應(yīng)變花計(jì)算公式

1、1. 概述（1）平面應(yīng)變狀態(tài)：即受力構(gòu)件表面一點(diǎn)處的應(yīng)變情況。（2）測(cè)試原理：一般最大應(yīng)變往往發(fā)生在受力構(gòu)件的表面。通常用應(yīng)變儀測(cè)出受力構(gòu)件表面一點(diǎn)處三個(gè)方向的線應(yīng)變值，然后確定該點(diǎn)處的最大線應(yīng)變和最小應(yīng)變及其方程。2. 公式推導(dǎo)： （1）選定坐標(biāo)系為xoy，如圖示（2）設(shè)0點(diǎn)處， 為已知。 規(guī)定伸長(zhǎng)為正，切應(yīng)變 以xoy直角增大為正。（3）求任意方向， 方向（ 規(guī)定逆時(shí)針方向?yàn)檎┑木€應(yīng)變 和切應(yīng)變 （即 直角的改變量）。（4）疊加法：求 方向的線應(yīng)變 和切應(yīng)變 由于 而引起ds的長(zhǎng)度改變 , 方向（即 方向）的線應(yīng)變求 的切應(yīng)變 即 方向的直角改 坐標(biāo)軸偏轉(zhuǎn)的角度以 代替式（c）中的，求得

2、 坐標(biāo)軸偏轉(zhuǎn)角度：3. 結(jié)論（1）已知 可求得任意方向 的 （2）已知 ,求得 （3）主應(yīng)變和主應(yīng)變方向比較上述公式，可見故:4. 應(yīng)變圓5. 應(yīng)變的實(shí)際測(cè)量用解析法或圖解法求一點(diǎn)處的主應(yīng)變時(shí)，首先必須已知 ，然而用應(yīng)變儀直接測(cè)量時(shí)， 可以測(cè)試，但 不易測(cè)量。所以，一般是先測(cè)出任選三個(gè)方向 的線應(yīng)變 。然后利用一般公式，將 代入得出：聯(lián)解三式，求出,于是再求出主應(yīng)變的方向與數(shù)值由 式求出 ，當(dāng) 時(shí) 與二、四相限的角度相對(duì)應(yīng)。6. 直角應(yīng)變花（45°應(yīng)變花）測(cè)量為了簡(jiǎn)化計(jì)算，三個(gè)應(yīng)變選定三個(gè)特殊方向測(cè)得： ，代入 一般公式求得：故討論：若 與二、四相限的角度相對(duì)應(yīng)。見P257、7.21

3、題6. 等角應(yīng)變花測(cè)量 一般公式：測(cè)定值： 代入式（a）得：主應(yīng)變方向:故:于是由主應(yīng)變公式：  ,穿過(guò)二,四相限.見P258，7.22題Example 1. 用直角應(yīng)變花測(cè)得一點(diǎn)的三個(gè)方向的線應(yīng)變Find：主應(yīng)變及其方向Solution：故 過(guò)二、四相限。Example2. 若已測(cè)得等角應(yīng)變花三個(gè)方向的線                    試求主應(yīng)變及其方向 Solution：即: 

4、0;                                                   &#

5、160;          應(yīng)力測(cè)量 (measurement of stress)測(cè)量物體由于外因或內(nèi)在缺陷而變形時(shí)，在它內(nèi)部任一單位截面積上內(nèi)外兩方的相互作用力。應(yīng)力是不能直接測(cè)量的，只能是先測(cè)出應(yīng)變，然后按應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系式計(jì)算出應(yīng)力。若主應(yīng)力方向已知，只要沿著主應(yīng)力方向測(cè)出主應(yīng)變，就可算出主應(yīng)力。各種受力情況下的應(yīng)變值的測(cè)量方法見表1。軸向拉伸(或壓縮)時(shí)，沿軸向力方向粘貼應(yīng)變片(表l之14)，測(cè)出應(yīng)變，按單向虎克定律算出測(cè)點(diǎn)的拉(壓)應(yīng)力=E。式中為應(yīng)變，E為彈性模量。彎曲時(shí)在受彎件的

