相似三角形培優(yōu)試題

1、1、（本題滿分7分）如圖10，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG,AE與CG相交于點M，CG與AD相交于點N求證：（1）；（2）2、(本題滿分7分)如圖11，已知的面積為3，且AB=AC，現(xiàn)將沿CA方向平移CA長度得到（1）求四邊形CEFB的面積；（2）試判斷AF與BE的位置關(guān)系，并說明理由；（3）若，求AC的長3、如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AEBC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點，且AFEB.(1) 求證：ADFDEC(2) 若AB4,AD3,AE3,求AF的長.4、如圖（4），在正方形中，分別是邊上的點，連結(jié)并延長交的延長線于點AcEcDcFcBcCcG

2、c圖（4）（1）求證：；（2）若正方形的邊長為4，求的長5如圖（15），在梯形中，厘米，厘米，的坡度動點從出發(fā)以2厘米/秒的速度沿方向向點運動，動點從點出發(fā)以3厘米/秒的速度沿方向向點運動，兩個動點同時出發(fā)，當其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止設(shè)動點運動的時間為秒（1）求邊的長；（2）當為何值時，與相互平分；CcDcAcBcQcPc圖（5）（3）連結(jié)設(shè)的面積為探求與的函數(shù)關(guān)系式，求為何值時，有最大值？最大值是多少？6（本題滿分9分）一塊直角三角形木板的一條直角邊長為m，面積為m2，工人師傅要把它加工成一個面積最大的正方形桌面，請甲、乙兩位同學(xué)進行設(shè)計加工方案，甲設(shè)計方案如圖1，乙設(shè)計

3、方案如圖2圖GACFDDEF圖第6題圖你認為哪位同學(xué)設(shè)計的方案較好？試說明理由（加工損耗忽略不計，計算結(jié)果中可保留分數(shù)）7、如圖1，O為正方形ABCD的中心，分別延長OA、OD到點F、E，使OF=2OA，OE=2OD，連接EF將EOF繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)角得到E1OF1（如圖2）（1）探究AE1與BF1的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（2）當=30°時，求證：AOE1為直角三角形8、（本題滿分12分）將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到ABC和ACD，如圖1所示.將ACD的頂點A與點A重合，并繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點D、A(A)、B在同一條直線上，如圖2所示圖1 圖2觀察圖2可知：與BC

4、相等的線段是 ，CAC= °問題探究如圖3，ABC中，AGBC于點G，以A為直角頂點，分別以AB、AC為直角邊，向ABC外作等腰RtABE和等腰RtACF，過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q. 試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.圖3拓展延伸如圖4，ABC中，AGBC于點G，分別以AB、AC為一邊向ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點H. 若AB= k AE，AC= k AF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.圖49.（本小題12分）如圖，有一塊塑料矩形模板ABCD，長為10cm，寬為4cm，將你手中足夠大的直角三角板 PHF 的直

5、角頂點P落在AD邊上（不與A、D重合），在AD上適當移動三角板頂點P：（1）、能否使你的三角板兩直角邊分別通過點B與點C？若能，請你求出這時 AP 的長；若不能，請說明理由；（2）、再次移動三角板的位置，使三角板頂點P在AD上移動，直角邊PH始終通過點B，另一直角邊PF與DC的延長線交于點Q，與BC交于點E，能否使CE=2cm？若能，請你求出這時AP的長；若不能，請你說明理由。參考答案1、 證明：（1）四邊形和四邊形都是正方形 3分 4分（2）由（1）得 AMNCDN 2、解：（1）由平移的性質(zhì)得 3分 （2）證明如下：由（1）知四邊形為平行四邊形5分3、（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形

6、 ADBC ABCD ADF=CED B+C=180° AFE+AFD=180 AFE=B AFD=C ADFDEC(2)解：四邊形ABCD是平行四邊形ADBC CD=AB=4 又AEBC AEAD 在RtADE中，DE= ADFDEC AF=4、（1）證明：為正方形， 1分 3分又 5分（2）解：為正方形， 7分又正方形的邊長為4 9分5解：（1）作于點，如圖（3）所示，則四邊形為矩形1分又2分在中，由勾股定理得：3分圖（3）CcDcAcBcQcPcEc（2）假設(shè)與相互平分由則是平行四邊形（此時在上） 4分即 5分解得即秒時，與相互平分 7分（3）當在上，即時，作于，則即 8分=

7、9分當秒時，有最大值為 10分當在上，即時，= 11分易知隨的增大而減小故當秒時，有最大值為綜上，當時，有最大值為 12分6、（本題滿分9分）圖DEFx解：由m，m2，可得m由圖1，若設(shè)甲設(shè)計的正方形桌面邊長為xm，由，得m 4分由圖2，過點作斜邊上的高交于，交于由m，2m，得（m）由可得，m6分設(shè)乙設(shè)計的桌面的邊長為ym，GACFD圖HPy，即，解得m甲同學(xué)設(shè)計的方案較好7、答案：（1）用邊角邊證明AOE和BOF全等，即可證得AE=BF(2)取OE的中點G,得到等邊AOG，等到AGO=60°，又由AG=EG得到AEO30°，從而得到OAE是90°，即為直角三角形

