熱力學統(tǒng)計物理期末復習試題

1、一. 填空題 1. 設一多元復相系有個相，每相有個組元，組元之間不起化學反應。此系統(tǒng)平衡時必同時滿足條件： 、 、 2. 熱力學第三定律的兩種表述分別叫做： 能特斯定律 和 絕對零度不能達到定律 。3.假定一系統(tǒng)僅由兩個全同玻色粒子組成，粒子可能的量子態(tài)有4種。則系統(tǒng)可能的微觀態(tài)數(shù)為：10 。4.均勻系的平衡條件是 且 ；平衡穩(wěn)定性條件是 且 。5玻色分布表為 ；費米分布表為 ；玻耳茲曼分布表為 。當滿足條件 時，玻色分布和費米分布均過渡到玻耳茲曼分布。6 熱力學系統(tǒng)的四個狀態(tài)量所滿足的麥克斯韋關(guān)系為 , , 。7. 玻耳茲曼系統(tǒng)粒子配分函數(shù)用表示，內(nèi)能統(tǒng)計表達式為 廣義力統(tǒng)計表達式為，熵的統(tǒng)

2、計表達式為 ，自由能的統(tǒng)計表達式為 。8.單元開系的內(nèi)能、自由能、焓和吉布斯函數(shù)所滿足的全微分是： ， ， ， 。9. 均勻開系的克勞修斯方程組包含如下四個微分方程： ， ， ， 10. 等溫等容條件下系統(tǒng)中發(fā)生的自發(fā)過程，總是朝著自由能減小方向進行，當自由能減小到極小值時，系統(tǒng)達到平衡態(tài)；處在等溫等壓條件下的系統(tǒng)中發(fā)生的自發(fā)過程，總是朝著吉布斯函數(shù)減小的方向進行，當吉布斯函數(shù)減小到極小值時，系統(tǒng)達到平衡態(tài)。11.對于含N個分子的雙原子分子理想氣體，在一般溫度下，原子內(nèi)部電子的運動對熱容量 無貢獻 ；溫度大大于振動特征溫度時，；溫度小小于轉(zhuǎn)動特征溫度時， 。溫度大大于轉(zhuǎn)動特征溫度而小小于動特征

3、溫度時， 。12.玻耳茲曼系統(tǒng)的特點是：系統(tǒng)由全同可分辨粒子組成；粒子運動狀態(tài)用 量子態(tài) 來描寫；確定每個粒子的量子態(tài)即可確定系統(tǒng)的微觀態(tài)；粒子所處的狀態(tài)不受泡利不相容原子的約束。13 準靜態(tài)過程是指 過程進行中的每一個中間態(tài)均可視為平衡態(tài) 的過程；無摩擦準靜態(tài)過程的特點是 外界對系綜的作用力，可用系統(tǒng)的狀態(tài)參量表示出來。14.絕熱過程是指，系統(tǒng)狀態(tài)的改變，完全是機械或電磁作用的結(jié)果，而沒有受到其他任何影響 的過程。在絕熱過程中，外界對系統(tǒng)所做的功 與具體的過程 無關(guān)，僅由 初終兩態(tài) 決定。二簡述題1. 寫出系統(tǒng)處在平衡態(tài)的自由能判據(jù)。一個處在溫度和體積不變條件下的系統(tǒng)，處在穩(wěn)定平衡態(tài)的充要條

