重力加速度測(cè)定方法的分析與比較

1、重力加速度測(cè)定方法的分析與比較劉杰摘要：本文根據(jù)所測(cè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)單擺法、落球法及傾斜氣墊導(dǎo)軌法這三種常用方法所測(cè)的重力加速度進(jìn)行了分析、比較和修正。并對(duì)實(shí)驗(yàn)所需儀器，方法及實(shí)驗(yàn)原理作了簡(jiǎn)要介紹。實(shí)驗(yàn)測(cè)得數(shù)據(jù)分別用作圖法、最小二乘法及列表法進(jìn)行了精確的處理，并對(duì)實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)的問題進(jìn)行了分析和說(shuō)明?？偨Y(jié)了實(shí)驗(yàn)中需注意的事項(xiàng)及數(shù)據(jù)處理中的技巧，并分別對(duì)三種測(cè)定方法的實(shí)驗(yàn)原理公式進(jìn)行了修正。 關(guān)鍵詞：?jiǎn)螖[ 自由落體 氣墊導(dǎo)軌 作圖法 最小二乘法 列表法Gravity is the determination of the method of analysis and comparisonLiuJieAbs

2、tract: The measured data on the basis of experiments on pendulums and dropped the ball and falls of the present guide three common method of gravity is measured in the analysis and comparison and fixed. About the necessary instruments and methods and experiment make a brief introduction to the princ

3、iple of. Experiment to test data, for the law, the multiplication and the list out the exact handling, and about the question was analysed and instructions. Summed up the experiment to attention and data processing techniques and for three to the principle of the formula have been corrected .Keyword

4、: Simple pendulum Free falling body Air track Method of construction Least square method Tabulation method 目錄緒論 1第1章 單擺法 21.1 實(shí)驗(yàn)器材介紹 21.2 實(shí)驗(yàn)原理 21.3 數(shù)據(jù)處理及分析 31.4 誤差分析 81.5 公式修正 9第2章 落球法 112.1 實(shí)驗(yàn)器材介紹 112.2 實(shí)驗(yàn)原理 112.3最小二乘法分析處理數(shù)據(jù) 122.4 誤差分析 15第3章 傾斜氣墊導(dǎo)軌法 173.1 實(shí)驗(yàn)器材介紹 173.2 實(shí)驗(yàn)原理 183.3 列表法分析處理數(shù)據(jù) 193.4 誤差分

5、析 213.5 公式修正 21第4章 測(cè)量重力加速度方法的比較及拓展 244.1 前三種測(cè)量方法的優(yōu)缺點(diǎn) 244.2 測(cè)量重力加速度測(cè)量方法的改良簡(jiǎn)述 25總結(jié) 29致謝 30參考文獻(xiàn) 31緒 論重力加速度是物理學(xué)中一個(gè)重要參量。地球上各個(gè)地區(qū)重力加速度的數(shù)值，隨該地區(qū)的地理緯度和相對(duì)海平面的高度而稍有差異。一般說(shuō)，在赤道附近重力加速度值最小，越靠近南北兩極，重力加速度的值越大，最大值與最小值之差約為1/300。研究重力加速度的分布情況，在地球物理學(xué)中具有重要意義。利用專門儀器，仔細(xì)測(cè)繪各地區(qū)重力加速度的分布情況，還可以對(duì)地下資源進(jìn)行探測(cè)。準(zhǔn)確測(cè)定重力加速度g值對(duì)于計(jì)量學(xué)，地球物理學(xué)，地震預(yù)報(bào)

6、，重力探礦和空間科學(xué)都有著重要的意義。第一章 單擺法1.1 實(shí)驗(yàn)器材介紹單擺法測(cè)重力加速度所用到的實(shí)驗(yàn)儀器非常常見，包括鐵架臺(tái)、擺線、實(shí)心鋼球、鋼圓柱、游標(biāo)卡尺、鋼卷尺及秒表。擺線應(yīng)選用質(zhì)輕，拉伸性弱，韌性強(qiáng)的細(xì)線。擺球則需密度大，體積小。實(shí)驗(yàn)中游標(biāo)卡尺、鋼卷尺、秒表的型號(hào)和規(guī)格如下表所示：游標(biāo)卡尺鋼卷尺秒表規(guī)格0-50cm0-1m型號(hào)1.2 實(shí)驗(yàn)原理單擺是由一根不能伸長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)線和懸在此線下端體積很小的重球所構(gòu)成。在擺長(zhǎng)遠(yuǎn)大于球的直徑，擺球質(zhì)量遠(yuǎn)大于線的質(zhì)量的條件下，將懸掛的小球自平衡位置拉至一邊（很小距離，擺角小于5°），然后釋放，擺球即在平衡位置左右作周期性的往返擺動(dòng)，如圖1.

7、2.1所示。f =P sinf P = mgL圖1.2.1 單擺原理圖擺球所受的力f是重力和繩子張力的合力，f指向平衡位置。當(dāng)擺角很小時(shí)（<5°），圓弧可近似地看成直線，f也可近似地看作沿著這一直線。設(shè)擺長(zhǎng)為L(zhǎng)，小球位移為x，質(zhì)量為m，則 （1.2.1）由，可知式中負(fù)號(hào)表示f與位移x方向相反。 單擺在擺角很小時(shí)的運(yùn)動(dòng)，可近似為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，比較諧振動(dòng)公式：可得 于是得單擺運(yùn)動(dòng)周期為： （1.2.2） （1.2.3）或 （1.2.4） 利用單擺實(shí)驗(yàn)測(cè)重力加速度時(shí)，一般采用某一個(gè)固定擺長(zhǎng)L，在多次精密地測(cè)量出單擺的周期T后，代入（1.2.4）式，即可求得當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭。1.3 數(shù)據(jù)

