數(shù)學(xué)美與數(shù)學(xué)審美能力%20

1、數(shù)學(xué)美與數(shù)學(xué)審美能力美是人類創(chuàng)造性實(shí)踐活動(dòng)的產(chǎn)物，是人類文明的產(chǎn)物。一般地說，美是人類直覺的感性形式，是人類本質(zhì)力量的感性表現(xiàn)。通常所說的美包括自然美、社會(huì)美和藝術(shù)美，前者為第一性的，后兩者為第二性的。在美學(xué)史上，最早從科學(xué)上提出美這個(gè)問題的是一些科學(xué)家，如古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，提出直角三角形斜邊的平方等于其它兩邊平方的和，認(rèn)為美是和諧與比例。美的概念，與科學(xué)的發(fā)展，與人類文明的興盛，是分不開的。關(guān)于數(shù)學(xué)美及其表現(xiàn)形式、數(shù)學(xué)美感與數(shù)學(xué)審美能力，目前已有不少探討，說法不一，但是總起來有幾點(diǎn)是可以肯定的：其一，數(shù)學(xué)中充滿著美的因素；其二，追求數(shù)學(xué)美在一定程度上促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展；其三，要注重?cái)?shù)學(xué)審

2、美能力的培養(yǎng)。在本節(jié)，我們將對(duì)什么是數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)美的特征、數(shù)學(xué)美感與審美能力等問題進(jìn)行初步探討。一、什么是數(shù)學(xué)美作為科學(xué)的語言數(shù)學(xué)，具有一般語言文學(xué)與藝術(shù)所共有的美的特點(diǎn)，這就是數(shù)學(xué)在其內(nèi)容結(jié)構(gòu)與方法上都具有某種美，但數(shù)學(xué)美又有自身的獨(dú)特含義。什么是數(shù)學(xué)美呢？歷史上許多學(xué)者、數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)美從不同側(cè)面作過生動(dòng)的闡述。亞里士多德說：“雖然數(shù)學(xué)沒有明顯地提到善和美，但善和美也不能和數(shù)學(xué)完全分離。因?yàn)槊赖闹饕问骄褪侵刃?、勻稱和確定性，這些正是數(shù)學(xué)所研究的原則?！边_(dá)芬奇認(rèn)為：“美感完全建立在各部分之間神圣的比例關(guān)系上?！迸砑永照f：“數(shù)學(xué)家把重大意義與他們的方法和他們的結(jié)果的美聯(lián)系起來。這不是純粹的淺薄

3、涉獵。事實(shí)上，在解題、證明中，給我們以美感的是什么呢？是各部分的和諧，是它們的對(duì)稱、它們的巧妙平衡?？偠灾?，就是引入秩序，給出統(tǒng)一，容許我們同時(shí)清楚地觀察和理解整體與細(xì)節(jié)的東西”維納認(rèn)為：“數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)上是藝術(shù)的一種?！毙炖握J(rèn)為：“數(shù)學(xué)在其內(nèi)容結(jié)構(gòu)上和方法上也都具有其自身的某種美?！闭J(rèn)真研究上述看法，從美學(xué)與數(shù)學(xué)角度進(jìn)行總結(jié)，可以這么說，數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)科學(xué)的本質(zhì)力量的感性與理性的顯現(xiàn)，是一種人的本質(zhì)力量通過宜人的數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)的呈現(xiàn)。它是一種真實(shí)的美，是反映客觀世界并能動(dòng)地改造客觀世界的科學(xué)美。數(shù)學(xué)美既有第一性美的特征，更具有第二性美的特征。數(shù)學(xué)美不僅有表現(xiàn)的形式美，而且有內(nèi)容美與嚴(yán)謹(jǐn)美；不僅有具

