全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試A卷

1、2008年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試（A卷）說明：1評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)嚴(yán)格按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的評(píng)分檔次給分；2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評(píng)卷時(shí)可參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評(píng)分，10分為一個(gè)檔次，不要增加其他中間檔次一、（本題滿分50分）如題一圖，給定凸四邊形，是平面上的動(dòng)點(diǎn)，令（）求證：當(dāng)達(dá)到最小值時(shí)，四點(diǎn)共圓；（）設(shè)是外接圓的上一點(diǎn)，滿足：，又是的切線，求的最小值二、（本題滿分50分）設(shè)是周期函數(shù)，和1是的周期且證明：（）若為有理數(shù)，則存在素?cái)?shù)，使是的周期；（）若為無理數(shù)，則存在各項(xiàng)均為無理數(shù)的數(shù)列滿足 ，且每個(gè)都是的周期三、（本題滿分50分）設(shè)，證明：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，存在

2、數(shù)列滿足以下條件：（），；（）存在；（）， 參考答案一、解法一 （）如答一圖1，由托勒密不等式，對(duì)平面上的任意點(diǎn)，有答一圖1 因此 因?yàn)樯厦娌坏仁疆?dāng)且僅當(dāng)順次共圓時(shí)取等號(hào)，因此當(dāng)且僅當(dāng)在的外接圓且在上時(shí)， 10分又因，此不等式當(dāng)且僅當(dāng)共線且在上時(shí)取等號(hào)因此當(dāng)且僅當(dāng)為的外接圓與的交點(diǎn)時(shí)，取最小值故當(dāng)達(dá)最小值時(shí)，四點(diǎn)共圓 20分（）記，則，由正弦定理有，從而，即，所以，整理得， 30分解得或（舍去），故， 由已知=,有，即，整理得，故，可得， 40分從而，為等腰直角三角形因，則又也是等腰直角三角形，故，故 50分解法二 （）如答一圖2，連接交的外接圓于點(diǎn)（因?yàn)樵谕?，故在上）過分別作的垂線，兩兩相交

3、得，易知在內(nèi)，從而在內(nèi)，記之三內(nèi)角分別為，則，又因，得，同理有，所以 10分答一圖2設(shè)，則對(duì)平面上任意點(diǎn)，有，從而 由點(diǎn)的任意性，知點(diǎn)是使達(dá)最小值的點(diǎn)由點(diǎn)在上，故四點(diǎn)共圓 20分（）由（），的最小值 ，記，則，由正弦定理有，從而，即，所以，整理得， 30分解得或（舍去），故， 由已知=,有，即，整理得，故，可得， 40分所以，為等腰直角三角形，因?yàn)椋c(diǎn)在上，所以為矩形，故，所以 50分解法三 （）引進(jìn)復(fù)平面，仍用等代表所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)由三角形不等式，對(duì)于復(fù)數(shù)，有 ，當(dāng)且僅當(dāng)與（復(fù)向量）同向時(shí)取等號(hào)有 ，所以 （1） ，從而 （2） 10分（1）式取等號(hào)的條件是 復(fù)數(shù) 與同向，故存在實(shí)數(shù)，使得 ，

4、，所以 ，向量旋轉(zhuǎn)到所成的角等于旋轉(zhuǎn)到所成的角，從而四點(diǎn)共圓（2）式取等號(hào)的條件顯然為共線且在上故當(dāng)達(dá)最小值時(shí)點(diǎn)在之外接圓上，四點(diǎn)共圓 20分（）由（）知以下同解法一二、證（）若是有理數(shù)，則存在正整數(shù)使得且，從而存在整數(shù)，使得 于是是的周期10分又因，從而設(shè)是的素因子，則，從而 是的周期 20分（）若是無理數(shù)，令 ，則，且是無理數(shù)，令 ， ， 30分由數(shù)學(xué)歸納法易知均為無理數(shù)且又，故，即因此是遞減數(shù)列 40分最后證：每個(gè)是的周期事實(shí)上，因1和是的周期，故亦是的周期假設(shè)是的周期，則也是的周期由數(shù)學(xué)歸納法，已證得均是的周期 50分三、證 必要性：假設(shè)存在滿足（），（），（iii）注意到（）中式子可化為 ， 其中將上式從第1項(xiàng)加到第項(xiàng)，并注意到得 10分由（）可設(shè)，將上式取極限得 ，因此 20分充分性：假設(shè)定義多項(xiàng)式函數(shù)如下：，則在0,1上是遞增函數(shù)，且，因此方程在0,1內(nèi)有唯一的根，且，即 30分下取數(shù)列為，則明顯