向量的基本概念與基本運(yùn)算

1、一、向量的基本概念與基本運(yùn)算1向量的概念：向量：既有大小又有方向的量向量一般用來表示，或用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)的大寫字母表示，如：幾何表示法 ，；坐標(biāo)表示法 向量的大小即向量的模（長(zhǎng)度），記作|即向量的大小，記作 向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行零向量0 由于的方向是任意的，且規(guī)定平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行（共線）的問題中務(wù)必看清楚是否有“非零向量”這個(gè)條件（注意與0的區(qū)別）單位向量：模為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量向量為單位向量1平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量任意一組平行向量都可以移到同一直線上方向相同或相反的向

2、量，稱為平行向量記作由于向量可以進(jìn)行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個(gè)要素，起點(diǎn)可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為大小相等，方向相同2向量加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法設(shè)，則+=（1）；（2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律；向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”：（1）用平行四邊形法則時(shí)，兩個(gè)已知向量是要共始點(diǎn)的，和向量是始點(diǎn)與

3、已知向量的始點(diǎn)重合的那條對(duì)角線，而差向量是另一條對(duì)角線，方向是從減向量指向被減向量（2） 三角形法則的特點(diǎn)是“首尾相接”，由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)當(dāng)兩個(gè)向量的起點(diǎn)公共時(shí)，用平行四邊形法則；當(dāng)兩向量是首尾連接時(shí)，用三角形法則向量加法的三角形法則可推廣至多個(gè)向量相加：，但這時(shí)必須“首尾相連”3向量的減法 相反向量：與長(zhǎng)度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量記作,零向量的相反向量仍是零向量關(guān)于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互為相反向量，則=,=,+=向量減法：向量加上的相反向

4、量叫做與的差，記作：求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法作圖法：可以表示為從的終點(diǎn)指向的終點(diǎn)的向量（、有共同起點(diǎn)）4實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：（）；（）當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，方向是任意的數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律5兩個(gè)向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得=6平面向量的基本定理：如果是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使：，其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底7 特別注意:（1）向量的加法與減法是互逆運(yùn)算（2）相等向量與平行向量有區(qū)別，向

5、量平行是向量相等的必要條件（3）向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況（4）向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線條的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無關(guān)，只與其相對(duì)位置有關(guān)學(xué)習(xí)本章主要樹立數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的觀點(diǎn)，以數(shù)代形，以形觀數(shù)，用代數(shù)的運(yùn)算處理幾何問題，特別是處理向量的相關(guān)位置關(guān)系，正確運(yùn)用共線向量和平面向量的基本定理，計(jì)算向量的模、兩點(diǎn)的距離、向量的夾角，判斷兩向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往會(huì)與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解幾等結(jié)合起來進(jìn)行綜合考查，是知識(shí)的交匯點(diǎn)平面向量的概念、加減數(shù)乘【例1】 判斷下列命題是否正確，并說明理由：（1）共線向量一定

6、在同一條直線上（）（2）所有的單位向量都相等（）（3）向量共線，共線，則共線（）（4）向量共線，則（）（5）向量，則（）（6）平行四邊形兩對(duì)邊所在的向量一定是相等向量（）【例2】 （2009海淀期末）如圖，在正方形中，下列描述中正確的是（ ）A BC D【例3】 化簡(jiǎn)【例4】 化簡(jiǎn)下列各式：（1） ；（2） 【例5】 若，其中，是已知向量，求，例六、a(bc)(ac)b；0；下列等式不正確的是()A B C D鞏固練習(xí)1、 下列等式不成立的是()Aa0a Babba C2 D2、 已知四邊形ABCD是一菱形，則下列等式中成立的是()A B C D3、 若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則|_4、 化簡(jiǎn)

7、下列各向量：(1)_(2)_(3)_5、 設(shè)在平面內(nèi)給定一個(gè)四邊形ABCD，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，求證：6、 已知O是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊的中點(diǎn)，且20，那么()A B2 C3 D27、 已知向量ab，且|a|b|0，則向量ab的方向()A與向量a方向相同 B與向量a方向相反 C與向量b方向相同 D與向量b方向相反8、 在平行四邊形ABCD中，若|，則四邊形ABCD是_(圖形)9、 已知|1，且AOB60，則|_10、如圖所示，在正八邊形ABCDEFGH中，a，b，c，d，e，（1）試用已知向量表示；（2）試用已知向量表示11、如圖，在重300 N的物體

