng)調(diào)等價(jià)轉(zhuǎn)化，分母不為零）練一練：解關(guān)于x的不等式 例1、 解關(guān)于x的不等式：解： 即， （保證因式分解后，保證一

2、次項(xiàng)前的系數(shù)都為正） 等價(jià)變形為： 原不等式的解集為例2、解關(guān)于x不等式 方法一：恒大于0，利用不等式的基本性質(zhì)方法二：移項(xiàng)、通分，利用兩式同號(hào)、異號(hào)的充要條件，劃歸為一元一次或一元二次不等式。例3、 解關(guān)于x的不等式：解：移項(xiàng) 通分 即，等價(jià)轉(zhuǎn)化為，當(dāng)a>0時(shí)，原不等式的解集為當(dāng)a<0時(shí)，原不等式的解集為當(dāng)a=0時(shí)，原不等式的解集為 一元二次不等式與特殊的高次不等式解法例1 解不等式.分析一：利用前節(jié)的方法求解；分析二：由乘法運(yùn)算的符號(hào)法則可知，若原不等式成立，則左邊兩個(gè)因式必須異號(hào)，原不等式的解集是下面兩個(gè)不等式組：與的解集的并集，即x|=x|-4<x<1=x|-4

3、<x<1.書寫時(shí)可按下列格式：解二：(x-1)(x+4)<0或x或-4<x<1-4<x<1，原不等式的解集是x|-4<x<1.小結(jié)：一元二次不等式的代數(shù)解法：設(shè)一元二次不等式相應(yīng)的方程的兩根為，則；若當(dāng)時(shí)，得或；當(dāng)時(shí)，得.若當(dāng)時(shí)，得；當(dāng)時(shí)，得.分析三：由于不等式的解與相應(yīng)方程的根有關(guān)系，因此可求其根并由相應(yīng)的函數(shù)值的符號(hào)表示出來(lái)即可求出不等式的解集.解：求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x（從小到大排列）分別為-4，1，這兩根將x軸分為三部分：（-，-4）（-4，1）（1，+）；分析這三部分中原不等式左邊各因式的符號(hào)（-，-4）（-4，

4、1）（1，+）x+4-+x-1-+(x-1)(x+4)+-+由上表可知，原不等式的解集是x|-4<x<1.例2：解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0；解：檢查各因式中x的符號(hào)均正；求得相應(yīng)方程的根為：-2，1，3；列表如下：-2 1 3x+2-+x-1-+x-3-+各因式積-+-+由上表可知，原不等式的解集為：x|-2<x<1或x>3.小結(jié)：此法叫列表法，解題步驟是：將不等式化為(x-x1)(x-x2)(x-xn)>0(<0)形式（各項(xiàng)x的符號(hào)化“+”），令(x-x1)(x-x2)(x-xn)=0，求出各根，不妨稱之為分界點(diǎn)，一個(gè)分界點(diǎn)把

5、（實(shí)數(shù)）數(shù)軸分成兩部分，n個(gè)分界點(diǎn)把數(shù)軸分成n+1部分；按各根把實(shí)數(shù)分成的n+1部分，由小到大橫向排列，相應(yīng)各因式縱向排列（由對(duì)應(yīng)較小根的因式開始依次自上而下排列）；計(jì)算各區(qū)間內(nèi)各因式的符號(hào)，下面是乘積的符號(hào)；看下面積的符號(hào)寫出不等式的解集.練習(xí)：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0. x|-1<x<0或2<x<3.思考：由函數(shù)、方程、不等式的關(guān)系，能否作出函數(shù)圖像求解 例2圖 練習(xí)圖直接寫出解集：x|-2<x<1或x>3. x|-1<x<0或2<x<3在沒有技術(shù)的情況下：可大致畫出函數(shù)圖星求解，稱之為串根法將不

6、等式化為(x-x1)(x-x2)(x-xn)>0(<0)形式，并將各因式x的系數(shù)化“+”；(為了統(tǒng)一方便)求根，并在數(shù)軸上表示出來(lái)；由右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點(diǎn)（為什么？）；若不等式（x的系數(shù)化“+”后）是“>0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“<0”,則找“線”在x軸下方的區(qū)間.注意：奇穿偶不穿例3 解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.解：檢查各因式中x的符號(hào)均正；求得相應(yīng)方程的根為：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；在數(shù)軸上表示各根并穿線，每個(gè)根穿一次（自右上方開始），如下圖：原不等式的解集為：x|-1<x&l

7、t;2或2<x<3.說(shuō)明：3是三重根，在C處穿三次，2是二重根，在B處穿兩次，結(jié)果相當(dāng)于沒穿.由此看出，當(dāng)左側(cè)f(x)有相同因式(x-x1)n時(shí)，n為奇數(shù)時(shí)，曲線在x1點(diǎn)處穿過數(shù)軸；n為偶數(shù)時(shí)，曲線在x1點(diǎn)處不穿過數(shù)軸，不妨歸納為“奇穿偶不穿”.練習(xí)：解不等式：(x-3)(x+1)(x2+4x+4)0.解：將原不等式化為：(x-3)(x+1)(x+2)20；求得相應(yīng)方程的根為：-2（二重），-1，3；在數(shù)軸上表示各根并穿線，如圖：原不等式的解集是x|-1x3或x=-2.說(shuō)明：注意不等式若帶“=”號(hào)，點(diǎn)畫為實(shí)心，解集邊界處應(yīng)有等號(hào)；另外，線雖不穿-2點(diǎn)，但x=-2滿足“=”的條件，不

8、能漏掉. 2分式不等式的解法例4 解不等式：.錯(cuò)解：去分母得 原不等式的解集是.解法1：化為兩個(gè)不等式組來(lái)解：x或，原不等式的解集是.解法2：化為二次不等式來(lái)解： ，原不等式的解集是說(shuō)明：若本題帶“=”，即(x-3)(x+7)0，則不等式解集中應(yīng)注意x-7的條件，解集應(yīng)是x| -7<x3.小結(jié)：由不等式的性質(zhì)易知：不等式兩邊同乘以正數(shù)，不等號(hào)方向不變；不等式兩邊同乘以負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向要變；分母中有未知數(shù)x，不等式兩邊同乘以一個(gè)含x的式子，它的正負(fù)不知，不等號(hào)方向無(wú)法確定，無(wú)從解起，若討論分母的正負(fù)，再解也可以，但太復(fù)雜.因此，解分式不等式，切忌去分母.解法是：移項(xiàng)，通分，右邊化為0，左邊

9、化為的形式.例5 解不等式：.解法1：化為不等式組來(lái)解較繁.解法2：，原不等式的解集為x| -1<x1或2x<3.練習(xí)：1.課本P21練習(xí)：3；2.解不等式.答案：1.x|-5<x<8；x|x<-4,或x>-1/2；2.x|-13<x<-5.練習(xí)：解不等式：.（答：x|x0或1<x<2）1. 不等式的解集是 2. 不等式的解集是 3. 不等式的解集是 4. 不等式的解集是 5. 不等式的解集是 6. 不等式的解集是 7. 不等式的解集是 8. 不等式的解集是 9. 不等式的解集是 10. 不等式的解集是 11. 不等式的解集是 12. 不等式的解集是 13. 不等式的解集是 14. 不等式的解集是 15. 不等式的解集是 16. 不等式