6、上下表面上粘貼應(yīng)變片(見表1之56)，測(cè)出應(yīng)變e，可計(jì)算彎曲應(yīng)力。扭轉(zhuǎn)時(shí)沿與圓軸母線成±45。 角的方向貼片(表1之79)，測(cè)出主應(yīng)變em，再代入虎克定律公式算出主應(yīng)力45o ，即得最大剪應(yīng)力rmax ：式中為泊松比。拉(壓)、彎曲、扭轉(zhuǎn)，其中兩種或三種力的聯(lián)合作用下，不同測(cè)量要求的應(yīng)變值測(cè)量方法分別見表1的1014。主應(yīng)力方向未知時(shí)的應(yīng)力測(cè)量如圖1所示。在該測(cè)點(diǎn)沿與某坐標(biāo)軸X夾角分別為1 、2 和3 的3個(gè)方向，各粘貼一枚應(yīng)變片，分別測(cè)出3個(gè)方向的應(yīng)變12 和3 根據(jù)下式可解出x ，y

7、0;和z 再代入下式求出主應(yīng)變1 、2 和主方向與x軸夾角a：最后，再根據(jù)廣義虎克定律公式求出主應(yīng)力1 、2 和Tmax 。實(shí)際上為了簡(jiǎn)化計(jì)算，3枚應(yīng)變片與z軸的夾角a1 、a2 和a3 總是選取特殊角，如0o 、45o 、60o 、90o 和120o 并將3枚應(yīng)變片的敏感柵制在同一基底上，形成應(yīng)變花。常用的應(yīng)變花有直角應(yīng)變花(00一45。一90。)和等角應(yīng)變花(O。 一60。 一120o )。不同形式的應(yīng)變花的計(jì)算公式見表2

8、。用應(yīng)變片測(cè)量的應(yīng)變值一般是很小的，因而電阻值的變化同樣是很小的。為此，有必要把應(yīng)變計(jì)連接到一定的測(cè)量系統(tǒng)中，以精確測(cè)定應(yīng)變片電阻值的變化。用應(yīng)變片測(cè)量應(yīng)變的測(cè)量系統(tǒng)框圖見圖2。電阻應(yīng)變測(cè)量法是實(shí)驗(yàn)應(yīng)力分析中應(yīng)用最廣的一種方法。電阻應(yīng)變測(cè)量方法測(cè)出的是構(gòu)件上某一點(diǎn)處的應(yīng)變，還需通過(guò)換算才能得到應(yīng)力。根據(jù)不同的應(yīng)力狀態(tài)確定應(yīng)變片貼片方位，有不同的換算公式。  單向應(yīng)力狀態(tài) 在桿件受到拉伸(或壓縮)情況下，如圖8-31所示。此時(shí)只有一個(gè)主應(yīng)力s1，它的方向是平行于外加載荷F的方向，所以這個(gè)主應(yīng)力s1的方向是已知的，該方向的應(yīng)變?yōu)閑l。而垂直于主應(yīng)力s1方向上的應(yīng)力雖然為零，但該方向的應(yīng)變

9、e20，而是e2=-el。由此可知:在單向應(yīng)力狀態(tài)下，只要知道應(yīng)力s1的方向，雖然s1的大小是未知的，可在沿主應(yīng)力s1的方向上貼一個(gè)應(yīng)變片，通過(guò)測(cè)得el，就可利用s1=Ee1公式求得s1。  主應(yīng)力方向巳知平面應(yīng)力狀態(tài)  平面應(yīng)力是指構(gòu)件內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)在兩個(gè)互相垂直的方向上受到拉伸(或壓縮)作用而產(chǎn)生的應(yīng)力狀態(tài)，如圖8-31所示。圖中單元體受已知方向的平面應(yīng)力s1和s2作用，在X和Y方向的應(yīng)變分別為s1作用：X方向的應(yīng)變el為s1/EY方向的應(yīng)變e2為-s1/Es2作用：Y方向的應(yīng)變e2為e2/EX方向的應(yīng)變el為-e2/E由此可得X方向的應(yīng)變和Y方向的應(yīng)變分別為 &