8、。8.解：情境觀察AD（或AD），90 問題探究結(jié)論：EP=FQ. 證明：ABE是等腰三角形，AB=AE，BAE=90°.BAG+EAP=90°.AGBC，BAG+ABG=90°，ABG=EAP.EPAG，AGB=EPA=90°，RtABGRtEAP. AG=EP.同理AG=FQ. EP=FQ. 拓展延伸結(jié)論： HE=HF. 理由：過點E作EPGA，F(xiàn)QGA，垂足分別為P、Q.四邊形ABME是矩形，BAE=90°，BAG+EAP=90°.AGBC，BAG+ABG=90°，ABG=EAP.AGB=EPA=90°，AB

9、GEAP， = . 同理ACGFAQ， = . AB= k AE，AC= k AF， = = k， = . EP=FQ. 9解：結(jié)論：能 設(shè)AP=xcm，則PD=(10-x)cm 因為A=D=90°，BPC=90°， 所以DPC=ABP 所以ABPDPC 則AB/PD=AP/DC，即AB·DC=PD·AP 所以4×4=X(10-X)， 即 x2-10x+16=0 解得 x1=2，x2=8 所以AP=2cm或8 cm 結(jié)論：能 設(shè)AP=Xcm，CQ=y cm 由于ABCD是矩形，HPF=90°， 所以BAPECQ， BAPPDQ 所以A

10、P·CE=AB·CO，AP·PD=AB·DQ， 所以2x=4y，即y=x/2， x(10-x)=4(4+y) 消去y，得x2-8x+16=0， 解得x1=x2=4，即AP=4cm一、選擇題（每小題6分，共48分）1在ABC中，D、F是AB上的點，E、H是AC上的點，直線DE/FH/BC，且DE、FH將ABC分成面積相等的三部分，若線段FH=，則BC的長為（ ） A15 B10 C. D2在ABC中，DE/BC，DE交AB于D，交AC于E，且SADE：S四邊形DBCE=1：2，則梯形的高與三角形的邊BC上的高的比為（ ）A1： B1： C1： D：3在Rt

11、ABC中，C=90°，CD是斜邊AB上的高，AC=5，BC=8，則SACD：SCBD為（ ） ABC D 4如圖151，D、E、F是ABC的三邊中點，設(shè)DEF的面積為4，ABC的周長為9，則DEF的周長與ABC的面積分別是（ ）A. ，16B. 9，4C. ，8D. ，165如圖152，在ABC中，ADBC于D，下列條件：（1）B+DAC=90°；（2）B=DAC；（3）；（4）AB2=BD·BC。其中一定能夠判定ABC是直角三角形的共有（ ）A3個 B2個 C1個D0個6如圖153，在正三角形ABC中，D，E分別在AC，AB上，且，AE=BE，則有（ ）A. A

12、EDBED BAEDCBD C. AEDABD DBADBCD7如圖154，PQ/RS/AC，RS=6，PQ=9，則AB等于（ ） A. B. C. D. 58如圖155，平行四邊形ABCD中，O1、O2、O3是BD的四等分點，連接AO1，并延長交BC于E，連接EO2，并延長交AD于F，則等于（ ）A：1 B3：1 C3：2 D. 7：39如果一個三角形的一條高分這個三角形為兩個相似三角形，那么這個三角形必是（ ）A等腰三角形B. 任意三角形C直角三角形D直角三角形或等腰三角形10在ABC和A'B'C'中，AB： AC=A'B'：A'C'

13、，B=B'，則這兩個三角形（ ）A相似，但不全等 B全等C一定相似 D無法判斷是否相似11如圖161，正方形ABCD中，E是AB上的任一點，作EFBD于F，則為（ ）A B C D 12如圖162，把ABC沿邊AB平移到A'B'C'的位置，它們的重疊部分（圖中陰影部分）的面積是ABC的面積的一半，若，則此三角形移動的距離AA'是（ ）A B C1 D 13如圖163，在四邊形ABCD中，A=135°，B=D=90°，BC=，AD=2，則四邊形ABCD的面積是（ ）A B C4 D614如圖164，平行四邊形ABCD中，G是BC延長線上

14、一點，AG與BD交于點E，與DC交于點F，則圖中相似三角形共有（ ）A3對 B4對 C5對 D6對15在直角三角形中，斜邊上的高為6cm，且把斜邊分成3：2兩段，則斜邊上的中線的長為（ ）A. cm Bcm Ccm Dcm16AD為RtABC斜邊BC上的高，作DEAC于E，則=（ ）A B C D17如圖165，ABC中，AB=AC，A=36°，BD平分ABC，已知AB=m，BC=n，求CD的長。甲同學(xué)求得CD=mn，乙同學(xué)求得,下列判斷正確的是（ ） A甲、乙都正確 B甲正確、乙不正確 C甲不正確、乙正確 D甲、乙都不正確18如圖166，在直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，B

