最短路徑問題專項練習(xí)

1、最短路徑問題專項練習(xí)共13頁，全面復(fù)習(xí)與聯(lián)系最短路徑問題一、具體內(nèi)容包括：螞蟻沿正方體、長方體、圓柱、圓錐外側(cè)面吃食問題；AB線段（之和）最短問題；二、原理：兩點之間，線段最短；垂線段最短。（構(gòu)建“對稱模型”實現(xiàn)轉(zhuǎn)化）1最短路徑問題(1)求直線異側(cè)的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點，與直線的交點即為所求如圖所示，點A，B分別是直線l異側(cè)的兩個點，在l上找一個點C，使CACB最短，這時點C是直線l與AB的交點(2)求直線同側(cè)的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要找到其中一個點關(guān)于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一個點，則與該直線的交點即為所求如圖所示，點A，B分別是

2、直線l同側(cè)的兩個點，在l上找一個點C，使CACB最短，這時先作點B關(guān)于直線l的對稱點B，則點C是直線l與AB的交點為了證明點C的位置即為所求，我們不妨在直線上另外任取一點C，連接AC，BC，BC，證明ACCBACCB.如下：證明：由作圖可知，點B和B關(guān)于直線l對稱，所以直線l是線段BB的垂直平分線因為點C與C在直線l上，所以BCBC，BCBC.在ABC中，ABACBC，所以ACBCACBC，所以ACBCACCB.【例1】 在圖中直線l上找到一點M，使它到A，B兩點的距離和最小分析：先確定其中一個點關(guān)于直線l的對稱點，然后連接對稱點和另一個點，與直線l的交點M即為所求的點解：如圖所示：(1)作點

3、B關(guān)于直線l的對稱點B；(2)連接AB交直線l于點M.(3)則點M即為所求的點點撥：運用軸對稱變換及性質(zhì)將不在一條直線上的兩條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上，然后用“兩點之間線段最短”解決問題.2.運用軸對稱解決距離最短問題運用軸對稱及兩點之間線段最短的性質(zhì)，將所求線段之和轉(zhuǎn)化為一條線段的長，是解決距離之和最小問題的基本思路，不論題目如何變化，運用時要抓住直線同旁有兩點，這兩點到直線上某點的距離和最小這個核心，所有作法都相同警誤區(qū) 利用軸對稱解決最值問題應(yīng)注意題目要求根據(jù)軸對稱的性質(zhì)、利用三角形的三邊關(guān)系，通過比較來說明最值問題是常用的一種方法解決這類最值問題時，要認(rèn)真審題，不要只注意圖形而忽略題意要求

4、，審題不清導(dǎo)致答非所問3利用平移確定最短路徑選址選址問題的關(guān)鍵是把各條線段轉(zhuǎn)化到一條線段上如果兩點在一條直線的同側(cè)時，過兩點的直線與原直線的交點處構(gòu)成線段的差最大，如果兩點在一條直線的異側(cè)時，過兩點的直線與原直線的交點處構(gòu)成的線段的和最小，都可以用三角形三邊關(guān)系來推理說明，通常根據(jù)最大值或最小值的情況取其中一個點的對稱點來解決解決連接河兩岸的兩個點的最短路徑問題時，可以通過平移河岸的方法使河的寬度變?yōu)榱悖D(zhuǎn)化為求直線異側(cè)的兩點到直線上一點所連線段的和最小的問題在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變換把不在一條直線上的兩條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上，從而作出最短路徑的方法來解決問題 【例2

5、】 如圖，小河邊有兩個村莊A，B，要在河邊建一自來水廠向A村與B村供水(1)若要使廠部到A，B村的距離相等，則應(yīng)選擇在哪建廠？(2)若要使廠部到A，B兩村的水管最短，應(yīng)建在什么地方？分析：(1)到A，B兩點距離相等，可聯(lián)想到“線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等”，又要在河邊，所以作AB的垂直平分線，與EF的交點即為符合條件的點(2)要使廠部到A村、B村的距離之和最短，可聯(lián)想到“兩點之間線段最短”，作A(或B)點關(guān)于EF的對稱點，連接對稱點與B點，與EF的交點即為所求解：(1)如圖1，取線段AB的中點G，過中點G畫AB的垂線，交EF于P，則P到A，B的距離相等也可分別以A、B為圓心，以大