4、件是，對于各種可能的有限虛變動，所引起的自由能的改變均大于零。即。2. 寫出系統(tǒng)處在平衡態(tài)的吉布斯函數(shù)判據(jù)。一個處在溫度和壓強不變條件下的系統(tǒng)，處在穩(wěn)定平衡態(tài)的充要條件是，對于各種可能的有限虛變動，所引起的吉布斯函數(shù)的改變均大于零。即。3. 寫出系統(tǒng)處在平衡態(tài)的熵判據(jù)。一個處在內(nèi)能和體積不變條件下的系統(tǒng)，處在穩(wěn)定平衡態(tài)的充要條件是，對于各種可能的有限虛變動，所引起的熵變均小于零。即 4.玻爾茲曼關(guān)系與熵的統(tǒng)計解釋。 由波耳茲曼關(guān)系 可知，系統(tǒng)熵的大小反映出系統(tǒng)在該宏觀狀態(tài)下所具有的可能的微觀狀態(tài)的多少。而可能的微觀狀態(tài)的多少，反映出在該宏觀平衡態(tài)下系統(tǒng)的混亂度的大小。故，熵是系統(tǒng)內(nèi)部混亂度的量

5、度。5. 為什么在常溫或低溫下原子內(nèi)部的電子對熱容量沒有貢獻？不考慮能級的精細結(jié)構(gòu)時，原子內(nèi)的電子激發(fā)態(tài)與基態(tài)的能量差為，相應的特征溫度為。在常溫或低溫下，電子通過熱運動獲得如此大的能量而躍遷到激發(fā)態(tài)的概率幾乎為零，平均而言電子被凍結(jié)基態(tài)，因此對熱容量沒有貢獻。6. 為什么在常溫或低溫下雙原子分子的振動對熱容量貢獻可以忽略？ 因為雙原子分子的振動特征溫度，在常溫或低溫下 ，振子通過熱運動獲得能量 從而躍遷到激發(fā)態(tài)的概率極小，因此對熱容量的貢獻可以忽略。7. 能量均分定理。 對于處在平衡態(tài)的經(jīng)典系統(tǒng)，當系統(tǒng)的溫度為T時，粒子能量 的表達式中的每一個獨立平方項的平均值為。8等概率原理。對于處在平衡

6、態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)的各種可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。9 系統(tǒng)的基本熱力學函數(shù)有哪些？什么叫特性函數(shù)？什么叫自然參量。 基本熱力學函數(shù)有：物態(tài)方程 ，內(nèi)能，熵。 特性函數(shù)：適當選擇獨立變量，只要知道一個熱力學函數(shù)就可以求偏導數(shù)而求得均勻系統(tǒng)的全部熱力學函數(shù)，從而把均勻系統(tǒng)的平衡性質(zhì)確定，這個熱力學函數(shù)稱為特性函數(shù)。11試說明，在應用經(jīng)典理論的能量均分定理求理想氣體的熱容量時，出現(xiàn)哪些與實驗不符的結(jié)論或無法解釋的問題（至少例舉三項）？12. 最大功原理 系統(tǒng)在等溫等容過程中對外所做的功不大于其自由能的減?。?wFa-Fb） 在等溫等壓條件下，能夠從系統(tǒng)獲得的最大體變功等于系統(tǒng)吉布斯函數(shù)的減小

7、。13. 寫出能斯特定理的內(nèi)容 凝聚態(tài)的熵在等溫過程中的改變隨絕對溫度趨于零14 什么是近獨立粒子系統(tǒng) 粒子之間的相互作用力很弱，相互作用的平均能量遠小于單個粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之間的相互作用15 單元復相系達到平衡時所滿足的相變平衡條件是什么？如果該平衡條件未能滿足，變化將朝著怎樣的方向進行？ 相變平衡條件： 變化方向：（P82）16 寫出吉布斯相律的表達式，并說明各物理量的含義。 F=k+2- F:多元復相系的自由度，是多元復相系可以獨立改變的強度量變量的數(shù)目。 k：系統(tǒng)的組元數(shù) ：系統(tǒng)的相數(shù)17. 寫玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、費米系統(tǒng)的微觀態(tài)數(shù)統(tǒng)計表達式，并說明它們之間的聯(lián)系。

