線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析內(nèi)容

1、第2章 線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析2.1 學(xué)習(xí)要求（1）會(huì)建立描述系統(tǒng)激勵(lì)與響應(yīng)關(guān)系的微分方程；（2）深刻理解系統(tǒng)的完全響應(yīng)可分解為：零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)，自由響應(yīng)與強(qiáng)迫響應(yīng)，瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)；（3）深刻理解系統(tǒng)的零輸入線性與零狀態(tài)線性，并根據(jù)關(guān)系求解相關(guān)的響應(yīng)；（4）會(huì)根據(jù)系統(tǒng)微分方程和初始條件求解上述幾種響應(yīng)；（5）深刻理解單位沖激響應(yīng)的意義，并會(huì)求解；（6）深刻理解系統(tǒng)起始狀態(tài)與初始狀態(tài)的區(qū)別，會(huì)根據(jù)系統(tǒng)微分方程和輸入判斷0時(shí)刻的跳變情況；（7）理解卷積運(yùn)算在信號(hào)與系統(tǒng)中的物理意義和運(yùn)算規(guī)律，會(huì)計(jì)算信號(hào)的卷積。；2.2 本章重點(diǎn)（1）系統(tǒng)（電子、機(jī)械）數(shù)學(xué)模型（微分方程）的建立；（

2、2）用時(shí)域經(jīng)典法求系統(tǒng)的響應(yīng)；（3）系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)及其求解；（4）卷積的定義、性質(zhì)及運(yùn)算，特別是函數(shù)形式與其它信號(hào)的卷積；（5）利用零輸入線性與零狀態(tài)線性，求解系統(tǒng)的響應(yīng)。2.3 本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)2.4 本章的內(nèi)容摘要2.4.1系統(tǒng)微分方程的建立電阻： 電感： 電容： 2.4.2 系統(tǒng)微分方程的求解齊次解和特解。齊次解為滿足齊次方程 當(dāng)特征根有重根時(shí)，如有重根，則響應(yīng)于的重根部分將有項(xiàng)，形如 當(dāng)特征根有一對(duì)單復(fù)根，即，則微分方程的齊次解 當(dāng)特征根有一對(duì)重復(fù)根，即共有重的復(fù)根，則微分方程的齊次解 特解的函數(shù)形式與激勵(lì)函數(shù)的形式有關(guān)。激勵(lì)函數(shù)響應(yīng)函數(shù)的特解(常數(shù))注:(1)表中、是待定系數(shù)。 (

3、2)若由幾種激勵(lì)組合而成，則特解也為其相應(yīng)的組合。 (3)若表中所列特解與齊次解重復(fù)，則應(yīng)在特解中增加一項(xiàng)：倍乘表中特解。假如這種重復(fù)形式有次（特征為次），則依次增加倍乘，諸項(xiàng)。2.4.3起始點(diǎn)的跳變-從到狀態(tài)的轉(zhuǎn)換在系統(tǒng)分析中，定義響應(yīng)區(qū)間為確定激勵(lì)信號(hào)加入后系統(tǒng)的狀態(tài)變化區(qū)間。一般激勵(lì)都是從時(shí)刻加入，此時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)區(qū)間定義為。當(dāng)系統(tǒng)用微分方程表示時(shí)，系統(tǒng)從到狀態(tài)有沒有跳變?nèi)Q于微分方程右端自由項(xiàng)是否包含及其各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。如果包含有及其各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，說明相應(yīng)的到狀態(tài)發(fā)生了跳變，即或等等。這時(shí)為確定、等狀態(tài)，可以用沖激函數(shù)匹配法。2.4.4系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)（1）零輸入響應(yīng)系統(tǒng)的零輸入響

4、應(yīng)是當(dāng)系統(tǒng)沒有外加激勵(lì)信號(hào)時(shí)的響應(yīng)。零輸入響應(yīng)是滿足及起始狀態(tài)的解,它是齊次解的一部分 由于沒有外界激勵(lì)作用，因而系統(tǒng)的狀態(tài)不會(huì)發(fā)生跳變，所以中的常數(shù)可由確定。（2）零狀態(tài)響應(yīng)所謂零狀態(tài)，是指系統(tǒng)沒有初始儲(chǔ)能，系統(tǒng)的起始狀態(tài)為零，即這時(shí)僅由系統(tǒng)的外加激勵(lì)所產(chǎn)生的響應(yīng)稱為零狀態(tài)響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng)由起始狀態(tài)為零時(shí)的方程 所確定。系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為 其中和分別為齊次解和特解。系統(tǒng)的線性：條件1 系統(tǒng)響應(yīng)可以分解為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和。 條件2 零輸入線性，即零輸入響應(yīng)與初始狀態(tài)或之間滿足線性特性。條件3 零狀態(tài)線性，即零狀態(tài)響應(yīng)與激勵(lì)之間滿足線性特性。 2.2.5連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)

