大學(xué)微積分總復(fù)習(xí)ppt課件

1、第一部分1初等函數(shù)初等函數(shù)一、基本初等函數(shù)一、基本初等函數(shù)1. 冪函數(shù)冪函數(shù))( 是常數(shù)是常數(shù) xyoxy2xy xy xy 11)1 , 1(xy1 22. 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù))1, 0( aaayxxey xay xay)1( )1( a)1 , 0(33. 對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù))1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( xaxyya log44. 三角函數(shù)三角函數(shù)正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin xysin o(注意：注意：x用弧度表示用弧度表示)5xycos xycos 余弦函數(shù)余弦函數(shù)o6正切函數(shù)正切函數(shù)xytan 7xycot 余切函數(shù)余切函

2、數(shù)8正割函數(shù)正割函數(shù)xysec xysec o9xycsc 余割函數(shù)余割函數(shù)xycsc o10三角函數(shù)常用公式三角函數(shù)常用公式(前前5個(gè)必須記下來個(gè)必須記下來);cos/1sec;sin/1csc) 1 (xxxx)(cscsec1)(cottan)3(; 1cossin)2(222222xxxxxx; 1cos2sin21sincos2cos)4(2222xxxxx;cossin22sin)5(xxx 11;2cos2cos2coscos)7(yxyxyx);sin()sin(2/1cossin)9(yxyxyx);sin()sin(2/1sincos)10(yxyxyx;2cos2sin2

3、sinsin)6(yxyxyx;2sin2sin2coscos)8(yxyxyx12);cos()cos(2/1coscos)11(yxyxyx);cos()cos(2/1sinsin)12(yxyxyx135. 反三角函數(shù)反三角函數(shù):xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函數(shù)數(shù)oyxxysinarcsin 2,2 y規(guī)規(guī)定定14xyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函數(shù)數(shù)o, 0 y規(guī)定15xyarctan xyarctan 反正切函數(shù)反正切函數(shù)o)2,2( y規(guī)定16冪函數(shù)冪函數(shù),指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為函數(shù)統(tǒng)稱

4、為基本初等函數(shù)基本初等函數(shù).xycot 反余切函數(shù)反余切函數(shù)arcxycot arco), 0( y規(guī)定1718單側(cè)極限單側(cè)極限.)(;)()(lim0000的變化趨勢時(shí)的一側(cè)接近從但有時(shí)我們只需考慮當(dāng)為極限均以，以任何方式接近是指無論xfxxxAxfxxAxfxx左極限左極限:);xx()(lim00此時(shí)Axfxx右極限右極限: :);xx()(lim00此時(shí)Axfxx19定理定理 . Axfxx)(lim0Axfxfxxxx )(lim)(lim00極限存在的充要條件是左極限等于右極限極限存在的充要條件是左極限等于右極限.20無窮大包括：正無窮大，負(fù)無窮大無窮大包括：正無窮大，負(fù)無窮大)(

5、lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或?yàn)闊o窮小量。或(當(dāng)，稱的極限為零，即或(當(dāng)定義：如果函數(shù))(0)(lim)(00 xxxxfxfxxxxf21.)(10)()(.)(1)()0無窮大量為，則為無窮小量，且反之，如果為無窮小量窮大量，則為無時(shí)或(定理：如果當(dāng)xfxfxfxfxfxxx22兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限; 1)()(sinlim10 xfxf某過程.)(1 (lim2)(10exfxf某過程則中的無窮小或如為某過程設(shè),)xax()(xf23；記作記作高階的無窮小高階的無窮小是比是比，就說，就說如果如果)(,0lim)1( o定義定義: :. 0, 且且窮窮小小是是

6、同同一一過過程程中中的的兩兩個(gè)個(gè)無無設(shè)設(shè);, 0lim)3(是同階的無窮小是同階的無窮小與與就說就說如果如果 C;, 1lim 記作記作是等價(jià)的無窮小是等價(jià)的無窮小與與則稱則稱如果如果特殊地，特殊地，低階的無窮小低階的無窮小是比是比，就說，就說如果如果 lim)(24., 0, 0lim)4(無窮小無窮小階的階的的的是是就說就說如果如果kkCk ，0lim20 xxx，22lim0 xxx;02高高階階的的無無窮窮小小量量是是比比時(shí)時(shí)，即即當(dāng)當(dāng)xxx ).0()( 2 xxox是同階無窮小是同階無窮小與與時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)xxx20例如例如,25常用等價(jià)無窮小常用等價(jià)無窮小: :：以下函數(shù)是等價(jià)無窮