8、 與分布相應的，玻色系統(tǒng)微觀狀態(tài)數(shù)為 ；費米系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù) ；玻耳茲曼系統(tǒng)微觀狀態(tài)數(shù)為。當滿足條件經(jīng)典近似條件時，三種微觀狀態(tài)數(shù)之間的關(guān)系為 。 18. 為什么說，對于一個處在平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，可以將粒子的最概然分布視為粒子的平衡態(tài)分布？19 試說明，在應用經(jīng)典理論的能量均分定理求固體熱容量時，出現(xiàn)哪些與實驗不符的結(jié)論或無法解釋的問題？在低溫范圍內(nèi)，實驗發(fā)現(xiàn)固體的熱容量隨溫度降低地很快，當溫度趨近絕對零度時，熱容量也趨于零.對于金屬的自由電子，如果將能量的均分定理應用于電子，自由電子的熱容量與離子振動的熱容量將有相同的數(shù)量級，實驗結(jié)果是3k以上的自由電子的熱容量與離子振動的熱容量相比可以忽略

9、不計。三. 選擇題1.系統(tǒng)自某一狀態(tài)A開始，分別經(jīng)兩個不同的過程到達終態(tài)B。下面說法正確的是 B（A）在兩個過程中吸收的熱量相同時，內(nèi)能的改變就一定相同（B）只有在兩個過程中吸熱相同且做功也相同時，內(nèi)能的改變才會相同（C）經(jīng)歷的過程不同，內(nèi)能的改變不可能相同（D）上面三種說法都是錯誤的2.下列各式中不正確的是 A（A） （B） （C） （D） 3.吉布斯函數(shù)作為特性函數(shù)應選取的獨立態(tài)參量是 B（A）溫度和體積 （B）溫度和壓強（C）熵和體積 （D）熵和壓強（D）孤立的系統(tǒng)4.費米統(tǒng)計的巨配分函數(shù)用表示，則熵的統(tǒng)計表達式是 C（A） （B）（C） （D）5.自由能作為特性函數(shù)應選取的獨立態(tài)參量是

10、 A（A）溫度和體積 B）溫度和壓強 （C）熵和體積 （D）熵和壓強6.由熱力學基本方程可得麥克斯韋關(guān)系 D（A） （B）（C） （D） 7.將平衡輻射場視為處在平衡態(tài)的光子氣體系統(tǒng)，下面說法不正確的是 （A）這是一個玻色系統(tǒng) （B）這是一個能量和粒子數(shù)守恒的系統(tǒng)（C）系統(tǒng)中光子的分布遵從玻色分布（D）這是一個非定域系統(tǒng)8.封閉系統(tǒng)指 C（A）與外界無物質(zhì)和能量交換的系統(tǒng)（B）能量守衡的系統(tǒng)（C）與外界無物質(zhì)交換但可能有能量交換的系統(tǒng)9.下列系統(tǒng)中適合用玻爾茲曼分布規(guī)律處理的系統(tǒng)有 B（A）經(jīng)典系統(tǒng)（B）滿足非簡并條件的玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)（C）滿足弱簡并性條件的玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)（D）非定域體

11、系統(tǒng)10. 和分別是雙原子分子的振動特征溫度和轉(zhuǎn)動特征溫度，下面說法正確的是（A）時，振動自由度完全“解凍”，但轉(zhuǎn)動自由度仍被“凍結(jié)”。（B）時，轉(zhuǎn)動自由度完全“解凍”，但振動自由度仍被“凍結(jié)”（C）時，振動自由度和轉(zhuǎn)動自由度均完全“解凍”。（D）時，振動自由度和轉(zhuǎn)動自由度均完全“解凍”。11.氣體的非簡并條件是 D （A）分子平均動能遠遠大于 （B）分子平均距離極大于它的尺度（C）分子數(shù)密度遠遠小于1 （D）分子平均距離遠大于分子德布羅意波的平均熱波長12.不考慮粒子自旋，在邊長L的正方形區(qū)域內(nèi)運動的二維自由粒子，其中動量的大小處在范圍的粒子可能的量子態(tài)數(shù)為 B（A） （B） （C） （D）

