二面角問(wèn)題求解方法大全

1、五法求二面角一、 定義法： 從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角, 這條直線(xiàn)叫做二面角的棱, 這兩個(gè)半平面叫做二面角的面，在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線(xiàn)與棱垂直，這兩條垂線(xiàn)所成的角的大小就是二面角的平面角。例1如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，點(diǎn)M在側(cè)棱上，=60°（I）證明：M在側(cè)棱的中點(diǎn) （II）求二面角的大小。練習(xí)1如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA平面ABCD，,E，F(xiàn)分別是BC, PC的中點(diǎn).（）證明：AEPD; （）若H為PD上的動(dòng)點(diǎn)，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角EAFC的余弦值.二、三垂線(xiàn)法三垂線(xiàn)定理：在平面內(nèi)的一條

2、直線(xiàn)，如果和這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)的射影垂直，那么它也和這條斜線(xiàn)垂直通常當(dāng)點(diǎn)P在一個(gè)半平面上則通常用三垂線(xiàn)定理法求二面角的大小。E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 例2 如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點(diǎn)。(1)證明：直線(xiàn)EE/平面FCC； (2)求二面角B-FC-C的余弦值。 練習(xí)2如圖，在四棱錐中，底面是矩形已知（）證明平面； （）求異面直線(xiàn)與所成的角的大??；（）求二面角的大小三補(bǔ)棱法ABCEDP本法是針對(duì)在解構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面沒(méi)有明確交線(xiàn)的求二面角題

3、目時(shí)，要將兩平面的圖形補(bǔ)充完整，使之有明確的交線(xiàn)（稱(chēng)為補(bǔ)棱），然后借助前述的定義法與三垂線(xiàn)法解題。即當(dāng)二平面沒(méi)有明確的交線(xiàn)時(shí)，一般用補(bǔ)棱法解決 例3如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，BCD60°，E是CD的中點(diǎn)，PA底面ABCD，PA2. （）證明：平面PBE平面PAB;（）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.練習(xí)3已知斜三棱柱ABCA1B1C1的棱長(zhǎng)都是a，側(cè)棱與底面成600的角，側(cè)面BCC1B1底面ABC。（1）求證：AC1BC；（2）求平面AB1C1與平面 ABC所成的二面角（銳角）的大小。四、射影面積法（）凡二面角的圖形中含有可求原圖形

4、面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（cos）求出二面角的大小。ACBP例4（2008北京理）如圖，在三棱錐中，（）求證：；（）求二面角的大??；練習(xí)4： 如圖5，E為正方體ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中點(diǎn)，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成銳角的余弦值.A1D1B1C1EDBCA圖5五、向量法向量法解立體幾何中是一種十分簡(jiǎn)捷的也是非常傳統(tǒng)的解法，可以說(shuō)所有的立體幾何題都可以用向量法求解，用向量法解立體幾何題時(shí)，通常要建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將幾何圖中的線(xiàn)段寫(xiě)成用坐標(biāo)法表示的向量，進(jìn)行向量計(jì)算解題。例4：（2009天津卷理）如圖，在五面體

5、ABCDEF中，F(xiàn)A 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M為EC的中點(diǎn)，AF=AB=BC=FE=AD (I) 求異面直線(xiàn)BF與DE所成的角的大?。?II) 證明平面AMD平面CDE；求二面角A-CD-E的余弦值。 練習(xí)5、（2008湖北）如圖，在直三棱柱中，平面?zhèn)让?（）求證：；（）若直線(xiàn)與平面所成的角為,二面角的大小為，試判斷與的大小關(guān)系，并予以證明.二面角大小的求法的歸類(lèi)分析一、定義法：直接在二面角的棱上取一點(diǎn)（特殊點(diǎn)），分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線(xiàn)，得出平面角，用定義法時(shí)，要認(rèn)真觀察圖形的特性；例1 在四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PA平面ABCD，PA=AB=a，求

6、二面角B-PC-D的大小。二、三垂線(xiàn)法：已知二面角其中一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到一個(gè)面的垂線(xiàn)，用三垂線(xiàn)定理或逆定理作出二面角的平面角；例2 在四棱錐P-ABCD中，ABCD是平行四邊形，PA平面ABCD，PA=AB=a，ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。三、垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線(xiàn)時(shí)，過(guò)兩垂線(xiàn)作平面與兩個(gè)半平面的交線(xiàn)所成的角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直；例3 在四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PA平面ABCD，PA=AB=a，求B-PC-D的大小。四、射影法：利用面積射影公式S射S原cos,其中為平面角的大小，此方法不必在圖形中畫(huà)出平面角

