因式分解的常用方法及練習(xí)題

1、因式分解的常用方法一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、公式法.在整式的乘、除中，我們學(xué)過若干個乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如： （1）平方差公式：(a+b)(a-b) = a2-b2 (2) 完全平方公式：(a±b)2 = a2±2ab+b2 (3) 立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) (4) 立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) （5）完全立方公式：(a±b)³a³±3a²b3ab²±b³ 下面再補(bǔ)充兩個常用的

2、公式：(6)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(7)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；三、十字相乘法.（一）二次項系數(shù)為1的二次三項式直接利用公式：進(jìn)行分解。特點：（1）二次項系數(shù)是1； （2）常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積；（3）一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和。例5、分解因式： 練習(xí)5、分解因式(1) (2) (3)練習(xí)6、分解因式(1) (2) (3)（二）二次項系數(shù)不為1的二次三項式條件：（1） （2） （3） 分解結(jié)果：=例7、分解因式：練習(xí)7、分解因式：（1） （2） （3） （4）（三）二次項系數(shù)為1的齊次多項式例8、

3、分解因式：分析：將看成常數(shù)，把原多項式看成關(guān)于的二次三項式，利用十字相乘法進(jìn)行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：= =練習(xí)8、分解因式(1)(2)(3)（四）二次項系數(shù)不為1的齊次多項式例9、 例10、 1 -2y 把看作一個整體 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=練習(xí)9、分解因式：（1） （2）綜合練習(xí)10、（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8） （9） （10）四、分組分解法.（一）分組后能直接提公因式例1、分解因式：分析：從“整體”看，這個多項式的各項既沒有

4、公因式可提，也不能運(yùn)用公式分解，但從“局部”看，這個多項式前兩項都含有a，后兩項都含有b，因此可以考慮將前兩項分為一組，后兩項分為一組先分解，然后再考慮兩組之間的聯(lián)系。解：原式= = 每組之間還有公因式！ = 例2、分解因式：解法一：第一、二項為一組； 解法二：第一、四項為一組；第三、四項為一組。 第二、三項為一組。解：原式= 原式= = = = =練習(xí)：分解因式1、 2、（二）分組后能直接運(yùn)用公式例3、分解因式：分析：若將第一、三項分為一組，第二、四項分為一組，雖然可以提公因式，但提完后就能繼續(xù)分解，所以只能另外分組。 例4、分解因式： 解：原式= 解：原式= = = = =練習(xí)：分解因式3

5、、 4、綜合練習(xí)：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）五、換元法。例13、分解因式（1） （2）解：（1）設(shè)2005=，則原式= = =（2）型如的多項式，分解因式時可以把四個因式兩兩分組相乘。 原式=設(shè)，則原式= =練習(xí)13、分解因式（1） （2） 六、添項、拆項、配方法。例15、分解因式（1） 解法1拆項。 解法2添項。原式= 原式= = = = = = =練習(xí)15、分解因式（1） （2） （3）第二部分：習(xí)題大全經(jīng)典一：一、填空題1. 把一個多項式化成幾個整式的_的形式，叫做把這個多項式分解因式。2分解因式： m3-4m= .3.分解因式： x2-4y

6、2= _ _.4、分解因式：=_ _。5.將xn-yn分解因式的結(jié)果為(x2+y2)(x+y)(x-y)，則n的值為 . 6、若，則=_，=_。二、選擇題7、多項式的公因式是( )A、 B、 C、 D、8、下列各式從左到右的變形中，是因式分解的是( )A、 B、C、 D、10.下列多項式能分解因式的是（ ）(A)x2-y (B)x2+1 (C)x2+y+y2 (D)x2-4x+411把（xy）2（yx）分解因式為（ ）A（xy）（xy1） B（yx）（xy1）C（yx）（yx1） D（yx）（yx1）12下列各個分解因式中正確的是（ ）A10ab2c6ac22ac2ac（5b23c）B（ab）