12、五. 推導與證明1.試用麥克斯韋關(guān)系，導出方程，假定可視為常量，由此導出理想氣體的絕熱過程方程（常量）。解：，由麥氏關(guān)系，絕熱過程，理想氣體，積分得（常量）， 故：，即：（常量）2. 證明: 證明：選T, V 為獨立變量，則 而， 故 3.證明焓態(tài)方程：。證：選T、p作為狀態(tài)參量時，有 （1） （2）而， （3）（2）代入（3）得： （4）比較（1）、（4）得： （5） （6）將麥氏關(guān)系代入（6），即得4.導出含有N個原子的愛因斯坦固體的內(nèi)能和熱容量表達式： ， 解：按愛因斯坦假設，將N個原子的運動視為3N個線性諧振子的振動，且所有諧振子的振動頻率相同。諧振子的能級為：則，振子的配分函數(shù)為：

13、引入愛因斯坦特征溫度：，即得：5. 導出愛因斯坦固體的熵表達式：解：設固體系統(tǒng)含有N個原子，按愛因斯坦假設，將N個原子的運動視為3N個線性諧振子的振動，且所有諧振子的振動頻率相同。諧振子的能級為：則，振子的配分函數(shù)為：6.證明，對于一維自由粒子，在長度內(nèi)，能量在的范圍內(nèi)，可能的量子態(tài)數(shù)為。證：由量子態(tài)與相空間體積元之間的對應關(guān)系，對于一維自由粒子，在相空間體積元內(nèi)的可能的量子態(tài)數(shù)為。 因此，在長度內(nèi)，動量大小在范圍內(nèi)粒子的可能的量子態(tài)數(shù)為而，故，在長度內(nèi)，能量在范圍內(nèi)，可能的量子態(tài)數(shù)為。7. 證明: 證明：， 由全微分條件得：證明：由， 令 得： 8.導出普朗克黑體輻射公式。解：在體積V內(nèi)，動

14、量在 范圍的光子的量子態(tài)數(shù)為因為，光子氣體是玻色系統(tǒng)遵從玻色分布，由于系統(tǒng)的光子數(shù)不守恒，每個量子態(tài)上平均光子數(shù)為又 所以，在體積V內(nèi)，圓頻率在范圍內(nèi)的光子的量子態(tài)數(shù)為在此范圍內(nèi)的光子數(shù)為 故，在此范圍內(nèi)的輻射能量為：9.對于給定系統(tǒng)，若已知 ，求此系統(tǒng)的物態(tài)方程。解：設物態(tài)方程為，則 （1） （2）將和代入（2）得 （3）將和（3）代入（1）得積分得： ，即：11.已知氣體系統(tǒng)通常滿足經(jīng)典極限條件且粒子動量和能量準連續(xù)變化，采用量子統(tǒng)計方法導出單原子分子理想氣體的內(nèi)能。解：氣體系統(tǒng)遵從玻耳茲曼分布，粒子配分函數(shù)為（對所有量子態(tài)s求和）當粒子能量準連續(xù)變化時，上述對量子態(tài)求和可用空間積分替代。因為，在6維空間中，范圍內(nèi)的粒子，其可能的量子態(tài)數(shù)為且，粒子的能量為：。所以即， 而 由內(nèi)能的統(tǒng)計表達式 ，得： 12. 證明: 證： （1） （2）（2）代入（1） （3）將麥氏關(guān)系：代入（3）得13. 證明，理想氣體的摩爾自由能為：證明：選T, V 為獨立變量，則理想氣體的物態(tài)方程為： ， ，故: ， 14.證明，對于二維自由粒子，在面積內(nèi)，能量在范圍內(nèi)，可能的量子態(tài)數(shù)為。證：由量子態(tài)