7、；例4 在四棱錐P-ABCD中，ABCD為正方形，PA平面ABCD，PAABa，求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小。五、:對(duì)于一類(lèi)沒(méi)有給出棱的二面角，應(yīng)先延伸兩個(gè)半平面，使之相交出現(xiàn)棱，然后再選用上述方法（尤其要考慮射影法）。例5、在四棱錐P-ABCD中，ABCD為正方形，PA平面ABCD，PAABa，求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小。（補(bǔ)形化為定義法）二面角大小的求法答案定義法：本定義為解題提供了添輔助線(xiàn)的一種規(guī)律。如例1中從二面角SAMB中半平面ABM上的一已知點(diǎn)（B）向棱AM作垂線(xiàn)，得垂足（F）；在另一半平面ASM內(nèi)過(guò)該垂足（F）作棱AM的垂線(xiàn)（如GF），這兩條垂線(xiàn)（BF、

8、GF）便形成該二面角的一個(gè)平面角，再在該平面角內(nèi)建立一個(gè)可解三角形，然后借助直角三角函數(shù)、正弦定理與余弦定理解題。FG例1（2009全國(guó)卷理）證（I）略 解（II）：利用二面角的定義。在等邊三角形中過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則點(diǎn)為AM的中點(diǎn)，過(guò)F點(diǎn)在平面ASM內(nèi)作，GF交AS于G，連結(jié)AC，ADCADS，AS-AC，且M是SC的中點(diǎn)，AMSC， GFAM，GFAS，又為AM的中點(diǎn)，GF是AMS的中位線(xiàn)，點(diǎn)G是AS的中點(diǎn)。則即為所求二面角. ，則，又，,，是等邊三角形，, 在中，,二面角的大小為練習(xí)1（2008山東）分析：第1題容易發(fā)現(xiàn)，可通過(guò)證AEAD后推出AE平面APD，使命題獲證，而第2題，則首先必須

9、在找到最大角正切值有關(guān)的線(xiàn)段計(jì)算出各線(xiàn)段的長(zhǎng)度之后，考慮到運(yùn)用在二面角的棱AF上找到可計(jì)算二面角的平面角的頂點(diǎn)S，和兩邊SE與SC，進(jìn)而計(jì)算二面角的余弦值。（答案：二面角的余弦值為）二、三垂線(xiàn)法本定理亦提供了另一種添輔助線(xiàn)的一般規(guī)律。如（例2）過(guò)二面角B-FC-C中半平面BFC上的一已知點(diǎn)B作另一半平面FC1C的垂線(xiàn)，得垂足O；再過(guò)該垂足O作棱FC1的垂線(xiàn)，得垂足P，連結(jié)起點(diǎn)與終點(diǎn)得斜線(xiàn)段PB，便形成了三垂線(xiàn)定理的基本構(gòu)圖（斜線(xiàn)PB、垂線(xiàn)BO、射影OP）。再解直角三角形求二面角的度數(shù)。E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P 例2(2009山東卷理) 證（1）略解（2

10、）因?yàn)锳B=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中點(diǎn),所以BF=BC=CF,BCF為正三角形,取CF的中點(diǎn)O,則OBCF,又因?yàn)橹彼睦庵鵄BCD-ABCD中,CC1平面ABCD,所以CC1BO,所以O(shè)B平面CC1F,過(guò)O在平面CC1F內(nèi)作OPC1F,垂足為P,連接BP,則OPB為二面角B-FC-C的一個(gè)平面角, 在BCF為正三角形中,在RtCC1F中, OPFCC1F, 在RtOPF中,所以二面角B-FC-C的余弦值為.練習(xí)2（2008天津）分析：本題是一道典型的利用三垂線(xiàn)定理求二面角問(wèn)題，在證明AD平面PAB后，容易發(fā)現(xiàn)平面PAB平面ABCD，點(diǎn)P 就是二面角P-BD-A的半平面上的一個(gè)點(diǎn)