6、于AB為半徑畫弧，兩弧交于兩點，過這兩點作直線，與EF的交點P即為所求(2)如圖2，畫出點A關(guān)于河岸EF的對稱點A，連接AB交EF于P，則P到A，B的距離和最短【例3】 如圖，從A地到B地經(jīng)過一條小河(河岸平行)，今欲在河上建一座與兩岸垂直的橋，應(yīng)如何選擇橋的位置才能使從A地到B地的路程最短？思路導(dǎo)引：從A到B要走的路線是AMNB，如圖所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AMBN最短即可此時兩線段應(yīng)在同一平行方向上，平移MN到AC，從C到B應(yīng)是余下的路程，連接BC的線段即為最短的，此時不難說明點N即為建橋位置，MN即為所建的橋解：(1)如圖2，過點A作AC垂直于河岸，且使AC等于河寬(2

7、)連接BC與河岸的一邊交于點N.(3)過點N作河岸的垂線交另一條河岸于點M.則MN為所建的橋的位置4生活中的距離最短問題由兩點之間線段最短(或三角形兩邊之和大于第三邊)可知，求距離之和最小問題，就是運用等量代換的方式，把幾條線段的和想辦法轉(zhuǎn)化在一條線段上，從而解決這個問題，運用軸對稱性質(zhì)，能將兩條線段通過類似于鏡面反射的方式轉(zhuǎn)化成一條線段，如圖，AOBOAC的長所以作已知點關(guān)于某直線的對稱點是解決這類問題的基本方法【例4】 (實際應(yīng)用題)茅坪民族中學(xué)八(2)班舉行文藝晚會，桌子擺成如圖a所示兩直排(圖中的AO，BO)，AO桌面上擺滿了橘子，OB桌面上擺滿了糖果，站在C處的學(xué)生小明先拿橘子再拿糖

8、果，然后到D處座位上，請你幫助他設(shè)計一條行走路線，使其所走的總路程最短？圖a圖b解：如圖b.(1)作C點關(guān)于OA的對稱點C1，作D點關(guān)于OB的對稱點D1，(2)連接C1D1，分別交OA，OB于P，Q，那么小明沿CPQD的路線行走，所走的總路程最短5.運用軸對稱解決距離之差最大問題利用軸對稱和三角形的三邊關(guān)系是解決幾何中的最大值問題的關(guān)鍵先做出其中一點關(guān)于對稱軸的對稱點，然后連接對稱點和另一個點，所得直線與對稱軸的交點，即為所求根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和三角形中兩邊之差小于第三邊易證明這就是最大值破疑點 解決距離的最值問題的關(guān)鍵運用軸對稱變換及三角形三邊關(guān)系是解決一些距離的最值問題的有效方法【例5】

9、 如圖所示，A，B兩點在直線l的兩側(cè)，在l上找一點C，使點C到點A、B的距離之差最大 分析：此題的突破點是作點A(或B)關(guān)于直線l的對稱點A(或B)，作直線AB(AB)與直線l交于點C，把問題轉(zhuǎn)化為三角形任意兩邊之差小于第三邊來解決解：如圖所示，以直線l為對稱軸，作點A關(guān)于直線l的對稱點A，AB的連線交l于點C，則點C即為所求理由：在直線l上任找一點C(異于點C)，連接CA，CA，CA，CB.因為點A，A關(guān)于直線l對稱，所以l為線段AA的垂直平分線，則有CACA，所以CACBCACBAB.又因為點C在l上，所以CACA.在ABC中，CACBCACBAB，所以CACBCACB.點撥：根據(jù)軸對稱的