7、小時(shí)當(dāng),0 x.21cos1,1,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxexxxxxxxxxxx 26xx2111 xnxn111 xx 1)1( 注注1. 上述上述10個(gè)等價(jià)無窮?。òǚ?、個(gè)等價(jià)無窮小（包括反、對、冪、指、三）必須熟練掌握對、冪、指、三）必須熟練掌握都成立都成立換成換成將將0)(. 2 xfx27函數(shù)連續(xù)點(diǎn)的等價(jià)定義)()(lim)(000 xfxfxxfxx 連連續(xù)續(xù)在在0)()(lim000 xfxfxx0lim0 yx.)()(00處既左連續(xù)又右連續(xù)在函數(shù)處連續(xù)在函數(shù)xxfxxf28第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)oyx0 x可去型可去型oyx0 x跳

8、躍型跳躍型第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)oyx0 x無窮型無窮型oyx振蕩型振蕩型29閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理定理1(1(最值和有界性定理最值和有界性定理) ) 在閉區(qū)間上在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值. . 故該函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)一定是有界函數(shù)故該函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)一定是有界函數(shù). .30.),(0)(內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根在在即方程即方程baxf 3132推論：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得推論：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值介于最大值M與最小值與最小值m之間的任何值之間的任何值.三個(gè)定理的應(yīng)用：33注注方程方程f(x)=0

9、的根的根函數(shù)函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的零點(diǎn)有關(guān)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)命題的有關(guān)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)命題的證明方法證明方法10直接法：先利用最值定理直接法：先利用最值定理, 再利用再利用介值定理介值定理;20間接法（輔助函數(shù)法）：先作輔助間接法（輔助函數(shù)法）：先作輔助函數(shù)函數(shù), 再利用零點(diǎn)定理再利用零點(diǎn)定理.34輔助函數(shù)的作法輔助函數(shù)的作法（1 1）將結(jié)論中的）將結(jié)論中的(或或x x0 0或或c c) )改寫成改寫成x x; ;（2 2）移項(xiàng)使右邊為）移項(xiàng)使右邊為0 0，令左邊的式子為，令左邊的式子為F F( (x x), ), 則則F F( (x x) )即為所求即為所求. .35 區(qū)間一般在題設(shè)中或要證明的

10、結(jié)論區(qū)間一般在題設(shè)中或要證明的結(jié)論中已經(jīng)給出，余下只須驗(yàn)證中已經(jīng)給出，余下只須驗(yàn)證F F( (x x) )在所討在所討論的區(qū)間上論的區(qū)間上連續(xù)，連續(xù)，再比較一下兩個(gè)端點(diǎn)再比較一下兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值的符號(hào)，或指出要證的值介處的函數(shù)值的符號(hào)，或指出要證的值介于于F F( (x x) )在所論閉區(qū)間上的最大值與最小在所論閉區(qū)間上的最大值與最小值之間值之間. .361. 求連續(xù)函數(shù)的極限：直接代入法;2. 求x趨于點(diǎn)a時(shí)分式的極限，先判斷分母的極限：(1)分母極限不為0，直接代入點(diǎn)a得分式極限；(2)分母極限為0, 分子極限不為0, 原極限為無窮大；(3)分子和分母的極限都為0, 采用洛比塔法則求原極

11、限.373. 求兩個(gè)根式相減的極限時(shí)，先有理化. 有時(shí)可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)重要極限來求.4.若一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)的極限為振蕩極限，但該函數(shù)為有界函數(shù)，則該函數(shù)與一個(gè)無窮小的乘積是無窮小.3839xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000其它形式其它形式.)()(lim)(0000hxfhxfxfh .)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 一、導(dǎo)數(shù)的定義40注意注意: :.)()(. 100 xxxfxf 2. 導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù)化率的逼近函數(shù).41單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)1. 左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù):;)()(lim)()(lim)(000

12、00000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 2. 右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù):;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 42例例.0)(處的可導(dǎo)性處的可導(dǎo)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)在在函數(shù)函數(shù) xxfy43導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義oxy)(xfy 0 xT )(,tan)(,)(,()()(0000為傾角為傾角即即切線的斜率切線的斜率處的處的在點(diǎn)在點(diǎn)表

