平面向量 習(xí)題

1、平面向量一、向量的有關(guān)概念1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用來表示向量的有向線段的長度).2.向量的表示方法:字母表示法:如等.幾何表示法:用一條有向線段表示向量.如,等.坐標(biāo)表示法:在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)向量的起點(diǎn)O為在坐標(biāo)原點(diǎn),終點(diǎn)A坐標(biāo)為,則稱為 的坐標(biāo),記為=.3.相等向量:長度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.兩向量與相等,記為.注:向量不能比較大小,因為方向沒有大小.4.零向量:長度為零的向量叫零向量.零向量只有一個,其方向是任意的.5.單位向量:長度等于1個單位的向量.單位向量有無數(shù)個,每一個方向都有一個單位向量.6.

2、共線向量:方向相同或相反的非零向量,叫共線向量.任一組共線向量都可以移到同一直線上.規(guī)定:與任一向量共線.注:共線向量又稱為平行向量.7.相反向量: 長度相等且方向相反的向量.二、向量的運(yùn)算(一)運(yùn)算定義向量的加減法，實數(shù)與向量的乘積，兩個向量的數(shù)量積,這些運(yùn)算的定義都是 “自然的”，它們都有明顯的物理學(xué)的意義及幾何意義. 其中向量的加減法運(yùn)算結(jié)果仍是向量，兩個向量數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果是數(shù)量。研究這些運(yùn)算,發(fā)現(xiàn)它們有很好地運(yùn)算性質(zhì),這些運(yùn)算性質(zhì)為我們用向量研究問題奠定了基礎(chǔ),向量確實是一個好工具.特別是向量可以用坐標(biāo)表示,且可以用坐標(biāo)來運(yùn)算,向量運(yùn)算問題可以完全坐標(biāo)化. 刻劃每一種運(yùn)算都可以有三種表

3、現(xiàn)形式：圖形、符號、坐標(biāo)語言。主要內(nèi)容列表如下：運(yùn) 算圖形語言符號語言坐標(biāo)語言加法與減法+=記=(x1,y1),=(x1,y2)則=(x1+x2,y1+y2)=（x2-x1,y2-y1）+=實數(shù)與向量的乘積=R記=(x,y)則=(x,y)兩個向量的數(shù)量積記則·=x1x2+y1y2(二)運(yùn)算律加法：(交換律); (結(jié)合律)實數(shù)與向量的乘積：; ;兩個向量的數(shù)量積: ·=· ()·=·()=(·);(+)·=·+·注：根據(jù)向量運(yùn)算律可知，兩個向量之間的線性運(yùn)算滿足實數(shù)多項式乘積的運(yùn)算法則，正確遷移實數(shù)的運(yùn)算性

4、質(zhì)可以簡化向量的運(yùn)算，例如(±)2=(三)運(yùn)算性質(zhì)及重要結(jié)論（1）平面向量基本定理:如果是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量,那么對于這個平面內(nèi)任一向量,有且只有一對實數(shù),使，稱為的線性組合。其中叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底;平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線向量的方向分解為兩個向量的和,并且這種分解是唯一的.這說明如果且,那么.當(dāng)基底是兩個互相垂直的單位向量時,就建立了平面直角坐標(biāo)系,因此平面向量基本定理實際上是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ).向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系：當(dāng)向量起點(diǎn)在原點(diǎn)時，定義向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)，即若A(x，y)，則=（x,y）；當(dāng)向量起點(diǎn)不在原點(diǎn)時，向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)

5、，即若A（x1,y1），B（x2,y2），則=(x2-x1,y2-y1)（2）兩個向量平行的充要條件符號語言：坐標(biāo)語言為：設(shè)非零向量,則(x1,y1)=(x2,y2)，即,或x1y2-x2y1=0, 在這里,實數(shù)是唯一存在的,當(dāng)與同向時,>0；當(dāng)與異向時,<0。|=,的大小由及的大小確定。因此,當(dāng),確定時，的符號與大小就確定了.這就是實數(shù)乘向量中的幾何意義。（3）兩個向量數(shù)量積的重要性質(zhì)： 即 (求線段的長度); (求角度)。以上結(jié)論可以(從向量角度)有效地分析有關(guān)垂直、長度、角度等問題,由此可以看到向量知識的重要價值.注:兩向量,的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果是一個數(shù)(其中),這個數(shù)的大小與兩