8、處理及分析由式可知，T2和L之間具有線性關(guān)系，為其斜率，如對(duì)于各種不同的擺長(zhǎng)測(cè)出各自對(duì)應(yīng)的周期，則可利用T2L圖線的斜率求出重力加速度g。 1.3.1 公式法分析處理數(shù)據(jù)測(cè)得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1.3.1.1為：次數(shù)L1（cm）鋼柱高d(cm)初始測(cè)點(diǎn)x擺長(zhǎng) (cm)25個(gè)周期t (s)周期T(s)重力加速度g(cm/s2)1124.002.9981.008124.5156.0256.049.7882124.023.0001.00656.123124.023.0021.00456.184124.023.000 1.00855.925124.023.0001.00655.95平均124.023.000

9、1.00656.04表1.3.1.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)1、多次測(cè)量引入的不確定度（A類不確定度）其中，=56.04，但n取15時(shí)，分別為56.02、56.12 56.18、55.92、55.95、56.04故=0.022秒而，=124.02cm，n取1至5時(shí)，分別為124.00、124.02、124.02、124.02、124.02故=0.0013cm。同理求得、2、儀器精度引入的不確定度（B類不確定度）鋼卷尺=0.2mm，卡尺=0.05mm，則秒表=0.1s，所以3、合成不確定度由知，故而有即，綜上所述有，即g值為1.3.2 作圖法分析處理數(shù)據(jù) 用球作擺子時(shí)，測(cè)量球直徑d共3次，分別為2.320cm

10、、2.312cm、2.316cm，測(cè)量擺長(zhǎng)L和周期t為表1.3.2.1所示： 改變擺長(zhǎng)n次每次測(cè)量次數(shù)m擺線長(zhǎng)L/cm周期t/s 1 1121.20111.04 2121.32111.11 3121.22111.10 2 1112.15107.27 2112.10107.19 3112.08107.18 3 1101.88101.90 2101.90101.90 3101.90101.88 4 191.8096.78 291.8296.83 391.7996.76 5 180.5090.71 280.5590.75 380.5690.76表1.3.2.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)其中d=1/3（2.320+2

11、.312+2.316）=2.316則每次擺長(zhǎng)L和周期t平均值計(jì)算后為表1.3.2.2所示：測(cè)量次數(shù)n擺長(zhǎng)均值L+0.5d周期均值t1122.405111.0832113.268107.2133102.051101.893491.96196.790580.69190.740表1.3.2.2 計(jì)算表格又由于T的平方與L成正比，將它們化為最簡(jiǎn)后處理后為表格1.3.2.3所示：測(cè)量次數(shù)n擺長(zhǎng)均值（L+0.5d）/m周期T的平方/1000011.224051.2339421.132681.1494631.020511.0382240.919610.9368350.806910.82337表1.3.2.3

12、 處理表格根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)繪制圖像下圖1.3.2.4所示：表1.3.2.4 L與t方關(guān)系圖其中縱坐標(biāo)為t方，橫坐標(biāo)為L(zhǎng)由上圖知L與t方是成正比的關(guān)系，而為其斜率，又（為測(cè)定時(shí)間的周期數(shù)），剛好與t方指數(shù)約掉，其斜率均值求得為1.0079，故而g=3.14159×3.14159/1.0079 m/s2，即g=9.7922 m/s2 當(dāng)用圓柱體作擺子，測(cè)得圓柱體高h(yuǎn)分別為：2.984cm、2.990cm、2.986cm，測(cè)得擺長(zhǎng)、周期為表1.3.2.5所示：改變擺長(zhǎng)n次每次測(cè)量次數(shù)m擺線長(zhǎng)L（cm）周期T（s） 1178.6289.83278.6689.85378.5989.88 218

13、9.3095.62289.3495.62389.2995.64 3197.86100.05297.84100.06397.90100.03 41108.00105.062108.08105.083108.08105.09 51118.87110.102118.81110.113118.80110.10表1.3.2.5 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)其中d=1/3（2.984+2.990+2.986）=2.983cm經(jīng)計(jì)算有表格1.3.2.6，如下表：測(cè)量次數(shù)n擺長(zhǎng)均值L+0.5d/cm周期均值t/ms180.11589.850290.80295.627399.358100.0474109.545105.077512

14、0.318110.103表1.3.2.3 計(jì)算表格又由于T的平方與L成正比，將它們化為最簡(jiǎn)后得到表格1.3.2.7為：測(cè)量次數(shù)n擺長(zhǎng)均值（L+0.5d）/m周期T的平方/1000010.801150.8073020.908020.9144530.993581.0009441.095451.1041251.203181.21227表1.3.2.7 處理表格根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)繪制圖像為圖1.3.2.8所示：表1.3.2.8 L與t方關(guān)系圖其中縱坐標(biāo)為t方，橫坐標(biāo)為L(zhǎng)由上圖知L與t方是成正比的關(guān)系，而為其斜率，又，剛好與t方指數(shù)約掉，其斜率均值求得為1.01175，故而g=3.14159×3

15、.14159/1.01175 m/s2，即g=9.7550 m/s2 1.4 誤差分析 單擺測(cè)量g的方法依據(jù)的公式是,這個(gè)公式的成立是有條件的，否則將使測(cè)量產(chǎn)生如下系統(tǒng)誤差: 1. 單擺的擺動(dòng)周期與擺角的關(guān)系，可通過測(cè)量<5°時(shí)兩次不同擺角1、2的周期值進(jìn)行比較。在本實(shí)驗(yàn)的測(cè)量精度范圍內(nèi)，驗(yàn)證出單擺的T與無(wú)關(guān)。 實(shí)際上，單擺的周期T隨擺角增加而增加。根據(jù)振動(dòng)理論，周期不僅與擺長(zhǎng)L有關(guān)，而且與擺動(dòng)的角振幅有關(guān)，其公式為：T 式中T0為接近于0o時(shí)的周期，即2懸線質(zhì)量m0應(yīng)遠(yuǎn)小于擺球的質(zhì)量m，擺球的半徑r應(yīng)遠(yuǎn)小于擺長(zhǎng)L，實(shí)際上任何一個(gè)單擺都不是理想的，由理論可以證明，此時(shí)考慮上述因