7、2（ba）2（ab）2（ab1）Cx（bca）y（abc）abc（bca）（xy1）D（a2b）（3ab）5（2ba）2（a2b）（11b2a）13.若k-12xy+9x2是一個完全平方式，那么k應(yīng)為（ ）A.2 B.4 C.2y2 D.4y2三、把下列各式分解因式： 14、 15、16、 17、 18、 19、； 五、解答題20、如圖，在一塊邊長=6.67cm的正方形紙片中，挖去一個邊長=3.33cm的正方形。求紙片剩余部分的面積。dD21、如圖，某環(huán)保工程需要一種空心混凝土管道，它的規(guī)格是內(nèi)徑，外徑長。利用分解因式計算澆制一節(jié)這樣的管道需要多少立方米的混凝土？(取3.14，結(jié)果保留2位有效

8、數(shù)字)22、觀察下列等式的規(guī)律，并根據(jù)這種規(guī)律寫出第(5)個等式。1.分解因式(1+y)²-2x²(1+y²)+x4(1-y)²2.證明：對于任何數(shù)x,y，下式的值都不會為33x5+3x4y-5x3y2+4xy4+12y5因式分解小結(jié) 因式分解的一般步驟是： （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“變”的步驟。即首先看有無公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前兩個步驟都不能實施，可用分組分解法，分組的目的是使得分組后有公因式可提或可利用公式法繼續(xù)分解； （2）若上述方法都行不通，可以嘗試用配方法、換元法、待定系數(shù)法、試除法、拆項（添項）等方

9、法； 1. 通過基本思路達(dá)到分解多項式的目的 例1. 分解因式 分析：這是一個六項式，很顯然要先進(jìn)行分組，此題可把分別看成一組，此時六項式變成二項式，提取公因式后，再進(jìn)一步分解；也可把，分別看成一組，此時的六項式變成三項式，提取公因式后再進(jìn)行分解。 解一：原式 解二：原式= 2. 通過變形達(dá)到分解的目的 例1. 分解因式 解一：將拆成，則有 解二：將常數(shù)拆成，則有 3. 在證明題中的應(yīng)用 例：求證：多項式的值一定是非負(fù)數(shù) 分析：現(xiàn)階段我們學(xué)習(xí)了兩個非負(fù)數(shù)，它們是完全平方數(shù)、絕對值。本題要證明這個多項式是非負(fù)數(shù)，需要變形成完全平方數(shù)。 證明： 設(shè)，則 4. 因式分解中的轉(zhuǎn)化思想 例：分解因式：

10、分析：本題若直接用公式法分解，過程很復(fù)雜，觀察a+b，b+c與a+2b+c的關(guān)系，努力尋找一種代換的方法。 解：設(shè)a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B 說明：在分解因式時，靈活運(yùn)用公式，對原式進(jìn)行“代換”是很重要的。中考點撥1、在中，三邊a,b,c滿足 求證： 2、 若x為任意整數(shù)，求證：的值不大于100。 3、 將 試卷（因式分解）一、填空：（30分）1、若是完全平方式，則的值等于_。2、則=_=_3、與的公因式是4、若=，則m=_，n=_。5、在多項式中，可以用平方差公式分解因式的有_ ，其結(jié)果是 _。6、若是完全平方式，則m=_。7、8、已知則9、若是完全平方式M=_。10、，

11、11、若是完全平方式，則k=_。14、若則_。12、若的值為0，則的值是_。13、若則=_。15、方程，的解是_。二、選擇題：（10分）1、多項式的公因式是（ ）A、a、 B、 C、 D、2、若，則m，k的值分別是（ ）A、m=2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=4，k=12、D m=4，k=12、3、下列名式：中能用平方差公式分解因式的有（ ）A、1個，B、2個，C、3個，D、4個4、計算的值是（ ） A、 B、三、分解因式：（30分）1 、 2 、 3 、 4 、 5、 6、 7、 8、 四、代數(shù)式求值（15分）1、 已知，求 的值。2、 若x、y互為相反數(shù)，且，求x、y的值3、 已知，求的值五、計算： （15）（1） 0.75 （ 2） （3）六、試說明：（8分）1、對于任意自然數(shù)n，都能被動24整除。2、兩個連續(xù)奇數(shù)的積加上其中較大的數(shù)，所得的數(shù)就是夾在這兩個連續(xù)奇數(shù)之間的偶數(shù)與較大奇數(shù)的積。七、利用分解因式計算（8分）1、一種光盤的外D=11.9厘米，內(nèi)徑的d=3.7厘米，求光盤的面積。（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）2、正方