數(shù)學(xué)思想方法一整體思想解析自己整理

1、數(shù)學(xué)思想方法一整體思想整體思想，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，通過(guò)研究問(wèn)題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征，從而對(duì)問(wèn)題進(jìn)行整體處理的解題方法從整體上去認(rèn)識(shí)問(wèn)題、思考問(wèn)題，常常能化繁為簡(jiǎn)、變難為易，同時(shí)又能培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、敏捷性整體思想的主要表現(xiàn)形式有：整體代入、整體加減、整體代換、整體聯(lián)想、整體補(bǔ)形、整體改造等等在初中數(shù)學(xué)中的數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)與圖象、幾何與圖形等方面，整體思想都有很好的應(yīng)用，因此，每年的中考中涌現(xiàn)了許多別具創(chuàng)意、獨(dú)特新穎的涉及整體思想的問(wèn)題，尤其在考查高層次思維能力和創(chuàng)新意識(shí)方面具有獨(dú)特的作用一數(shù)與式中的整體思想例1.已知，則的值等于 （ ）A. B. C. D

2、.分析：根據(jù)條件顯然無(wú)法計(jì)算出，的值，只能考慮在所求代數(shù)式中構(gòu)造出的形式，再整體代入求解解：說(shuō)明：本題也可以將條件變形為，即，再整體代入求解例2已知代數(shù)式，當(dāng)時(shí)，值為，則當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值為 解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，值為，所以，即，從而，當(dāng)時(shí)，原式例3已知，求多項(xiàng)式的值分析：要求多項(xiàng)式的值，直接代入計(jì)算肯定不是最佳方案，注意到，只要求得，這三個(gè)整體的值，本題的計(jì)算就顯得很簡(jiǎn)單了解：由已知得，所以，原式說(shuō)明：在進(jìn)行條件求值時(shí)，我們可以根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特征，合理變形，構(gòu)造出條件中含有的模型，然后整體代入，從整體上把握解的方向和策略，從而使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化二方程(組)與不等式（組）中的整體思想例4已知，且，則的取值

3、范圍是 分析：本題如果直接解方程求出，再代入肯定比較麻煩，注意到條件中是一個(gè)整體，因而我們只需求得，通過(guò)整體的加減即可達(dá)到目的解：將方程組的兩式相加，得：，所以，從而，解得例5 已知關(guān)于，的二元一次方程組的解為，那么關(guān)于，的二元一次方程組的解為為 分析：如果把代入，解出，的值，再代入進(jìn)行求解，應(yīng)當(dāng)是可行的，但運(yùn)算量比較大，相對(duì)而言比較繁瑣若采用整體思想，在方程組中令，則此方程組變形為，對(duì)照第一個(gè)方程組即知，從而，容易得到第二個(gè)方程組的解為，這樣就避免了求，的值，又簡(jiǎn)化了方程組，簡(jiǎn)便易操作解：說(shuō)明：通過(guò)整體加減既避免了求復(fù)雜的未知數(shù)的值，又簡(jiǎn)化了方程組（不等式組），解答直接簡(jiǎn)便例6解方程 分析：

4、本題若采用去分母求解，過(guò)程很復(fù)雜和繁冗，根據(jù)方程特點(diǎn)，我們采用整體換元，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程來(lái)解解：設(shè)，則原方程變形為，即，解得，所以或，從而解得，經(jīng)檢驗(yàn)，都是原方程的解說(shuō)明：（1）對(duì)于某些方程，如果項(xiàng)中含有相同部分（或部分相同）可把它看作一個(gè)整體，用整體換元進(jìn)行代換，從而簡(jiǎn)化方程及解題過(guò)程當(dāng)然本題也可以設(shè)，將方程變形為來(lái)解（2）利用整體換元，我們還可以解決形如這樣的方程，只要設(shè)，從而將方程變形為，再轉(zhuǎn)化為一元二次方程來(lái)求解例7 有甲、乙、丙三種貨物，若購(gòu)甲件，乙件，丙件，共需元；若購(gòu)甲件，乙件，丙件，共需元現(xiàn)在計(jì)劃購(gòu)甲、乙、丙各件，共需多少元？分析：要求的未知數(shù)是三個(gè)，而題設(shè)條件中只有兩