16、素的影響，其擺動(dòng)周期為： 3如果考慮空氣的浮力，則周期應(yīng)為：式中T0是同一單擺在真空中的擺動(dòng)周期，空氣是空氣的密度，擺球 是擺球的密度，由上式可知單擺周期并非與擺球材料無(wú)關(guān)，當(dāng)擺球密度很小時(shí)影響較大。4忽略了空氣的粘滯阻力及其他因素引起的摩擦力。實(shí)際上單擺擺動(dòng)時(shí)，由于存在這些摩擦阻力，使單擺不是作簡(jiǎn)諧振動(dòng)而是作阻尼振動(dòng)，使周期增大。1.5 公式修正單擺原理的計(jì)算公式為，該式為一個(gè)近似公式，沒有考慮擺球的擺角大小，擺線的質(zhì)量，擺球的質(zhì)量分布及空氣的浮力，若考慮這些客觀存在的因素，則必須對(duì)該式進(jìn)行公式修正：1.5.1 擺角的修正 一個(gè)實(shí)際的擺不一定是理想的單擺，若將其看成剛體考慮，且擺角不容忽略時(shí)

17、，則根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，則有，其中I為擺球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則擺球的運(yùn)動(dòng)周期為，由于高次項(xiàng)對(duì)T影響可忽略不計(jì)，因此上式可寫為，整理該式可得，這便基本修正了擺角引入的誤差。1.5.2 非質(zhì)點(diǎn)修正 如擺線的質(zhì)量m，擺球的質(zhì)量M分布不能忽略時(shí)方程為則需變?yōu)橐蚨?，所以剛體的運(yùn)動(dòng)周期即，此式便是考慮了擺角、擺線所引入的誤差的修正公式。1.5.3空氣浮力修正 因?yàn)榭諝飧×Φ挠绊?，則剛體的運(yùn)動(dòng)方程則為： (1.5.3.1)其中為空氣密度，V為擺球體積，為擺球密度，則剛體的周期為兩邊平方，略去高次項(xiàng)，得到 (1.5.3.2)故而g值為，此式是考慮了擺角大小，擺線的質(zhì)量，擺球的質(zhì)量分布及空氣浮力這些因素后，對(duì)公式T2=L

18、作出的修正。若令修正項(xiàng)，則單擺的修正公式可寫為 (1.5.3.3)第2章 落球法 2.1 實(shí)驗(yàn)器材介紹 該實(shí)驗(yàn)用到自由落體測(cè)定儀，鋼卷尺以及數(shù)字毫秒計(jì)。自由落體實(shí)驗(yàn)儀器裝置主要由自由落體裝置和計(jì)時(shí)器兩大部分組成。自由落體裝置則由支柱、電磁鐵、光電門和捕球器構(gòu)成。其主體是一個(gè)有刻度尺的立柱，其底座上有調(diào)節(jié)螺絲可用來(lái)調(diào)豎直。立柱上端有一電磁鐵，可用來(lái)吸住小鋼球 電磁鐵斷電后，小鋼球即自由下落落入捕球器內(nèi)。立柱上裝有兩對(duì)可沿立柱上下移動(dòng)的光電門。本實(shí)驗(yàn)用的光電門由一個(gè)小的紅外發(fā)光二極管和一個(gè)紅外接收二極管組成， 并與數(shù)字毫秒計(jì)相接。 紅外發(fā)光二極管對(duì)準(zhǔn)紅外接收二極管， 二極管前面有一個(gè)小孔可以減小紅

19、外光束的橫截面。 小球通過第一個(gè)光電門時(shí)產(chǎn)生的光電信號(hào)觸發(fā)數(shù)字毫秒計(jì)開始計(jì)時(shí)， 通過第二個(gè)光電門時(shí)使之終止計(jì)時(shí)， 因此，數(shù)字毫秒計(jì)顯示的結(jié)果是兩次遮光之間的時(shí)間， 亦即小球通過兩光電門之間的時(shí)間。數(shù)字毫秒計(jì)有二路光電門信號(hào)輸入（電脈沖信號(hào)輸入）和一路電頻率信號(hào)輸入。機(jī)器連接的光電門被擋光時(shí)，測(cè)時(shí)器可測(cè)得二次擋光之間的時(shí)間（范圍可在50us99s之間）。利用頻率輸入口，可測(cè)得輸入信號(hào)的頻率（可測(cè)頻率范圍1HZ500KHZ）。2.2 實(shí)驗(yàn)原理在重力作用下，物體的下落運(yùn)動(dòng)是勻加速直線運(yùn)動(dòng)。這種運(yùn)動(dòng)可以表示為： （2.2.1）式中s是在時(shí)間t秒內(nèi)物體下落的距離，g是重力加速度。如果物體下落的初速度為零