6、個向量的長度及其夾角的余弦有關(guān). 叫做向量在方向上的投影（如圖）.數(shù)量積的幾何意義是數(shù)量積等于的模與在方向上的投影的積.如果,則=, B AC O F D E圖1典型例題一、平面向量的實際背景與基本概念例題1.如圖1，設(shè)O是正六邊形的中心，分別寫出圖中與、相等的向量。二、平面向量的線性運(yùn)算例題2. D CA B如圖，在平行四邊形ABCD中，a ，b ，你能用a，b表示向量 ，嗎？變式1：如圖，在五邊形ABCDE中，a ，b ，c ，d ， D E C A B試用a ，b ， c ， d表示向量和. D C OA B變式2：如圖，在平行四邊形ABCD中，若，a ，b則下列各表述是正確的為（ ）A

7、 B Ca + b D(a + b)變式3：已知=a，=b, =c,=d, 且四邊形ABCD為平行四邊形，則（ ）A. a+b+c+d=0 B. ab+cd=0C. a+bcd=0 D. abc+d=0變式4：在四邊形ABCD中，若，則此四邊形是()A平行四邊形B菱形C梯形 D矩形例題3 ba如圖，已知任意兩個非零向量a 、b ，試作a + b，a + 2b，a + 3b，你能判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系嗎？為什么？變式1：已知a + 2b，2a + 4b，3a + 6b (其中a 、b是兩個任意非零向量) ，證明：A、B、C三點(diǎn)共線證明：a + 2b，2a + 4b， 所以，A、B、C三

8、點(diǎn)共線例題4.已知四邊形ABCD，點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，求證：變式1：已知任意四邊形ABCD的邊AD和BC的中點(diǎn)分別為E、F， D C E FA B求證：.三、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示例題5.已知a = (4，2)，b = (6，y)，且a / b ，求 y 變式1：與向量a = (12，5) 平行的單位向量為（ ）A BC 或 D 或變式2：已知a，b，當(dāng)a+2b與2ab共線時，值為 （ ）A1 B2 C D四、平面向量的數(shù)量積例題6.已知|a|6，|b| 4且a與b的夾角為，求 (a + 2b)·(ab) 變式1：已知向量a和b的夾角為60

9、76;，| a | 3，| b | 4，則（2a b）·a等于 （A）15 （B）12 （C）6 （D）3變式2：在ABC中，已知|=4，|=1，SABC=，則·等于（ ）A.2B.2C.±2D.±4例題7.已知A (1，2)，B (2，3)，C (，5)，試判斷的形狀，并給出證明綜合練習(xí)：一、選擇題（每小題3分，共36分）1、下列物理量不是向量的是 ( )A速度 B質(zhì)量 C加速度 D位移2、將向量，的起點(diǎn)放在一起，則從的終點(diǎn)到的終點(diǎn)的向量是 ( )A + B C D 3、已知A( 3 , 4 ) , B ( 5 , 7 ) , 則 ( )A（8，3）

10、B（ 8 ，3 ） C（8，3 ） D（ 8，3）4、已知P(1,2),Q(5, 4),則線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為 ( )A（3，3） B（3，3） C（2，1） D（2，1）5、化簡 ( )A B C D6、已知 則 ( )A30 B20 C15 D107、已知 ( )A13 B7 C7 D118、與向量（3,5）垂直的向量是 ( )A（3，5） B（3，5） C（3，5） D（3，5）9、在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)A(-1,-2),B(3,-1),C(3,1),則點(diǎn)D坐標(biāo)為 （ ）A（7，2） B （1，0） C（7，2） D（1，0）10、已知且/，則x= ( )A3 B C D11、已知的坐標(biāo)正確的是 （ ）A BC D12、已知=(1,2), =(1,x),若,則x等于 ( )A B. C. 2 D. 2二、填空題（每小格2分，共18分）1、如果 則與的關(guān)系是 .2、已知=（1，2），=（3，y）：（1）若/ 則y= .（2）若則y= .3、已知=(1, 5), =(2,6)則：（1） . （2） .4、已知點(diǎn)A（1，2），B（-1,3），且，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 （ ）