8、上拴兩根繩子，這兩根繩子在鉛垂線的兩側(cè)，與鉛垂線的夾角分別為30、60，當(dāng)整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)，求兩根繩子的拉力1、 在四邊形ABCD中，設(shè)Aa，b，c，則()Aabc Bb(ac) Cabc Dbac2、 已知向量a、b滿足|a|1，|b|2，|ab|2，則|ab|等于()A1 B C D3、 當(dāng)a，b滿足下列何種條件時(shí)，等式|ab|a|b|成立()Aa與b同向 Ba與b反向 Ca與b同向且|a|b| Da與b反向且|a|b|4、 化簡(jiǎn)下列各式：；結(jié)果為零向量的個(gè)數(shù)是_5、 如圖，在梯形ABCD中，ADBC，AC與BD交于O點(diǎn)，則_6、 如圖，已知a，b，c，d，e，試用a，b，c，d，e

9、，f表示以下向量：（1）；（2）；（3）7、 下列四式中不能化簡(jiǎn)為的是()A() B()() C D8、 在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中，|的值為()A1 B2 C D9、 設(shè)點(diǎn)O是三角形ABC所在平面上一點(diǎn)，若|，則點(diǎn)O是三角形ABC的_心10、如圖，已知O為平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，a，b，c，則_11.如圖所示，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)等于1，a，b，c，試作出下列向量，并分別求出其長(zhǎng)度：（1）abc；（2）abc12.已知|a|8，|b|15（1）求|ab|的取值范圍（2）若|ab|17，則表示a，b的有向線段所在的直線所成的角是多少？13.下列說法正確的是()A2a與a不能相等 B|2

10、a|a| C2aa D|2a|114.化簡(jiǎn)4(ab)3(ab)b()Aa2b Ba Ca6b Da8b15.設(shè)a、b為不共線的非零向量，2a3b，8a2b，6a4b ，那么()A與同向，且| B與同向，且| D16.若|a|3，向量b與a反向，且|b|2，則a_b17.已知，則_18已知平行四邊形ABCD中，a，b，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，用a，b表示，19.已知點(diǎn)C在線段AB上，且，則等于()A B C D20.已知向量a，b，若a2b，5a6b，7a2b，則一定共線的三點(diǎn)是()AA、B、D BA、B、C CB、C、D DA、C、D21.已知a0，R，下列敘述正確的序號(hào)是_aa；a與a方向

11、相同；是單位向量；若|a|a|，則122.若2(bc3x)b0，其中a，b，c為已知向量，則未知向量x_23.已知e1，e2是兩個(gè)非零不共線的向量，a2e1e2，bke1e2，若a與b是共線向量，求實(shí)數(shù)k的值24.在ABC中，已知，設(shè)a，b求證：(ba)二、 平面向量的坐標(biāo)表示1平面向量的坐標(biāo)表示：在直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量可表示成，由于與數(shù)對(duì)(x,y)是一一對(duì)應(yīng)的，因此把(x,y)叫做向量的坐標(biāo)，記作=(x,y)，其中x叫作在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)(1)相等的向量坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等的向量(

12、2)向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無關(guān)，只與其相對(duì)位置有關(guān)2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：(1) 若，則(2) 若，則(3) 若=(x,y)，則=(x, y)(4) 若，則(5) 若，則若，則3 向量的運(yùn)算向量的加減法，數(shù)與向量的乘積，向量的數(shù)量（內(nèi)積）及其各運(yùn)算的坐標(biāo)表示和性質(zhì) 運(yùn)算類型幾何方法坐標(biāo)方法運(yùn)算性質(zhì)向量的加法1平行四邊形法則2三角形法則向量的減法三角形法則向量的乘法是一個(gè)向量,滿足:0時(shí),與同向;0時(shí),與異向;=0時(shí), =向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)或時(shí),=0且時(shí),向量的坐標(biāo)運(yùn)算1.已知A(3,1)，B(2，1)，則的坐標(biāo)是()A(2，1) B(2,1) C(1,2) D(