15、C=3。如果邊AB上的點P使得以P、A、D為頂點的三角形和以P、B、C為頂點的三角形相似，那么這樣的點P有（ ）A1個 B2個 C. 3個 D4個二、填空題（每小題4分，共16分）20如圖156，在RtABC中，ACB=90°，CDAB，AC=6，AD=3.6，則BC=_。21等腰三角形底邊上的高為8，周長為32，則此三角形的面積是_。22在ABC中，BD，CE分別為AC、AB邊上的中線，M、N分別是BD，CE的中點，則MN：BC=_。23在ABC中，DE/BC，D、E分別在AB、AC邊上，若AD=1，DB=2，那么=_。24平行于ABC的邊AB的直線交CA于E，交CB于F，若直線E

16、F把ABC分成面積相等的兩部分，則CE：CA=_。25RtABC中，CD是斜邊AB上的高，該圖中共有x個三角形與ABC相似，則x=_。26在ABC中，點D在線段BC上，BAC=ADC，AC=8，BC=16，則CD=_。三、計算題（本大題共86分）27如圖157，ABC為直角三角形，ABC=90°，以AB為邊向外作正方形ABDE，連接EC交AB于P點，過P作PQ/BC交AC于點Q。證明PQ=PB。28如圖158，已知DE/AB，EF/BC。求證：DEFABC。29在RtABC中，C=90°，CDAB于D，S2BCD=SABC·SADC。求證：BD=AC。30如圖15

17、9，在平行四邊形ABCD中，E為AB的中點，在AD上取一點F，使，連接FE交CB的延長線于H，交AC于G，求證。34如圖1510，已知AD是ABC的中線，過ABC的頂點C任作一直線分別交AB、AD于點F和點E，證明：AE·FB=2AF·ED。32如圖1511，在ABC中，A、B、C的對邊分別是a、b、c。點P是AB上一個動點（P與A、B不重合）。連接PC，過P作PQ/AC交BC于Q點。33如圖167，在ABC中，BD是AC邊上的中線，BE=AB,且AE與BD交于F點，求證：。34如圖168，APD=90°，AP=PB=BC=CD，找出圖中兩個相似的三角形，并給出證

18、明。35如圖169，AD、BE是ABC的高，DFAB于F，DF交BE于G，F(xiàn)D的延長線交AC的延長線于H，求證DF2=FG·FH。36如圖1610，AP是ABC的高，點D、G分別在AB、AC上，點E、F在BC上，四邊形DEFG是矩形，AP=h，BC=a，（1）設(shè)DG=x，S矩形DEFG=y，試用a、h、x表示y；（2）按題設(shè)要求得到的無數(shù)個矩形中是否能找到兩個不同的矩形，使它們的面積和等于ABC的面積？選修4-1第一講相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)綜合測試【試題答案】一、選擇題（每小題6分，共60分） 1. A2. D3. B 4. A解析：如圖D124所示，D、E、F分別為ABC三邊中

19、點，且又故選A 5. A解析：驗證法：（1）不能判定ABC為直角三角形B+DAC=90°，而B+DAB=90°，BAD=DAC同理B=C，不能判定BAD+DAC等于90°；（2）中B=DAC，C為公共角，ABCDAC。DAC為直角三角形，ABC為直角三角形；在（3）中，可得ACDBAD，BAD=C，B=DAC，BAD+DAC=90°；（4）中AB2=BD·BC，即，B為公共角，ABCDBA，即ABC為直角三角形。正確命題有3個選A。6. B解析：直接法。注意到A=C=60°可設(shè)AD=a，則AC=3a，而AB=AC=BC=3a所以AE=

20、BE=，所以。又，所以，A=C=60°，故AEDCBD，選B。7. A 8. B9. D 10. D 11. A 12. C13. C解析：由B=D=90°，于是設(shè)想構(gòu)造直角三角形，延長BA與CD，它們的延長線交于E，則得到RtBCE和RtADE由題目條件知，ADE為等腰直角三角形，DE=AD=2，SADE=×2×2=2. 又可證RtEBCRtEDA，選C14. D解析：由AB/CD，可得CGFBGA，ABEFDE又由AD/BC，可得CGFDAF，AEDGEB還可得DAFBGA，ABDCDB，故共有6對。15. A 16. A 17. A18. C解析：直接法。假設(shè)有一點P，連接PD、PC設(shè)AP=x，則PB=7x圖D126（1）若PADPBC，則，即得符合條件。 （2）若PADCBP，即，解得也符合條件故滿足條件的點P有3個。二、填空題（每小題4分，16分）19. 解析：設(shè)三邊長ad，a，a+d（d>0），則（a+d）2=a2+（ad）2，a=4d 三邊之比為3：4：520. 8 21. 48 22. 1：423. 4 24. 25. 2 解析：ACDABC，CBDABC26. 4解析：由BACADC可知三、解答題（本大題共74分）27. 證明：PQ/B