4、體的公式、定理美，而且有結(jié)構(gòu)美與整體美；不僅有語言精巧美，而且有方法美與思路美；不僅有邏輯抽象美，而且有創(chuàng)造美與應(yīng)用美。二、數(shù)學(xué)美的特征數(shù)學(xué)美有四個(gè)方面的表現(xiàn)形式：對(duì)稱、和諧，簡單、明快，嚴(yán)謹(jǐn)、統(tǒng)一，奇異、突變。1對(duì)稱、和諧對(duì)稱、和諧是數(shù)學(xué)美的基本內(nèi)容，它給人們一種圓滿而勻稱的美感與享受，其實(shí)質(zhì)是數(shù)學(xué)中對(duì)立統(tǒng)一的概念、運(yùn)算、命題、圖形等在結(jié)構(gòu)與形式方面的體現(xiàn)。幾何中的對(duì)稱圖形與變換是明顯對(duì)稱的，從簡單的圓、橢圓、心臟線到各類幾何變換群都具有鮮明的對(duì)稱性。這些對(duì)稱性是數(shù)學(xué)形式美的表現(xiàn)，它直觀給人以美的享受。然而數(shù)學(xué)中還有更多的是基本概念、定理、法則的對(duì)稱性，是與非對(duì)稱性相聯(lián)系的對(duì)稱性，是數(shù)學(xué)內(nèi)容

5、美的表現(xiàn)。如代數(shù)中的對(duì)稱多項(xiàng)式、行列式、矩陣、線性空間等，都是一種均衡的對(duì)稱美。和諧是指事物之間按一定規(guī)律聯(lián)系、勻稱、有一定秩序以及明確的變化規(guī)律，天文學(xué)家開普勒在他的名著世界的和諧中就指出：“現(xiàn)代宇宙學(xué)的發(fā)展證明，從某些角度看，我們的宇宙也是一個(gè)簡單、和諧的體系?！焙椭C包含著對(duì)稱，它是一種內(nèi)在美。波浪滾滾的正弦曲線，欲達(dá)不能的漸近線，翩翩起舞的蝴蝶定理，它們?cè)诤椭C中動(dòng)靜結(jié)合，富有詩情。數(shù)系的擴(kuò)充，一次又一次矛盾的沖突與解決，都在新的基礎(chǔ)上形成新的和諧。初等數(shù)學(xué)中的對(duì)稱、和諧美典型例子要算黃金數(shù)及其應(yīng)用了。的寬長之比，還是黃金三角形的底腰之比，此外還有，2sin18，黃金數(shù)也是現(xiàn)實(shí)世界中美的反

6、映。世界上許多著名建筑廣泛采用的比例，給人以舒適的美感。人體自身的軀干寬高比約為11.618。一些名畫的主題，大都畫在畫面的0.618處，攝影中也要注意這一點(diǎn)。樂曲中較長的一段一般是總長度的0.618，弦樂器的聲碼放在琴弦的0.618處會(huì)使聲音更甜美。美術(shù)作品的高雅風(fēng)格、音樂作品的優(yōu)美節(jié)奏，交融于數(shù)學(xué)的對(duì)稱美、和諧美之中。2簡單、明快簡單、明快既是數(shù)學(xué)美直觀顯現(xiàn)，又反映數(shù)學(xué)的內(nèi)在美。數(shù)學(xué)語言本身就是最簡潔的文字，同時(shí)反映客觀規(guī)律極其深刻。許多復(fù)雜的客觀現(xiàn)象，總結(jié)為一定的規(guī)律，往往呈現(xiàn)為十分簡單的公式。如開普勒行星運(yùn)動(dòng)第三定律T2=D3(T為行星公轉(zhuǎn)周期，D為行星與太陽的距離)，愛因斯坦的質(zhì)能公

7、式E=mc2(m為物體質(zhì)量，c為光速)，牛頓第二定 的自然現(xiàn)象又常用一個(gè)數(shù)學(xué)公式加以描述，如弦振動(dòng)、電磁波的傳播、描述，可謂精美。數(shù)學(xué)家總是以極其抽象的手法來揭示自然界的規(guī)律，如數(shù)學(xué)中有各種算子，引入之后使得公式變得如音符排列的歌曲一樣，簡潔又優(yōu)美動(dòng)人。我們看哈密頓算子引入之后，梯度、散度、旋度化簡為grad=，矢量分析這門研究流體力學(xué)、電動(dòng)力學(xué)的重要基礎(chǔ)學(xué)科，變得可用十幾個(gè)公式加以概括。追求簡單、明快也是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要因素之一。眾所周知，追求第五公設(shè)的證明與問題求解，導(dǎo)致了羅巴切夫斯基幾何的誕生。代數(shù)運(yùn)算中乘法與冪的運(yùn)算，乃是加法(相同加數(shù))與乘法(相同因數(shù))的簡化。二進(jìn)制可以說是從邏輯關(guān)系