5、個(gè)等量關(guān)系，企圖把甲、乙、丙各件的錢數(shù)一一求出來(lái)是不可能的，若把甲、乙、丙各件的錢數(shù)看成一個(gè)整體，問(wèn)題就可能解決 解：設(shè)購(gòu)甲、乙、丙各件分別需元、元、元 依題意，得，即 解關(guān)于，的二元一次方程組，可得（元） 答：購(gòu)甲、乙、丙各件共需元說(shuō)明：由于我們所感興趣的不是、的值，而是這個(gè)整體的值，所以目標(biāo)明確，直奔主題，收到了事半功倍的效果三函數(shù)與圖象中的整體思想例8已知和成正比例（其中、是常數(shù)） （1）求證：是的一次函數(shù)； （2）如果時(shí)，；時(shí)，求這個(gè)函數(shù)的解析式.解：（1）因與成正比例，故可設(shè) 整理可得 因，、為常數(shù)，所以是的一次函數(shù). （2）由題意可得方程組 解得，. 故所求的函數(shù)解析式為說(shuō)明：在解

6、方程組時(shí)，單獨(dú)解出、是不可能的，也是不必要的故將看成一個(gè)整體求解，從而求得函數(shù)解析式，這是求函數(shù)解析式的一個(gè)常用方法例9 若關(guān)于的一元二次方程有一根大于，一根小于，求的取值范圍分析：此題如果運(yùn)用根的判別式和韋達(dá)定理，解答此題較為困難整體考慮，把一元二次方程與二次函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，利用二次函數(shù)的圖象來(lái)解題，則顯得很直觀，也較為容易解：由題意可知，拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)的右邊，另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，拋物線圖象開(kāi)口向上，則可得：當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí)，即，說(shuō)明：（1）由于當(dāng),時(shí)，所以解答過(guò)程中不必再考慮了 （2）利用函數(shù)與圖象，整體考察，是解決涉及方程（不等式）有關(guān)根的問(wèn)題最有效的方法在之一，在數(shù)學(xué)教

7、學(xué)中應(yīng)當(dāng)引起足夠的重視四幾何與圖形中的整體思想例10如圖， 分析：由于本題出無(wú)任何條件，因而單個(gè)角是無(wú)法求出的利用三角形的性質(zhì)，我們將視為一個(gè)整體，那么應(yīng)與中的外角相等，同理，分別與，的外角相等，利用三角形外角和定理，本題就迎刃而解了解：因?yàn)椋?根據(jù)三角形外角定理，得，所以說(shuō)明：整體聯(lián)想待求式之間的關(guān)系并正確應(yīng)用相關(guān)性質(zhì)是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵例11如圖，菱形的對(duì)角線長(zhǎng)分別為和， 是對(duì)角線上任一點(diǎn)（點(diǎn)不與，重合），且交于， 交于，則圖中陰影部分的面積為 解：不難看出，四邊形為平行四邊形，從而的面積等于的面積，故圖中陰影部分的面積等于的面積，又因?yàn)?，所以圖中陰影部分的面積為.說(shuō)明：本題中，與雖然并不

8、全等，但它們等底同高，面積是相等的因而，可以將圖中陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為的面積我們?cè)诮忸}過(guò)程中，應(yīng)仔細(xì)分析題意，挖掘題目的題設(shè)與結(jié)論中所隱含的信息，然后通過(guò)整體構(gòu)造，常能出奇制勝例12如圖，在正方形中，為邊的中點(diǎn)，平分，試判斷與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由 解：與的大小關(guān)系為分別延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，因而易證，所以，并且，從而由于平分，所以，故，即為等腰三角形，即，所以，說(shuō)明：證明一條線段等于另外兩條線段的和差，常常用截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等的問(wèn)題，本題中我們利用三角形全等將轉(zhuǎn)化為這一整體，從而達(dá)到了解決問(wèn)題的目的用整體思想解題不僅解題過(guò)程簡(jiǎn)捷明快，而且富有創(chuàng)造性，有了整體思

9、維的意識(shí)，在思考問(wèn)題時(shí)，才能使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，提高解題速度，優(yōu)化解題過(guò)程同時(shí)，強(qiáng)化整體思想觀念，靈活選擇恰當(dāng)?shù)恼w思想方法，常常能幫助我們走出困境，走向成功練習(xí)一、選擇題1. （2011鹽城，4，3分）已知ab=1，則代數(shù)式2a2b3的值是（ ）A.1 B.1 C.5 D.52. （2011，臺(tái)灣省，26,5分）計(jì)算（250+0.9+0.8+0.7）2（2500.90.80.7）2之值為何？（）A、11.52B、23.04C、1200D、24003. 10（2011山東淄博10，4分）已知a是方程x2+x1=0的一個(gè)根，則的值為（）A.B. C.1D.1二、填空題1. （2011德州，14，4分）若x1，x2是方程x2+x1=0的兩個(gè)根，則x12+x22= 2.（2011年山東省威海市，16，3分）分解因式：168（xy）+（x