13、示曲線表示曲線 xfxfxMxfyxfM,0)(0且有限時(shí)若 xf).)(000 xxxfyy 的切線方程為過)f(x,(x0044法線方程為法線方程為).()(1000 xxxfyy ,0)(0時(shí)當(dāng) xf切線方程為切線方程為)(0 xfy 法線方程為法線方程為0 xx ,)(0時(shí)當(dāng) xf切線方程為切線方程為0 xx 法線方程為法線方程為)(0 xfy 45注注1. 鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t“由外向里，由外向里， 逐層求導(dǎo)逐層求導(dǎo)”.2. 注意中間變量注意中間變量.推廣推廣),(),(),(xvvuufy 設(shè)設(shè).)(dxdvdvdududydxdyxfy 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) 求導(dǎo)的方

14、法求導(dǎo)的方法46).( xy0),( yxF隱函數(shù)隱函數(shù)因變量與自變量的對應(yīng)法則用一個(gè)因變量與自變量的對應(yīng)法則用一個(gè)方程表示的函數(shù)方程表示的函數(shù).即即方法：對隱函數(shù)直接求導(dǎo)方法：對隱函數(shù)直接求導(dǎo). 注意此時(shí)注意此時(shí)y=y(x),只要方程中某項(xiàng)含有只要方程中某項(xiàng)含有y, 則求導(dǎo)后這一項(xiàng)一定則求導(dǎo)后這一項(xiàng)一定含有含有47先在方程兩邊取對數(shù)先在方程兩邊取對數(shù), 然后利用隱函然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù). 目的是目的是利用對數(shù)的性質(zhì)簡化求導(dǎo)運(yùn)算利用對數(shù)的性質(zhì)簡化求導(dǎo)運(yùn)算.-對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法.)()(的情形函數(shù)開方和冪指多個(gè)函數(shù)相乘、乘方、xvxu48 ) )( 0較小較?。?/p>

15、xxyxxfyx 的的微微分分。對對的的微微分分或或稱稱為為在在點(diǎn)點(diǎn)稱稱為為xyxxf0)(. .0dxyxydydyxxxx 即記作)()( 0 xoxxfy 由公式由公式.高高階階的的無無窮窮小小的的差差是是比比與與xdyy 會(huì)求會(huì)求函數(shù)的微分函數(shù)的微分, 微分與可導(dǎo)的關(guān)系，微分與可導(dǎo)的關(guān)系，一階微分形式不變性。一階微分形式不變性。.49拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理)1()2().()(:bfaf 去去掉掉了了與與羅羅爾爾定定理理相相比比條條件件中中注注意意).()()( fabafbf結(jié)論亦可寫成結(jié)論亦可寫成50適用范圍：式。這兩種類型的其他未定為型未定式，或者可

16、轉(zhuǎn)化型未定式，00即：函數(shù)之比的極限等于導(dǎo)數(shù)之比的極限即：函數(shù)之比的極限等于導(dǎo)數(shù)之比的極限. .51注意：注意：洛必達(dá)法則與其它求極限方法洛必達(dá)法則與其它求極限方法結(jié)合使用效果更好，比如能化簡先化結(jié)合使用效果更好，比如能化簡先化簡，利用等價(jià)無窮小替換等簡，利用等價(jià)無窮小替換等. .52xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xfabBA導(dǎo)數(shù)為正，則函數(shù)單調(diào)增；導(dǎo)數(shù)為正，則函數(shù)單調(diào)增；導(dǎo)數(shù)為負(fù)，函數(shù)單調(diào)減導(dǎo)數(shù)為負(fù)，函數(shù)單調(diào)減. .53利用單調(diào)性證明不等式利用單調(diào)性證明不等式將要證的不等式作恒等變形（通常是將要證的不等式作恒等變形（通常是移項(xiàng)移項(xiàng)), 使一端為使一端為0,

17、另一端即為所作的輔助另一端即為所作的輔助函數(shù)函數(shù)f(x)求求)(xf 驗(yàn)證驗(yàn)證f(x)在指定區(qū)間上的單調(diào)性在指定區(qū)間上的單調(diào)性與區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值或極限值作與區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值或極限值作比較即得證比較即得證.注：有時(shí)無法判別注：有時(shí)無法判別 的符號(hào)，則可先的符號(hào)，則可先討論討論 的符號(hào)，再轉(zhuǎn)到上述第二步的符號(hào)，再轉(zhuǎn)到上述第二步.)( xf)( xf54xyo)(xfy xyo)(xfy abABabBA函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)大于函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)大于0,0,曲線為凹函數(shù)；若小于曲線為凹函數(shù)；若小于0, 0, 則為凸函數(shù)則為凸函數(shù). .55確定曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)的步驟確定曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)的步驟: :)