20、，即，則 （2.2.2）可見，如果能測(cè)得物體在最初t秒內(nèi)通過的距離s，就可以算出重力加速度值g。實(shí)際中由于v0=0這一條件不易達(dá)到，往往造成小球通過第一光電門時(shí)有一初速度v0，測(cè)得的時(shí)間值比小球?qū)嶋H下落時(shí)間短，使測(cè)得結(jié)果g值偏大。同時(shí)，測(cè)量s也有一定困難，所以我們可以采取測(cè)量?jī)纱蜗侣涞母叨炔顏?lái)消除誤差。若，兩式相減整理有，即 （ 2.2.3）上述測(cè)定重力加速度值的實(shí)驗(yàn)，還可以用稍微不同的方式進(jìn)行。如圖2.2.1所示，讓物體從O點(diǎn)開始自由下落，設(shè)它到達(dá)點(diǎn)A的速度為v1。從點(diǎn)A開始，經(jīng)過時(shí)間t1后，物體到達(dá)B點(diǎn)。令A(yù)、B間的距離為s1，則 （2.2.4）OOABs1ABs2圖2.2.1 自由落體示

21、意圖 若保持前面所述的條件不變，則從點(diǎn)A起，經(jīng)過時(shí)間T2后，物體到達(dá)點(diǎn)B。令A(yù)、B間的距離為s2 ,則 （ 2.2.5） 將式(2.2.5)×t1-(2.2.4)×t2 ，得 ， 因而有 （2.2.6）2.3 最小二乘法分析處理數(shù)據(jù)該實(shí)驗(yàn)分兩次進(jìn)行， A、B兩光電門的固定情況不同，那么小球下落時(shí)經(jīng)過相同的距離時(shí)所用時(shí)間不同，以此作比較。2.3.1下落時(shí)A光電門不變用自由落體法測(cè)量重力加速度測(cè)定的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為表2.3.1.1所示：/cm /ms50182.24182.22182.29182.23182.1870233.66233.56233.60233.43233.499027

22、9.59279.62279.57279.76279.66110321.32321.32321.41321.37321.39表2.3.1.1實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)根據(jù)知當(dāng)兩邊同時(shí)處以t時(shí)得到，又令，則有，該式為一直線方程?，F(xiàn)又令，設(shè)誤差項(xiàng)為。故而有、 、將上述4個(gè)式子兩邊平方后求和得到2.3.1.1，其中、是最小二乘法估計(jì)值，是滿足使為極小求得的估計(jì)值。即有下列式子成立： 及，有此二式代入2.3.1.1中得到式子2.3.1.2及.2.3.1.3，聯(lián)立兩式得擬合直線的軸截距和斜率的最小二乘法估計(jì)值、為： 、 將單位標(biāo)準(zhǔn)化后得到、值如表格2.3.1.2所示：12340.1822320.2335140.279638

23、0.3213582.743762.997683.218453.42297表2.3.1.2計(jì)算表格由此可求得、 、 、 、 、 又因?yàn)椤?故而有及代入數(shù)據(jù)求得、因此、，則而標(biāo)準(zhǔn)差為、，所以、綜上所述，則有、即、2.3.2下落時(shí)B光電門不變 測(cè)得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為表2.3.2.1所示：/cm /ms4087.87687.91387.89487.89187.91360139.33139.30139.34139.32139.3080199.08199.08199.13199.11199.14100273.63273.63273.62273.66273.61 表2.3.2.1實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)根據(jù)2.3實(shí)驗(yàn)一中的實(shí)驗(yàn)原

24、理和處理方法處理數(shù)據(jù)，將單位標(biāo)準(zhǔn)化后得到、為下表2.3.2.2所示：12340.0878970.1393180.1991080.2736304.5507814.3066944.0179203.654570表2.3.2.2計(jì)算表格 由此可求得、 、 、 、 、 、 又因?yàn)椤?故而有及代入數(shù)據(jù)求得、因此、，則而標(biāo)準(zhǔn)差為、，所以、綜上所述，則有、即、2.4 誤差分析該實(shí)驗(yàn)原理是運(yùn)用運(yùn)動(dòng)方程，理論上公式不需要修正，但是實(shí)驗(yàn)中不可免的存在測(cè)量誤差。包括儀器誤差和人為誤差、環(huán)境誤差。儀器誤差的大小需要改進(jìn)實(shí)驗(yàn)設(shè)備，人為誤差可以由多次測(cè)量來(lái)減小，這里主要說(shuō)明環(huán)境誤差。實(shí)驗(yàn)中應(yīng)考慮空氣阻力問題，鋼球下降速度極

25、快，會(huì)受到空氣阻力，由于空氣密度一定，一般不易改變，根據(jù)知，減小鋼球的體積可以減小阻力，所以實(shí)驗(yàn)中應(yīng)采用較小的鋼球。而其他的溫度因素及浮力因素對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響太小，可以忽略不計(jì)。故而實(shí)際上實(shí)驗(yàn)測(cè)得的初速度偏小，加速度g也偏小。對(duì)于這個(gè)實(shí)驗(yàn)中的兩次測(cè)量中，實(shí)驗(yàn)一測(cè)得的加速度g值更接近理論值（實(shí)驗(yàn)一測(cè)得、實(shí)驗(yàn)二測(cè)得），但實(shí)驗(yàn)二測(cè)得的數(shù)據(jù)經(jīng)處理知，該組數(shù)據(jù)的各數(shù)據(jù)點(diǎn)更接近擬合直線（、），數(shù)據(jù)的誤差值更?。◤乃俣葋?lái)說(shuō)，實(shí)驗(yàn)一、實(shí)驗(yàn)二）。故而從數(shù)據(jù)的測(cè)量準(zhǔn)確度來(lái)說(shuō)，第二組數(shù)據(jù)更理想。但是從實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論值比較，實(shí)驗(yàn)一卻更接近理論值。在都沒有考慮空氣阻力的情況下，產(chǎn)生這種實(shí)驗(yàn)結(jié)果的最可能原因之一是：實(shí)驗(yàn)儀器問