10、#160;                                      （8-72）上式變換形式后可得          &#

11、160;                                             （8-73）由此可知：在平面應(yīng)力狀態(tài)下，若已知主應(yīng)力s1或s2的方向(s

12、1與s2相互垂直)，則只要沿s1和s2方向各貼一片應(yīng)變片，測(cè)得l和2后代入式（8-73），即可求得s1和s2值。  主應(yīng)力方向未知平面應(yīng)力狀態(tài) 當(dāng)平面應(yīng)力的主應(yīng)力s1和2的大小及方向都未知時(shí)，需對(duì)一個(gè)測(cè)點(diǎn)貼三個(gè)不同方向的應(yīng)變片，測(cè)出三個(gè)方向的應(yīng)變，才能確定主應(yīng)力s1和s2及主方向角q三個(gè)未知量。圖8-33表示邊長(zhǎng)為x和y、對(duì)角線長(zhǎng)為l的矩形單元體。設(shè)在平面應(yīng)力狀態(tài)下，與主應(yīng)力方向成q角的任一方向的應(yīng)變?yōu)?，即圖中對(duì)角線長(zhǎng)度l的相對(duì)變化量。由于主應(yīng)力sx、sy的作用，該單元體在X、Y方向的伸長(zhǎng)量為x、y，如圖8-33(a)、(b)所示，該方向的應(yīng)變?yōu)閑x=x/x、ey=y/y；在切應(yīng)力x

13、y作用下，使原直角XOY減小gxy，如圖8-33(c)所示，即切應(yīng)變gxy=x/y。這三個(gè)變形引起單元體對(duì)角線長(zhǎng)度l的變化分別為xcosq、ysinq、ygxy cosq，其應(yīng)變分別為excos2q、eysin2q、gxysinqcosq。當(dāng)ex、ey、gxy同時(shí)發(fā)生時(shí)，則對(duì)角線的總應(yīng)變?yōu)樯鲜鋈咧?，可表示?#160;                        

14、;      （8-74）利用半角公式變換后，上式可寫成                                      （8-75）由式 (8-75)可知e與ex、ey、gxy之間的關(guān)系。

15、因ex、ey、gxy未知，實(shí)際測(cè)量時(shí)可任選與X軸成q1、q2、q3三個(gè)角的方向各貼一個(gè)應(yīng)變片，測(cè)得e1、e2、e3連同三個(gè)角度代入式(8-75)中可得                             （8-76）由式(8-76)聯(lián)立方程就可解出ex、ey、gxy。再由ex、ey、gxy可求出主應(yīng)變e1、e2和主方向與X軸

16、的夾角q，即                                             （8-77）將上式中主應(yīng)變e1和e2代入式(8-73)中，即可求得主

17、應(yīng)力。在實(shí)際測(cè)量中，為簡(jiǎn)化計(jì)算，三個(gè)應(yīng)變片與X軸的夾角q1、q2、q3總是選取特殊角，如0°、45°和90°或0°、60°和120°角，并將三個(gè)應(yīng)變片的絲柵制在同一基底上，形成所謂應(yīng)變花。圖8-34所示是絲式應(yīng)變花。設(shè)應(yīng)變花與X軸夾角為q1=0°，q2=45°、q3=90°，將此q1、q2、q3值分別代人式(8-76)得               

18、0;                           （8-78）由式(8-78)可得                      

19、60;                                    （8-79）將式(8-79)代入式(8-77)可得主應(yīng)變e1、e2和主應(yīng)變方向角q的計(jì)算式為       

20、60;                      （8-80）                                       &#