10、性質(zhì)、利用三角形的三邊關(guān)系，通過比較來說明最值問題是常用的一種方法三、例題：例1、如右圖是一個棱長為4的正方體木塊，一只螞蟻要從木塊的點A沿木塊側(cè)面爬到點B處，則它爬行的最短路徑是 。ABCD如右圖是一個長方體木塊，已知AB=3,BC=4,CD=2，假設(shè)一只螞蟻在點A處，它要沿著木塊側(cè)面爬到點D處，則螞蟻爬行的最短路徑是 。張村李莊ABL例2、如圖，要在河邊修建一個水泵站，分別向張村、李莊送水，水泵站修在河邊什么地方可使所用的水管最短。如圖，直線L同側(cè)有兩點A、B，已知A、B到直線L的垂直距離分別為1和3，兩點的水平距離為3，要在直線L上找一個點P，使PA+PB的和最小。請在圖中找出點P的位置

11、，并計算PA+PB的最小值。張村李莊要在河邊修建一個水泵站，向張村、李莊鋪設(shè)管道送水，若張村、李莊到河邊的垂直距離分別為1Km和3Km，張村與李莊的水平距離為3Km，則所用水管最短長度為 。四、練習(xí)題（鞏固提高）（一）1、如圖是一個長方體木塊，已知AB=5,BC=3,CD=4，假設(shè)一只螞蟻在點A處，它要沿著木塊側(cè)面爬到點D處，則螞蟻爬行的最短路徑是 。ABABABCDA第3題第2題第1題2、現(xiàn)要在如圖所示的圓柱體側(cè)面A點與B點之間纏一條金絲帶（金絲帶的寬度忽略不計），圓柱體高為6cm，底面圓周長為16cm，則所纏金絲帶長度的最小值為 。3、如圖是一個圓柱體木塊，一只螞蟻要沿圓柱體的表面從A點爬

12、到點B處吃到食物，知圓柱體的高為5 cm，底面圓的周長為24cm，則螞蟻爬行的最短路徑為 。4、正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM2，N是AC上的一動點，DNMN的最小值為 。 第4題 第5題 第6題 第7題5、在菱形ABCD中，AB=2， BAD=60°，點E是AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，則PE+PB的最小值為 。6、如圖，在ABC中，ACBC2，ACB90°，D是BC邊的中點，E是AB邊上一動點，則ECED的最小值為_ _。7、AB是O的直徑，AB=2，OC是O的半徑，OCAB，點D在AC上，AD = 2CD，點P是半徑OC上的一個動點，則AP+P

13、D的最小值為_ _。（二）8、如圖，點P關(guān)于OA、OB的對稱點分別為C、D，連接CD，交OA于M，交OB于N，若CD18cm，則PMN的周長為_。9、已知，如圖DE是ABC的邊AB的垂直平分線，D為垂足，DE交BC于E，且AC5，BC8，則AEC的周長為_。10、已知，如圖，在ABC中，ABAC，BC邊上的垂直平分線DE交BC于點D，交AC于點E，AC8，ABE的周長為14，則AB的長 。11、如圖，在銳角ABC中，AB4，BAC45°，BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是_12、在平面直角坐標(biāo)系中，有A（3，2），B（4，2）兩點，現(xiàn)另

14、取一點C（1，n），當(dāng)n = 時，AC + BC的值最小 第11題 第14題 第15題13、ABC中，C = 90°，AB = 10，AC=6,BC=8,過AB邊上一點P作PEAC于E，PFBC于 F，E、F是垂足，則EF的最小值等于 14、如圖，菱形ABCD中，AB=2, BAD=60°，點E、F、P分別是AB、BC、AC上的動點，則PE+PF的最小值為_.15、如圖，村莊A、B位于一條小河的兩側(cè)，若河岸a、b彼此平行，現(xiàn)在要建設(shè)一座與河岸垂直的橋CD，問橋址應(yīng)如何選擇，才能使A村到B村的路程最近？16、一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x、y軸分別交于點A（2，0），B（0，