11、，于是可過(guò)點(diǎn)P作棱BD的垂線(xiàn)，再作平面ABCD的垂線(xiàn)，于是可形成三垂線(xiàn)定理中的斜線(xiàn)與射影內(nèi)容，從而可得本解法。（答案：二面角的大小為）ABCEDPFGH3 補(bǔ)棱法例3（2008湖南）分析：本題的平面PAD和平面PBE沒(méi)有明確的交線(xiàn)，依本法顯然要補(bǔ)充完整（延長(zhǎng)AD、BE相交于點(diǎn)F，連結(jié)PF.）再在完整圖形中的PF.上找一個(gè)適合的點(diǎn)形成二面角的平面角解之。（）證略解: （）延長(zhǎng)AD、BE相交于點(diǎn)F，連結(jié)PF.過(guò)點(diǎn)A作AHPB于H，由（）知,平面PBE平面PAB,所以AH平面PBE.在RtABF中，因?yàn)锽AF60°，所以，AF=2AB=2=AP.在等腰RtPAF中，取PF的中點(diǎn)G，連接AG

12、.則AGPF.連結(jié)HG，由三垂線(xiàn)定理的逆定理得，PFHG.所以AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（銳角）.在等腰RtPAF中， 在RtPAB中， ACBB1C1A1L所以，在RtAHG中， 故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是練習(xí)3提示：本題需要補(bǔ)棱，可過(guò)A點(diǎn)作CB的平行線(xiàn)L（答案：所成的二面角為45O）四、射影面積法（）例4（2008北京理）分析：本題要求二面角BAPC的大小，如果利用射影面積法解題，不難想到在平面ABP與平面ACP中建立一對(duì)原圖形與射影圖形并分別求出S原與S射于是得到下面解法。解：（）證略（），又，又，即，且，平面取中點(diǎn)連結(jié)，是在平面內(nèi)的射影，A

13、CBEPACE是ABE在平面ACP內(nèi)的射影，于是可求得：，則，,設(shè)二面角的大小為，則二面角的大小為練習(xí)4：分析 平面AB1E與底面A1B1C1D1交線(xiàn)即二面角的棱沒(méi)有給出，要找到二面角的平面角，則必須先作兩個(gè)平面的交線(xiàn)，這給解題帶來(lái)一定的難度?？紤]到三角形AB1E在平面A1B1C1D1上的射影是三角形A1B1C1，從而求得兩個(gè)三角形的面積即可求得二面角的大小。（答案：所求二面角的余弦值為cos=）.五、向量法例4：（2009天津卷理）現(xiàn)在我們用向量法解答：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)依題意得 （I） 所以異面直線(xiàn)與所成的角的大小為.（II）證明： ， （III） 又由題設(shè)，

14、平面的一個(gè)法向量為練習(xí)5、（2008湖北）分析：由已知條件可知：平面ABB1 A1平面BCC1 B1平面ABC于是很容易想到以B 點(diǎn)為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，并將相關(guān)線(xiàn)段寫(xiě)成用坐標(biāo)表示的向量，先求出二面角的兩個(gè)半平面的法向量，再利用兩向量夾角公式求解。（答案：，且）總之，上述五種二面角求法中，前三種方法可以說(shuō)是三種增添輔助線(xiàn)的一般規(guī)律，后兩種是兩種不同的解題技巧，考生可選擇使用。1.、AB=AD=a，, 過(guò)B作BHPC于H，連結(jié)DHDHPC故BHD為二面角B-PC-D的平面角因PB=a,BC=a,PC=a,PB·BC=SPBC=PC·BH則BH=DH又BD=, 在BHD中由

15、余弦定理，得：cosBHD, 又0BHD 則BHD=，二面角B-PC-D的大小是。2解：（三垂線(xiàn)法）如圖PA平面BD，過(guò)A作AHBC于H，連結(jié)PH，則PHBC又AHBC，故PHA是二面角P-BC-A的平面角，在RtABH中，AH=ABsinABC=aSin30°=, 在RtPHA中，tanPHA=PA/AH=，則PHA=arctan2.3解（垂面法）如圖PA平面BDBDAC BDBC過(guò)BD作平面BDHPC于HPCDH、BHBHD為二面角B-PC-D的平面角，因PB=a,BC=a,PC=a,PB·BC=SPBC=PC·BH, 則BH=DH，又BD=在BHD中由余弦定理，得：