13、1，2)2.若a(2,1)，b(1,0)，則3a2b的坐標(biāo)是()A(5,3) B(4,3) C(8,3) D(0，1)3.已知向量a(2,3)，b(2，3)，則下列結(jié)論正確的是()A向量a的終點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3) B向量a的起點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3)C向量a與b互為相反向量 D向量a與b關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱4.已知(2，1)，(4,1)則_5.已知a(1,1)且axiyj，則x_，y_6.已知A(2,0)，a(x3，x3y5)，O為原點(diǎn)，若a，求x，y的值7.給出下面幾種說法：相等向量的坐標(biāo)相同；平面上一個(gè)向量對(duì)應(yīng)于平面上唯一的坐標(biāo)；一個(gè)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)于唯一的一個(gè)向量；平面上一個(gè)點(diǎn)與以原點(diǎn)為始點(diǎn)，該點(diǎn)為終點(diǎn)的向量一

14、一對(duì)應(yīng)其中正確說法的個(gè)數(shù)是()A1 B2 C3 D48.已知向量(3，2)，(5，1)，則向量的坐標(biāo)是()A B C(8,1) D(8,1)9.已知M(3，2)，N(5，1)，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為_10.設(shè)m(a，b)，n(c，d)，規(guī)定兩向量之間的一個(gè)運(yùn)算為mn(acbd，adbc)，若已知p(1,2)，pq(4，3)，則q_11.如圖，已知四邊形ABCD為平行四邊形，O為對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，(3,7)，(2,1)求的坐標(biāo)12.已知點(diǎn)O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及t，求：（1）t為何值時(shí)，點(diǎn)P在x軸上？在y軸上？在第二象限？（2）四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t

15、值？若不能，請(qǐng)說明理由三平面向量的數(shù)量積1兩個(gè)向量的數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，則=cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積） 規(guī)定2向量的投影：cos=R，稱為向量在方向上的投影投影的絕對(duì)值稱為射影3數(shù)量積的幾何意義： 等于的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積4向量的模與平方的關(guān)系：5乘法公式成立： ；6平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律：交換律成立：對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：分配律成立：特別注意：（1）結(jié)合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=7兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：已知兩個(gè)向量，則=8向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量與，作=, =,則AOB= （）叫做向量與的夾角cos=當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非

16、零向量與同方向時(shí)，=00，當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時(shí)=1800，同時(shí)與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題9垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作10兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：O鞏固練習(xí)例1 給出下列命題： 若|，則=； 若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件； 若=，=，則=，=的充要條件是|=|且/； 若/，/，則/，其中正確的序號(hào)是 例2 設(shè)A、B、C、D、O是平面上的任意五點(diǎn)，試化簡(jiǎn)：， 例3設(shè)非零向量、不共線，=k+，=+k (kR)，若，試求k例4 已知向量，且，求實(shí)數(shù)的值例5已知點(diǎn),試用向量方法求直線和（為坐標(biāo)原點(diǎn)）交點(diǎn)的坐標(biāo)例6已知兩單位向量與的

17、夾角為，若，試求與的夾角例7 已知，按下列條件求實(shí)數(shù)的值（1）；（2）；例8已知，且與夾角為120求； ； 與的夾角。例9已知向量=，= 。求與； 當(dāng)為何值時(shí)，向量與垂直？ 當(dāng)為何值時(shí)，向量與平行？并確定此時(shí)它們是同向還是反向？例10已知=，= ，=，設(shè)是直線上一點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)求使取最小值時(shí)的； 對(duì)（1）中的點(diǎn)，求的余弦值。例11在中，為中線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若 求：的最小值。向量的數(shù)量積1.若ab0)(1)a與b能垂直嗎？(2)若a與b夾角為60，求k的值13.已知a(1，1)，b(2,3)，則ab()A5 B4 C2 D114.已知向量a(2,1)，b(1，x)，ab，則x()A1 B1 C2 D215.已知a(3，1)，b(1，2)，則a與b的夾角為()A B C D16.已知A(3,2)，B(0，2)，則|_17.在ABC中，C90，(k,1)，(2,3)，則k的值為_18.已知a(1，1)，b(，1)，若a與b的夾角為鈍角，求的取值范圍19.若a(2,3)，b(4,7)，則a在b方向上的投影