8、的簡單性考慮中所引出的結(jié)果。1889年9月，希爾伯特在一篇短注記中，以直接的非構(gòu)造性的革命方法，統(tǒng)一地解決了不變理論中著名的“果爾丹問題”。他的作法是把“存在有限個(gè)基本不變式”和“具體找出不變式”這兩個(gè)問題分開。但是，他的非構(gòu)造性的純粹的存在證明非常簡潔與深刻，并且孕育了新的抽象代數(shù)學(xué)科的產(chǎn)生。3嚴(yán)謹(jǐn)、統(tǒng)一嚴(yán)謹(jǐn)、統(tǒng)一是數(shù)學(xué)美的重要特征。歐幾里得的幾何體系被稱為“壯麗的結(jié)構(gòu)”，曾鼓舞千百萬青年人向科學(xué)堡壘進(jìn)軍。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)多樣，但又常統(tǒng)一于某公理、公式之中，平面幾何中的相交弦定理、割線定理、切線長定理都統(tǒng)一于圓冪定理之中。引入極坐標(biāo)后，橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)一于公式之中。方程論是一個(gè)古老而又重要的數(shù)

9、學(xué)體系，16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家曾成功地找到了根式解三次方程和四次方程的公式，于是數(shù)學(xué)家們又致力于研究五次方程的根式解法，但卻均未考慮“根是否存在”的問題。1799年高斯在博士論文中，第一次嚴(yán)格地證明了“每個(gè)n次方程至少有一個(gè)根”。這是數(shù)學(xué)史上第一個(gè)一般性的存在性定理，并在方程論的基本問題上揭示了代數(shù)方程的統(tǒng)一性。數(shù)學(xué)研究中的“不變性”原則，也是統(tǒng)一性思想方法在數(shù)學(xué)研究中的一種深刻體現(xiàn)，如克萊因曾對(duì)各種新幾何學(xué)的發(fā)展進(jìn)行總結(jié)，提出了各種幾何系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)上的一般原則。1872年，他在愛爾蘭根大學(xué)做了一個(gè)聞名于世的報(bào)告，就是著名的“愛爾蘭根綱要”?？巳R因在這里用變換群的觀點(diǎn)作為幾何學(xué)分類的基礎(chǔ)，由此而用

10、群論觀點(diǎn)統(tǒng)一了幾何學(xué)，指出幾何學(xué)是一個(gè)有機(jī)的整體，無論是歐氏幾何、仿射幾何與射影幾何等，都是由某種變換群所決定的，并且各種幾何所研究的，都不過是在相應(yīng)的變換群下的一種不變量。盡管各門幾何都各自獨(dú)立地發(fā)展著，但又都在變換群之不變量的意義下，達(dá)到了完美的統(tǒng)一。數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)、統(tǒng)一的美還在于它源于自然又高于自然，成為數(shù)學(xué)發(fā)展的方向之一。比如幾何空間，通常說的現(xiàn)實(shí)空間是三維空間，但是引進(jìn)時(shí)間t之后出現(xiàn)四維空間，研究剛體運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)六維空間，引進(jìn)無窮遠(yuǎn)元素和射影變換，導(dǎo)出射影空間。歐氏三維空間可以推廣到n維空間以至無窮維空間。近代數(shù)學(xué)還出現(xiàn)各種函數(shù)空間、向量空間、羅氏空間、黎氏空間、代數(shù)空間、拓?fù)淇臻g等，真是琳瑯