18、;()1(xf 求二階導(dǎo)數(shù)求二階導(dǎo)數(shù);)( 0)( )2(不不存存在在的的點(diǎn)點(diǎn)和和求求xfxf .)()3(的符號(hào)考察在候選點(diǎn)左右兩側(cè)xf 56求極值的步驟求極值的步驟: :);()1(xf 求求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)).(0)()2(極值的候選點(diǎn)的點(diǎn)的點(diǎn)）和導(dǎo)數(shù)不存在求駐點(diǎn)（即 xf.)( 0,)(.)( ) 3(值點(diǎn)或極大則該點(diǎn)為極小或小于大于在，且二階導(dǎo)數(shù)的值如果在該點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)存是否異號(hào)考察在候選點(diǎn)左右兩側(cè)xf 57求最值的步驟求最值的步驟: :);()1(xf 求求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù);)2(點(diǎn)點(diǎn)求求駐駐點(diǎn)點(diǎn)和和導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在的的（3) 如果已知最值存在，比較在端點(diǎn)、駐點(diǎn)如果已知最值存在，比較在端點(diǎn)、駐點(diǎn)

19、 和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)的函數(shù)值。另外，還可以和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)的函數(shù)值。另外，還可以根據(jù)在根據(jù)在整個(gè)定義域整個(gè)定義域上函數(shù)的一（二）階導(dǎo)數(shù)上函數(shù)的一（二）階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判斷的符號(hào)來判斷.581. 成本函數(shù), 收入函數(shù), 利潤函數(shù)2. 邊際分析3. 彈性4 求最大利潤，最小平均成本等最值問題要求要求: : 會(huì)求各種函數(shù), 并理解相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)意 義；會(huì)求經(jīng)濟(jì)學(xué)中的最值問題。59第三部分60如果在區(qū)間如果在區(qū)間I內(nèi)，內(nèi)，定義：定義：可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù))(xF的的即即Ix ，都都有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ，那那么么函函數(shù)數(shù))(xF就就稱稱為為)(xf導(dǎo)函數(shù)為導(dǎo)函數(shù)為)(xf，61任意常數(shù)

20、任意常數(shù)積分號(hào)積分號(hào)被積函數(shù)被積函數(shù)不定積分的定義：不定積分的定義：在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)，CxFdxxf )()(被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量函函數(shù)數(shù))(xf的的帶帶有有任任意意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱稱為為)(xf在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)的的不定積分不定積分，記為，記為 dxxf)(. . 為求不定積分，只須求出被積函數(shù)的一個(gè)為求不定積分，只須求出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)再加上積分常數(shù)即可原函數(shù)再加上積分常數(shù)即可. .62由不定積分的定義，可知由不定積分的定義，可知 ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd ,)()( CxFdxxF.)()( CxFxdF結(jié)論結(jié)論：微分

21、運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是的的.63基基本本積積分分表表 kCkxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù)););1(1)2(1 Cxdxx;|ln)3(Cxxdx說明說明： , 0 x,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx64 dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx 65 xdxxtansec)10(;secCx xdxx

22、cotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax 以上以上1313個(gè)公式是求不定積分的基礎(chǔ)，稱個(gè)公式是求不定積分的基礎(chǔ)，稱為基本積分表，必須熟練掌握為基本積分表，必須熟練掌握. .66一、兩類積分換元法：一、兩類積分換元法： （一）（一）湊微分湊微分（二）（二）三角代換、倒代換、根式代換三角代換、倒代換、根式代換基本積分表基本積分表dxvuuvdxvu 二、分部積分法二、分部積分法: 合理選擇合理選擇 u, v，正確使用，正確使用 分部積分公式分部積分公式求不定積分的方法67可導(dǎo)，則可導(dǎo)，則具有原函數(shù)，具有原函數(shù)，設(shè)設(shè)定理定理)()( :xuuf duuf)(ux )( dxxxf)()( 第一類換元公式第一類換元公式（湊微分法湊微分法）使用此公式的關(guān)鍵在于將使用此公式的關(guān)鍵在于將說明說明 dxxg)(化為化為.)()( dxxxf68例例 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 方法方法1 當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開奇次項(xiàng)去湊微分開奇次項(xiàng)去湊微分.69例例 求求解解.2cos3co