26、題，兩次實(shí)驗(yàn)并不是用同一實(shí)驗(yàn)儀器完成。原因之二是：第二組實(shí)驗(yàn)中B光電門不變，測(cè)得的是位于130cm處，但實(shí)際不到130cm。這個(gè)錯(cuò)誤既使測(cè)得的加速度偏小，也不會(huì)影響實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理出來(lái)的直線擬合度及測(cè)量誤差。第3章 傾斜氣墊導(dǎo)軌法3.1 實(shí)驗(yàn)器材介紹 實(shí)驗(yàn)所需器材如下表3.1.1所示表3.1.1 實(shí)驗(yàn)儀器設(shè)備清單器材名稱型號(hào)規(guī)格數(shù)量氣墊導(dǎo)軌QG150-1690×120×174 mm1智能數(shù)字測(cè)時(shí)儀CS-Z50us99s1滑塊*3天枰*1墊塊*5光電門*2游標(biāo)卡尺*1將氣墊導(dǎo)軌放置在實(shí)驗(yàn)桌上，接通并啟動(dòng)起源，將一滑塊放置在導(dǎo)軌的中點(diǎn)及距兩端的四分之一處，看滑塊是否靜止或作不定向的

27、游動(dòng)。如果是，則導(dǎo)軌已處于水平狀態(tài)。如果滑塊朝一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，可調(diào)節(jié)氣軌端部的旋鈕，就可將氣軌調(diào)平。調(diào)平導(dǎo)軌本應(yīng)是將平直的導(dǎo)軌調(diào)成水平方向，但是實(shí)驗(yàn)室現(xiàn)在的導(dǎo)軌都存在一定的彎曲，因此“調(diào)平”的意義是指將光電門A、B所在兩點(diǎn)，調(diào)到同一水平線上（如圖3.1.2所示）.圖3.1.2導(dǎo)軌調(diào)平示意圖假設(shè)導(dǎo)軌上A、B所在兩點(diǎn)已在同一水平線上，則在A、B間運(yùn)動(dòng)的滑塊，因?qū)к墢澢鷮?duì)它運(yùn)動(dòng)的影響可以抵消，但是滑塊與導(dǎo)軌間還存在少許阻力，所以以速度通過A門的滑塊，到達(dá)B門時(shí)的速度，將是，由于阻力產(chǎn)生的速度損失等于 （3.1.3） 式中為粘性阻尼常量，s為光電門A、B的距離，為滑塊的質(zhì)量。參照上述討論，可以提出如下檢

28、查調(diào)平的要求： （1）滑塊從A向B運(yùn)動(dòng)時(shí)，；相反時(shí)。由于擋光片寬相同，所以AB時(shí)，相反時(shí)（速度均取正值）。（2）由A向B運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度損失，要和相反運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度損失盡量接近。一般導(dǎo)軌上滑塊的值在（25）×之間，設(shè)，光電門A、B間的距離S=0.375m，=0.3，則。3.2實(shí)驗(yàn)原理傾斜軌上的加速度與重力加速度的關(guān)系：設(shè)導(dǎo)軌傾斜角為，滑塊質(zhì)量為，則 （3.2.1） 上式是在滑塊運(yùn)動(dòng)時(shí)，不存在阻力時(shí)才成立。實(shí)際上滑塊在氣軌上運(yùn)動(dòng)雖然沒有接觸摩擦，其阻力F阻和平均速度成比例，即 （3.2.2）上式中的比例系數(shù)b，稱為粘性阻尼常量，考慮此阻力后，式為 （3.2.3） 整理后，重力加速度等于 （3

29、.2.4） 測(cè)量加速度可參照下面三公式之一去進(jìn)行 （3.2.5） （3.2.6） （3.2.7）式中、為滑塊擋光片通過A、B門的時(shí)間長(zhǎng)度，為擋光片第一前沿由A門到B門的時(shí)間。式3.2.5的依據(jù)是，由于用平均速度代替瞬時(shí)速度而存在系統(tǒng)誤差，系統(tǒng)誤差的大小和滑塊初始位置到A門距離及有關(guān)，越小誤差也越小。式3.2.6的依據(jù)是，它也是由平均速度代替瞬時(shí)速度，但是分母項(xiàng)中的附加項(xiàng)就是針對(duì)此時(shí)的系統(tǒng)誤差而加入的修正項(xiàng)，即用式3.2.6計(jì)算加速度時(shí)，不存在由于用代替的系統(tǒng)誤差。3.3 列表法處理數(shù)據(jù) 調(diào)平氣軌后測(cè)出粘性阻尼測(cè)量，其次將氣軌一端墊高，測(cè)出二支點(diǎn)間距離,則 （3.2.1）用幾個(gè)不同高度的墊塊，改

30、變傾斜角，分別測(cè)量值。數(shù)字測(cè)時(shí)計(jì)用2pr檔，時(shí)標(biāo)信號(hào)用1ms。在測(cè)完和后，要用一金屬片或黑紙將U形擋光片的豁口蓋住，去測(cè)。而且滑塊的起始位置要和前面的測(cè)量相同。傾斜氣墊導(dǎo)軌上測(cè)定重力加速度數(shù)據(jù)及處理（檔光片寬度）導(dǎo)軌前后腳距離L= 140 cm 滑塊質(zhì)量= 249 g = 測(cè)得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為表3.3.1所示：測(cè)量量數(shù)據(jù)墊塊高度次序（mm/s）(mm/s)（）1300.253202.13849.29265.8529.7792300.751202.24949.5463300.432202.27749.3874300.263202.14749.2935300.667202.30149.4281420.