11、滿目，它們仿佛是一個(gè)個(gè)經(jīng)過精致加工的象牙雕品，比原始材料不知優(yōu)美多少。從結(jié)構(gòu)的統(tǒng)一性來認(rèn)識(shí)，在空間中賦予各種量的結(jié)構(gòu)，便形成不同的空間，如賦予向量與內(nèi)積結(jié)構(gòu)就形成歐氏空間；賦予向量結(jié)構(gòu)就形成向量空間：賦予代數(shù)結(jié)構(gòu)時(shí)，就形成代數(shù)空間等。這樣各空間又在賦予某種結(jié)構(gòu)的意義下統(tǒng)一起來。4奇異、突變奇異、突變是數(shù)學(xué)美的重要表現(xiàn)，它反映了現(xiàn)實(shí)世界中非常規(guī)現(xiàn)象的一個(gè)側(cè)面，給數(shù)學(xué)的發(fā)展帶來了新的活力。數(shù)學(xué)中奇異美，頗有一點(diǎn)“出乎意料”和“令人震驚”的意味。這種奇異美與前述的統(tǒng)一美之間，是一種對(duì)立統(tǒng)一的關(guān)系，必須把這兩個(gè)相互對(duì)立的方面結(jié)合起來，以能在新的層次之上達(dá)到更高的統(tǒng)一。這是一個(gè)十分卓著的發(fā)現(xiàn)，人們驚訝的

12、是表面上看來毫無聯(lián)系的兩個(gè)數(shù)學(xué)概念，竟然如此密切地溝通起來了。為了證實(shí)這一優(yōu)美神奇的猜想，從高斯提出猜想到完全證明，數(shù)學(xué)家們花了近百年的時(shí)間。數(shù)學(xué)分析中主要研究連續(xù)函數(shù)。起初，數(shù)學(xué)家以為“連續(xù)函數(shù)至少在某點(diǎn)處可微”，然而魏爾斯特拉斯1860年卻找到一個(gè)奇特的函數(shù)，它處處連續(xù)但處處不可微。這個(gè)例子不僅澄清了對(duì)函數(shù)概念的模糊認(rèn)識(shí)，而且使分析基礎(chǔ)更嚴(yán)密化。后來又有人發(fā)現(xiàn)，存在著黎曼可積而又具有無窮多個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)，這無疑是一種奇特美。相對(duì)于連續(xù)的數(shù)量形式而言，離散的數(shù)量形式顯得新穎而奇特，并由此而促進(jìn)了對(duì)于離散數(shù)學(xué)的發(fā)展和研究?，F(xiàn)在，離散數(shù)學(xué)成為計(jì)算機(jī)科學(xué)不可缺少的工具。突變相對(duì)于連續(xù)性而言，也體現(xiàn)

13、出一種奇異美。法國數(shù)學(xué)家托姆運(yùn)用微分映射的奇點(diǎn)理論去研究自然界中的非連續(xù)的突變現(xiàn)象，終于導(dǎo)致了突變理論的誕生和發(fā)展。還有一個(gè)十分有趣的例子是蒲豐用投針求的近似值。1777年某日，蒲豐忽然奇想，請(qǐng)?jiān)S多賓朋來到家里，做了一個(gè)奇特的試驗(yàn)。他事先畫好了一條條有等距離的平行線的白紙，鋪在桌上，又拿出一些質(zhì)量均勻長度為平行線間距離一半的小針，請(qǐng)客人把針一根根隨便扔到紙上。蒲豐則在一旁計(jì)數(shù)，結(jié)果共投2212次，其中與任一平行線相交的有704近似值。還說，投的次數(shù)越多，越精確。這個(gè)試驗(yàn)的確使人震驚，竟然和一個(gè)表面看來風(fēng)馬牛不相及的隨便投針試驗(yàn)，溝通在一起。然而這(其中n為投擲數(shù)，v為相交數(shù))。計(jì)算的這一方法，

14、不但因其新穎，奇妙而讓人叫絕，而且開創(chuàng)了用偶然性方法去作確定性計(jì)算的前導(dǎo)，充分顯示了數(shù)學(xué)方法的奇異美。培根說得好：“美在于獨(dú)特而令人驚異。奇異與和諧是對(duì)立的統(tǒng)一。數(shù)學(xué)中出人意料的反例和巧妙的解題方法都令人叫絕，表現(xiàn)出奇異的美，閃耀著智慧的光芒?！?三、數(shù)學(xué)美感與審美能力在數(shù)學(xué)創(chuàng)造活動(dòng)中，對(duì)數(shù)學(xué)美的追求、美感與審美能力起著重要作用。著名數(shù)學(xué)家彭加勒認(rèn)為數(shù)學(xué)美不僅是選擇事實(shí)和理論的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，而且也是激勵(lì)數(shù)學(xué)家進(jìn)行科學(xué)研究的持續(xù)動(dòng)力。他說：“一個(gè)科學(xué)家，尤其是一個(gè)數(shù)學(xué)家，他在工作中體驗(yàn)到和藝術(shù)家相同的印象；他的樂趣象藝術(shù)家的樂趣那樣大，而且有相同的性質(zhì)?！睂?duì)于數(shù)學(xué)美的追求，歸根結(jié)底是對(duì)數(shù)學(xué)真理的追求