15、4）（1）求該函數(shù)的解析式；（2）O為坐標(biāo)原點，設(shè)OA、AB的中點分別為C、D，P為OB上一動點，求PCPD的最小值，并求取得最小值時P點坐標(biāo)（三）16、如圖，已知AOB內(nèi)有一點P，試分別在邊OA和OB上各找一點E、F，使得PEF的周長最小。試畫出圖形，并說明理由。17、如圖，直線l是第一、三象限的角平分線實驗與探究：（1）由圖觀察易知A（0，2）關(guān)于直線l的對稱點A的坐標(biāo)為（2，0），請在圖中分別標(biāo)明B（5，3）、C（2，5）關(guān)于直線l的對稱點B、C的位置，并寫出他們的坐標(biāo)：B 、C ；歸納與發(fā)現(xiàn)：（2）結(jié)合以上三組點的坐標(biāo)，你會發(fā)現(xiàn)：坐標(biāo)平面內(nèi)任一點P（a，b）關(guān)于第一、三象限的角平分線l

16、的對稱點P的坐標(biāo)為 ；運用與拓廣：（3）已知兩點D（1，3）、E（1，4），試在直線l上確定一點Q，使點Q到D、E兩點的距離之和最小，并求出Q點坐標(biāo)18、幾何模型：條件：如圖，A、B是直線L同旁的兩個定點問題：在直線L上確定一點P，使PA+PB的值最小方法：作點關(guān)于直線的對稱點，連結(jié)交于點，則的值最?。ú槐刈C明）模型應(yīng)用：（1）如圖1，正方形的邊長為2，為的中點，是上一動點連結(jié)，由正方形對稱性可知，與關(guān)于直線對稱連結(jié)交于，則的最小值是_；（2）如圖2，的半徑為2，點在上，是上一動點，求的最小值；OABPRQ圖3（3）如圖3，AOB=45°，P是AOB內(nèi)一點，PO=10，Q、R分別是O

17、A、OB上的動點，求PQR周長的最小值OABC圖2PABECBD圖1ABPl19、問題探究（1）如圖，四邊形是正方形， ，為邊的中點，為上的一個動點，求的最小值；（2）如圖，若四邊形是菱形， ，為邊上的一個動點，為上的一個動點，求的最小值；ADBCADBCEPACDB問題解決（3）如圖，若四邊形ABCD是矩形， ，為邊上的一個動點，為上的一個動點，求的最小值；20.如圖，在直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（-2，0），連結(jié)0A，將線段OA繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)120。，得到線段OB.（1）求點B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過A、O、B三點的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使BOC的周

18、長最?。咳舸嬖?，求出點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.（注意：本題中的結(jié)果均保留根號）解：（1）過點B作BD軸于點D，由已知可得：OB=OA=2，BOD=60。.在RtOBD中，ODB=90。，OBD=30。.OD=1，DB=點B的坐標(biāo)是（1，）.（2）設(shè)所求拋物線的解析式為，由已知可得：解得：所求拋物線解析式為（3）存在.由配方后得：拋物線的對稱軸為=1.（也寫用頂點坐標(biāo)公式求出）OB=2，要使BOC的周長最小，必須BC+CO最小.點O與點A關(guān)于直線=1對稱，有CO=CA. BOC的周長=OB+BC+CO=OB+BC+CA.當(dāng)A、C、B三點共線，即點C為直線AB與拋物線對稱軸的交點時，BC+

19、CA最小，此時BOC的周長最小.設(shè)直線AB的解析式為解得： 直線AB的解析式為當(dāng)=1時， 所求點C的坐標(biāo)為（1，）.21、DOxyBEPAC如圖，拋物線的頂點P的坐標(biāo)為，交x軸于A、B兩點，交y軸于點（1）求拋物線的表達(dá)式（2）把ABC繞AB的中點E旋轉(zhuǎn)180°，得到四邊形ADBC判斷四邊形ADBC的形狀，并說明理由（3）試問在線段AC上是否存在一點F，使得FBD的周長最小，若存在，請寫出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：（1）由題意知解得， -3分（列出方程組給1分，解出給2分）拋物線的解析式為 -4分（2）設(shè)點A（，0），B（，0），則，解得 -5分 OA1，OB3又tanOCBOCB60