31、544288.37199.546131.5289.6902420.229288.17399.4833420.600288.26899.8064420.251288.19499.4925420.597288.26399.8111552.712408.836151.525201.9459.7822552.644408.782151.5173552.467408.594151.4524552.189408.302151.4455522.499408.616151.4581691.545531.784202.440270.0609.7942691.822531.941202.4733691.61053

32、1.806202.4344691.325531.717202.3085691.709531.552202.6151842.037681.648253.382337.6949.8012842.525682.003253.1843842.151681.709253.3744842.257681.944253.2585842.693681.889254.159表3.3.1實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得出重力加速度的平均值： 經(jīng)計(jì)算，平均值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為： 即氣墊導(dǎo)軌測(cè)得的加速度為： 本實(shí)驗(yàn)是利用滑塊的重力加速度，進(jìn)行測(cè)量的。反復(fù)實(shí)驗(yàn)釋放滑塊的高度相同，整過實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)沒有太大變化。算后我采用列表的方法，這樣比較

33、直觀，容易理解。 3.4誤差分析實(shí)驗(yàn)中，由于系統(tǒng)誤差的存在，必然影響測(cè)量結(jié)果的精確性，特別是當(dāng)隨機(jī)誤差較小時(shí)，系統(tǒng)誤差就成為影響測(cè)量精確度的主要因素。歷史上，一些物理常量精確度的提高，往往得益于系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)和補(bǔ)正。因此，制訂實(shí)驗(yàn)方案時(shí)， 如何發(fā)現(xiàn)和消除系統(tǒng)誤差就特別重要。但系統(tǒng)誤差的處理不像隨機(jī)誤差那樣有完整的理論和方法，需要根據(jù)具體情況采取不同的處理方法。在某種意義上說(shuō)，有賴于實(shí)驗(yàn)者的實(shí)驗(yàn)素質(zhì)，實(shí)際經(jīng)驗(yàn)的積累和巧妙的實(shí)驗(yàn)技巧。本實(shí)驗(yàn)通過對(duì)存在于氣墊導(dǎo)軌實(shí)驗(yàn)中的系統(tǒng)誤差的分析處理實(shí)例，學(xué)習(xí)分析發(fā)現(xiàn)并對(duì)系統(tǒng)誤差進(jìn)行修正的方法。 3.5 公式修正氣墊導(dǎo)軌是目前力學(xué)實(shí)驗(yàn)中一種較精密的儀器，在氣墊導(dǎo)

34、軌實(shí)驗(yàn)中，由于氣墊對(duì)滑塊產(chǎn)生的漂浮作用，避免了容易引起實(shí)驗(yàn)誤差的滑動(dòng)摩擦力的影響；另一方面，在計(jì)時(shí)上又采用了光電計(jì)時(shí)的方法，使時(shí)間測(cè)量達(dá)到很高的精度。照例，氣墊實(shí)驗(yàn)理應(yīng)得到更高的精確度。但事實(shí)上，如果實(shí)驗(yàn)方法不合理，或者沒有對(duì)實(shí)驗(yàn)過程中的系統(tǒng)誤差作適當(dāng)?shù)难a(bǔ)正，則這些系統(tǒng)誤差也將在氣墊導(dǎo)軌這種靈敏的儀器上反映出來(lái)，造成實(shí)驗(yàn)結(jié)果不理想。因此，深入分析氣墊導(dǎo)軌實(shí)驗(yàn)中系統(tǒng)誤差的來(lái)源和修正的方法成為氣墊導(dǎo)軌實(shí)驗(yàn)中十分重要的問題。下面分別討論氣墊導(dǎo)軌實(shí)驗(yàn)中常見的幾種系統(tǒng)誤差及修正方法。 滑塊在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)時(shí)，雖然沒有滑動(dòng)摩擦阻力，但要受到粘性內(nèi)摩擦阻力的作用，從而對(duì)滑塊的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生一定的影響，造成附加的速度損

35、失?？梢宰C明，當(dāng)滑塊的速度不是很大時(shí)，單純?cè)谡承詢?nèi)摩擦阻力作用下，其相應(yīng)的速度損失為 （2.3.1）式中，為粘性阻尼常量，為滑塊的質(zhì)量，為滑塊運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的距離。 在一般的氣墊導(dǎo)軌實(shí)驗(yàn)中，粘性內(nèi)摩擦力所引起的速度損失造成的系統(tǒng)誤差對(duì)結(jié)果的影響和具體實(shí)驗(yàn)參數(shù)的選擇有關(guān)，舉例說(shuō)明如下： 設(shè)導(dǎo)軌的阻尼常量=3.0g/s，滑塊的質(zhì)量=235.0g，則當(dāng)滑塊運(yùn)動(dòng)的距離分別為10.0cm和100.0cm時(shí)，速度損失分別為 s = 10.0cm s = 100.0cm 又如果滑塊的實(shí)測(cè)速度為u=10.0cm/s時(shí)，在以上兩個(gè)不同距離時(shí)速度損失所占的百分比分別為1.3%和13%，后者就非修正不可。另外，在實(shí)驗(yàn)安

36、排中，如使滑塊速度增大到50.0cm/s，則相應(yīng)的百分比降為0.26%和2.6%。從本實(shí)例可知，在實(shí)驗(yàn)中為了避免和減少粘性速度損失所引起的系統(tǒng)誤差，在不增加其他誤差的前提下，適當(dāng)縮短距離和選用較大的速度是有利的。例如，在水平導(dǎo)軌上進(jìn)行碰撞實(shí)驗(yàn)時(shí)，應(yīng)盡可能縮短滑塊自碰撞點(diǎn)到測(cè)速點(diǎn)之間的距離，并適當(dāng)選用較大的碰撞速度。如果碰撞點(diǎn)到測(cè)速點(diǎn)的距離較大，則應(yīng)加以修正。 在傾斜導(dǎo)軌測(cè)重力加速度的實(shí)驗(yàn)中，對(duì)粘性內(nèi)摩擦力所引起的系統(tǒng)誤差修正就更復(fù)雜些。滑塊的運(yùn)動(dòng)方程為 （2.3.2） 當(dāng)存在粘性內(nèi)摩擦力作用時(shí)，實(shí)測(cè)滑塊經(jīng)過光電門及的速度為及（中同時(shí)包含有速度損失及因滑塊從運(yùn)動(dòng)到所用的時(shí)間的變化所帶來(lái)的影響），