15、。1數(shù)學(xué)美感與審美能力是數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維中重要因素之一數(shù)學(xué)美感是人們?cè)趶氖聰?shù)學(xué)研究時(shí)最高層次的顯意識(shí)和潛意識(shí)相結(jié)合的思維功能，是喚起和激發(fā)人的最高享受的心理狀態(tài)。數(shù)學(xué)審美能力是指對(duì)數(shù)學(xué)美的感受能力、鑒賞能力與創(chuàng)造能力結(jié)合的一種綜合能力。在創(chuàng)造的準(zhǔn)備與領(lǐng)悟階段，特別是構(gòu)思與突破時(shí)，數(shù)學(xué)美感與審美能力，與形象、靈感結(jié)合，起著關(guān)鍵作用。數(shù)學(xué)的創(chuàng)造常開始于對(duì)現(xiàn)有知識(shí)美的缺陷的認(rèn)識(shí)，射影幾何的研究就起源于對(duì)直線交點(diǎn)的追究(因?yàn)樗弧皩?duì)稱”)，柯爾莫哥洛夫的概率公理化體系就開始于對(duì)已知概率知識(shí)雜亂無章的不滿(因?yàn)樗弧皣?yán)謹(jǐn)”、不“統(tǒng)一”)。數(shù)學(xué)創(chuàng)造離不開數(shù)學(xué)美感與審美能力，數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪說的好：“數(shù)學(xué)家的美感

16、猶如一個(gè)篩子，沒有它的人，永遠(yuǎn)成不了數(shù)學(xué)家?！痹跀?shù)學(xué)創(chuàng)造的加工整理完善階段，以及對(duì)成果檢驗(yàn)評(píng)價(jià)時(shí)，數(shù)學(xué)美感與審美能力起著重要作用。我們現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)成果總愛說漂亮不漂亮，如果某數(shù)學(xué)論文的成果結(jié)論新穎，證法簡明，我們就會(huì)說：“真漂亮！”這實(shí)際上是數(shù)學(xué)美起的作用。數(shù)學(xué)家們?cè)谡碜约旱某晒麜r(shí)，總是力求簡明扼要，并不斷改進(jìn)方法，使之完美、抽象。代數(shù)基本定理的證明，高斯曾給出四個(gè)嚴(yán)格證明，第一次發(fā)表于1799年，以后他不斷改進(jìn)，一次比一次更完美，第四次發(fā)表于1850年，整整相隔半個(gè)世紀(jì)。陳景潤攻克(12)的難題，最早的成果是1966年，但那時(shí)證明較長，以后他作了改進(jìn)，簡化了原有的證明，后來潘承洞、王元對(duì)證明又作了進(jìn)一步的簡化。秦元?jiǎng)自诔Ｎ⒎址匠潭x的積分曲面中，證明二次系統(tǒng)最多有四個(gè)孤立周期解，并且是一、三結(jié)構(gòu)，即三個(gè)一串和一個(gè)打單，至此，二次微分方程的解的結(jié)構(gòu)得到最終解決。國內(nèi)外在評(píng)價(jià)這一成果時(shí)，認(rèn)為結(jié)果完美，其方法為今后指出新的途徑，是對(duì)希爾伯特第十六問題的重要大突破。這評(píng)價(jià)既是從理論與實(shí)際的意義上講的，也是“懂行”的專家從美的角度產(chǎn)生的共鳴。2能作出數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的人，是具有數(shù)學(xué)美感與審美能力的人除了具備其他一些條件以外，從事數(shù)學(xué)研究必須有強(qiáng)烈的對(duì)美的追求、較強(qiáng)的數(shù)學(xué)美感與審美能力，要有較高的素質(zhì)。這一點(diǎn)日