5、（1）沖激響應(yīng)系統(tǒng)在單位沖激信號(hào)作用下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為單位沖激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，用表示。亦即，沖激響應(yīng)是激勵(lì)為單位沖激信號(hào)時(shí)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。在時(shí)域中，子系統(tǒng)級(jí)聯(lián)時(shí)，總的沖激響應(yīng)等于子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。因果系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 （2）階躍響應(yīng)一線性時(shí)不變系統(tǒng)，當(dāng)其初始狀態(tài)為零時(shí)，輸入為單位階躍函數(shù)所引起的響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，簡稱階躍響應(yīng)，用表示。階躍響應(yīng)是激勵(lì)為單位階躍函數(shù)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)之間的關(guān)系為 或 2.2.6 卷積積分（1）卷積積分的概念一般情況下，如有兩個(gè)信號(hào)和做運(yùn)算 此運(yùn)算定義為和的卷積(Convolution)，簡記為 或 （2）卷積積分的圖解法用圖

6、解法能直觀地說明卷積積分的計(jì)算過程，而且便于理解卷積的概念。兩個(gè)信號(hào)和的卷積運(yùn)算可通過以下幾個(gè)步驟來完成：第一步，畫出和波形，將波形圖中的軸改換成軸，分別得到和的波形。第二步，將)波形以縱軸為中心軸翻轉(zhuǎn)180，得到波形。 第三步，給定一個(gè)值，將波形沿軸平移。在時(shí)，波形往左移，在時(shí)，波形往右移，這樣就得到了的波形。 第四步，將和相乘，得到卷積積分式中的被積函數(shù)。 第五步，計(jì)算乘積信號(hào)波形與軸之間包含的凈面積。第六步，令變量在范圍內(nèi)變化，重復(fù)第三、四、五步操作，最終得到卷積信號(hào)。（3）卷積運(yùn)算的性質(zhì)性質(zhì)1 乘法運(yùn)算中的交換律、結(jié)合律和結(jié)合律適應(yīng)于卷積運(yùn)算交換律 結(jié)合律 分配律性質(zhì)2 信號(hào)與奇異信號(hào)

7、的卷積信號(hào)與沖激信號(hào)的卷積等于信號(hào)本身，即 信號(hào)與沖激偶的卷積等于的導(dǎo)函數(shù)，即 信號(hào)與階躍信號(hào)的卷積等于信號(hào)的積分,即 性質(zhì)3 卷積的微分與積分如果，則有 如果，則。設(shè)，則有 2.2.7 用卷積積分法求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)對(duì)于任一時(shí)刻系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為 2.2.8 相關(guān)如果和是兩個(gè)能量有限的信號(hào)，且均為實(shí)函數(shù)，則它們之間的相關(guān)函數(shù)（又稱為互相關(guān)函數(shù)）定義為和 互相關(guān)性質(zhì)：。當(dāng)和是同一個(gè)信號(hào)時(shí)，即，則它們之間的相關(guān)函數(shù)（又稱為自相關(guān)函數(shù)）定義為自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)：（1）（2）時(shí)，相關(guān)性最強(qiáng)，最大。如果和是功率有限信號(hào)，且均為實(shí)函數(shù)，那么互相關(guān)函數(shù)定義為 和 自相關(guān)函數(shù)定義為 2.2.9用算子符號(hào)表示微分方程（1）算子符號(hào)的基本性質(zhì)如果把經(jīng)常出現(xiàn)的微分和積分用下述算子符號(hào)表示 式中，稱為微分算子，稱為微分逆算子或積分算子。這樣，可以應(yīng)用微分或積分算子簡化表示微分和積分運(yùn)算。例如 對(duì)于微分方程式(2-4)則可表示為 性質(zhì)1 以的正冪多項(xiàng)式出現(xiàn)的運(yùn)算式，在形式上可以像代數(shù)多項(xiàng)式那樣進(jìn)行展開和因式分解。性質(zhì)2 設(shè)A(p)和B(p)是的正冪多項(xiàng)式，則 性質(zhì)3 微分算子方程等號(hào)兩邊的公因式不能隨便消去。性質(zhì)4 算子的乘除順序不可以隨意顛倒。（2）用算子符號(hào)建立微分方程 對(duì)于LT