37、 t為有粘性內(nèi)摩擦力的情況下，滑塊從到的時(shí)間，它要比無(wú)阻尼力時(shí)長(zhǎng)。對(duì)式（2.3.2）作變換并積分： （2.3.3） （2.3.4） （2.3.5）上式中， 為有粘性內(nèi)摩擦后，測(cè)得的加速度用表示，為沒有粘性內(nèi)摩擦?xí)r，理論加速度值、即重力加速度沿斜面方向的分加速度，用a表示，最后一項(xiàng)的量綱為加速度的量綱，可看作粘性內(nèi)摩察力所引起的附加加速度，用表示，而為滑塊從到的平均速度， 。因此，在傾斜導(dǎo)軌測(cè)量重力加速度的實(shí)驗(yàn)中，考慮到粘性內(nèi)摩擦力的影響后，對(duì)實(shí)測(cè)加速度應(yīng)作如下的修正，即 （2.3.6）測(cè)量中用平均速度代替瞬時(shí)速度所引起的系統(tǒng)誤差。如果不考慮粘性內(nèi)摩擦阻力的影響，用下式 （2.3.7） 測(cè)滑塊沿

38、斜面下滑的加速度。公式（2.3.7）中，、均是瞬時(shí)速度，而則是相應(yīng)于該兩瞬時(shí)的時(shí)間間隔。但在氣墊導(dǎo)軌實(shí)驗(yàn)中，所測(cè)的和均是某段時(shí)間間隔內(nèi)的平均速度，因而代入公式（2.3.7）計(jì)算加速度時(shí)，就存在系統(tǒng)誤差。設(shè)以滑塊開始運(yùn)動(dòng)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，則和分別表示置于滑塊上中間開槽的擋光片的前沿到達(dá)光電門的時(shí)間，而和分別表示寬度為s的擋光片經(jīng)過光電門A和B時(shí)擋光的時(shí)間。不能看作A點(diǎn)和B點(diǎn)的瞬時(shí)速度?？紤]到勻加速運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)，和應(yīng)分別是及時(shí)刻的瞬時(shí)速度，而該兩瞬時(shí)相應(yīng)的時(shí)間間隔為, 因而式（2.3.7）應(yīng)修正為 （2.3.8）第4章 測(cè)量重力加速度方法的比較及拓展4.1 前三種測(cè)量方法的優(yōu)缺點(diǎn)一、從實(shí)驗(yàn)的原理公式來(lái)說(shuō)

39、：由于單擺測(cè)重力加速度是一個(gè)近似公式，是將單擺看作一維振子的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)來(lái)處理。但是小球運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧，是二維的，因此原理公式需要修正。而自由落體法測(cè)量重力加速度和傾斜氣墊導(dǎo)軌法測(cè)量重力加速度的原理公式可由測(cè)量數(shù)據(jù)直接求出加速度，是標(biāo)準(zhǔn)公式。所以從實(shí)驗(yàn)原理及公式準(zhǔn)確性來(lái)說(shuō)，無(wú)疑自由落體法和傾斜氣墊導(dǎo)軌法測(cè)量重力加速度比用單擺法要合理些。二、從對(duì)實(shí)驗(yàn)儀器的要求來(lái)說(shuō)：依據(jù)前三章對(duì)各個(gè)實(shí)驗(yàn)的介紹知道，單擺實(shí)驗(yàn)只需要鐵架臺(tái)和秒表、游標(biāo)卡尺、米尺、細(xì)線、小球等簡(jiǎn)單的測(cè)量工具，而落球法測(cè)量重力加速度則還需要光電門和數(shù)字毫秒計(jì)這兩個(gè)電器設(shè)備，傾斜氣墊導(dǎo)軌測(cè)重力加速度所需儀器就更多了，有氣墊導(dǎo)軌、智能數(shù)字測(cè)時(shí)儀、

40、天平、光電門、滑塊、游標(biāo)卡尺、墊塊等。因此對(duì)實(shí)驗(yàn)儀器的要求來(lái)說(shuō)，單擺法對(duì)實(shí)驗(yàn)儀器的要求低得多。三、從測(cè)量的簡(jiǎn)易程度來(lái)說(shuō)：落球法測(cè)量重力加速度是測(cè)量數(shù)據(jù)最少的，人工測(cè)量極少，主要數(shù)據(jù)均由數(shù)字毫秒計(jì)上讀出，且其原理簡(jiǎn)單，故而測(cè)量的數(shù)據(jù)也較少。所以落球法是最節(jié)時(shí)省事的一種方法。四、從外界條件的影響來(lái)說(shuō)：外界條件的影響，包括多個(gè)方面，環(huán)境因素、人為測(cè)量因素、儀器調(diào)節(jié)等方面。環(huán)境因素的影響普遍存在，且難以修正，但是對(duì)測(cè)量結(jié)果影響不大。人為測(cè)量的誤差可以由多次測(cè)量來(lái)減小。實(shí)驗(yàn)中儀器的調(diào)節(jié)是非常重要的，很容易產(chǎn)生系統(tǒng)誤差，使得某些測(cè)量數(shù)據(jù)偏大或是偏小，從而影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果。通過分析，若實(shí)驗(yàn)中存在因?qū)嶒?yàn)儀器未能調(diào)

41、節(jié)好而產(chǎn)生系統(tǒng)誤差，對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果影響最大的是落球法。最困難調(diào)節(jié)的是兩個(gè)光電門的水平，以及小球下落時(shí)，廣電門能否經(jīng)過小球中心。否則可能會(huì)使得小球?qū)嶋H下落距離大于或小于兩光電門的距離，而這段距離差會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生較大影響。還有需注意光電門出有導(dǎo)線存在，如果小球下落時(shí)碰到導(dǎo)線更會(huì)使得加速度偏小，甚至是導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。并且落球法測(cè)量中，由于電磁鐵剩磁的影響，會(huì)使小球下落與光電門計(jì)時(shí)不同步，并且光電門的光源不是理想的線光源，發(fā)散角大，光接收部分又易受干擾，還有，小球下落過程中，難以保證擋光部位都相同，因而實(shí)驗(yàn)中距離和時(shí)間就不易測(cè)準(zhǔn)。在不同的條件下需要采用不同的方法來(lái)測(cè)量重力加速度，每種方法均有其缺點(diǎn)和優(yōu)勢(shì)。4.

42、2 測(cè)量重力加速度測(cè)量方法改良的簡(jiǎn)述 單擺法、落球法及傾斜氣墊導(dǎo)軌法是我們較常用的測(cè)量重力加速度值的方法。此外還有許多其他測(cè)量重力加速度的方法。例如：可逆擺測(cè)量、MCS-51單片機(jī)系統(tǒng)測(cè)量、打點(diǎn)計(jì)時(shí)器測(cè)量、圓錐擺測(cè)量、傳感器測(cè)量等測(cè)量重力加速度的方法，這里我利用傳感器對(duì)單擺法和落球法這兩種方法測(cè)量進(jìn)行改良。4.2.1 單擺法測(cè)重力加速度方法改良：設(shè)計(jì)思想單擺法測(cè)重力加速度實(shí)驗(yàn)中主要誤差來(lái)源于計(jì)時(shí)誤差，因此我們可以采用計(jì)算機(jī)來(lái)采集和處理數(shù)據(jù)，得出實(shí)驗(yàn)結(jié)果，如利用朗威數(shù)字化物理實(shí)驗(yàn)平臺(tái)、微機(jī)。 其實(shí)驗(yàn)裝置為： 4.2.2.1改良單擺法測(cè)重力加速度實(shí)驗(yàn)裝置 實(shí)驗(yàn)原理：根據(jù)單擺周期公式可得：，測(cè)出擺長(zhǎng)

43、和周期即可求出重力加速度。實(shí)驗(yàn)過程：（1）取出單擺傳感器，接入數(shù)據(jù)采集器的第一輸入口。（2）選擇“設(shè)置”-“雙次計(jì)數(shù)”。（3）如圖1，在單擺擺球的下面安裝10毫米長(zhǎng)的絕緣棒（質(zhì)量最好稍大），調(diào)整擺長(zhǎng)和光電門的位置，使火柴桿可通過光電門之間的窄縫，在其間的平面內(nèi)自由擺動(dòng)。（4）讓單擺自由擺動(dòng)，點(diǎn)擊“開始計(jì)時(shí)”。（5）讓單擺振動(dòng)十次，點(diǎn)擊“結(jié)束計(jì)時(shí)”，并記錄數(shù)據(jù)。（6）測(cè)出擺長(zhǎng)即可求出重力加速度。4.2.2用落球法測(cè)量重力加速度的方法改良1、設(shè)計(jì)思想 實(shí)驗(yàn)采用自制激光光電計(jì)時(shí)器，可以避免原發(fā)光二極管光電門、易受干擾等缺點(diǎn)，激光光電計(jì)時(shí)器準(zhǔn)確度高，調(diào)整方便，穩(wěn)定可靠，抗干擾能力強(qiáng)，適合于測(cè)量物體運(yùn)動(dòng)

44、的時(shí)間。激光束線性好，直觀性強(qiáng)，擋光位置容易確定，并可以訓(xùn)練學(xué)生調(diào)節(jié)光路。實(shí)驗(yàn)原理物體由靜止自由下落時(shí)，其運(yùn)動(dòng)方程為 （4.2.2.1）式中為物體下落的路程，為重力加速度，為物體下落時(shí)間，若物體下落時(shí)具有初速度，自由下落時(shí)，其運(yùn)動(dòng)方程為 （4.2.2.2）實(shí)驗(yàn)裝置介紹與原實(shí)驗(yàn)比較，該實(shí)驗(yàn)有兩個(gè)方面的改動(dòng)。一是將小球改成了下部為扁圓盤上部為圓柱體的鐵塊，圓柱部分高1.2cm，直徑1 cm,圓盤部分厚0.2cm，直徑2.Ocm,圓盤是用來(lái)?yè)豕獾模浜穸扰c激光束直徑差不多，擋光寬度是確定的，這樣就克服了小球擋光的缺點(diǎn)。二是將普通光電門改成了由激光發(fā)射器和接收器組成的新型激光光電開關(guān)。如圖4.2.2.1所示，其中:1.電磁鐵;2.重物;3.激光發(fā)射器;4，激光接收器;5.計(jì)時(shí)器;6.接物杯。發(fā)射器可用普通半導(dǎo)體激光器，光闌直徑1.5mm。接收器可以自制，其電路如圖4.2.2.2所示，主要元件是3DU光敏三極管和運(yùn)算放大器。激光接收器可將光信號(hào)轉(zhuǎn)化為電信號(hào)，經(jīng)運(yùn)算放大器比較后輸出高電平或低電平，電平轉(zhuǎn)換信號(hào)輸人計(jì)時(shí)器，可啟動(dòng)計(jì)時(shí)器開始計(jì)時(shí)或終止計(jì)時(shí)。激光接收器上裝有紅色發(fā)光二極管，接收到激光時(shí)，發(fā)光二極管亮，激光束一被遮擋，會(huì)立即不亮，重物下落過程中，擋光