高中數(shù)學(xué)必修2立體幾何專題二面角典型例題解法總結(jié)

1、二面角的求法一、 定義法： 從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角, 這條直線叫做二面角的棱, 這兩個半平面叫做二面角的面，在棱上取點，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角。本定義為解題提供了添輔助線的一種規(guī)律。如例1中從二面角SAMB中半平面ABM上的一已知點（B）向棱AM作垂線，得垂足（F）；在另一半平面ASM內(nèi)過該垂足（F）作棱AM的垂線（如GF），這兩條垂線（BF、GF）便形成該二面角的一個平面角，再在該平面角內(nèi)建立一個可解三角形，然后借助直角三角函數(shù)、正弦定理與余弦定理解題。例1 如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，點M在側(cè)棱上，=60&

2、#176;（I）證明：M在側(cè)棱的中點（II）求二面角的大小。證（I）略 FG解（II）：利用二面角的定義。在等邊三角形中過點作交于點，則點為AM的中點，過F點在平面ASM內(nèi)作，GF交AS于G，連結(jié)AC，ADCADS，AS-AC，且M是SC的中點，AMSC， GFAM，GFAS，又為AM的中點，GF是AMS的中位線，點G是AS的中點。則即為所求二面角. ，則，F(xiàn)G又，是等邊三角形，。在中，二面角的大小為練習(xí)1如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA平面ABCD，,E，F(xiàn)分別是BC, PC的中點.（）證明：AEPD; （）若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二

3、面角EAFC的余弦值.分析：第1題容易發(fā)現(xiàn)，可通過證AEAD后推出AE平面APD，使命題獲證，而第2題，則首先必須在找到最大角正切值有關(guān)的線段計算出各線段的長度之后，考慮到運用在二面角的棱AF上找到可計算二面角的平面角的頂點S，和兩邊SE與SC，進(jìn)而計算二面角的余弦值。（答案：二面角的余弦值為）二、三垂線法三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直通常當(dāng)點P在一個半平面上則通常用三垂線定理法求二面角的大小。本定理亦提供了另一種添輔助線的一般規(guī)律。如（例2）過二面角B-FC-C中半平面BFC上的一已知點B作另一半平面FC1C的垂線，得垂足O；再過該

4、垂足O作棱FC1的垂線，得垂足P，連結(jié)起點與終點得斜線段PB，便形成了三垂線定理的基本構(gòu)圖（斜線PB、垂線BO、射影OP）。再解直角三角形求二面角的度數(shù)。E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 例2如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點。（1） 證明：直線EE/平面FCC；（2） 求二面角B-FC-C的余弦值。 E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P 證（1）略解（2）因為AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中點,所以BF=BC

5、=CF,BCF為正三角形,取CF的中點O,則OBCF,又因為直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1平面ABCD,所以CC1BO,所以O(shè)B平面CC1F,過O在平面CC1F內(nèi)作OPC1F,垂足為P,連接BP,則OPB為二面角B-FC-C的一個平面角, 在BCF為正三角形中,在RtCC1F中, OPFCC1F, 在RtOPF中,所以二面角B-FC-C的余弦值為.練習(xí)2如圖，在四棱錐中，底面是矩形已知（）證明平面；（）求異面直線與所成的角的大?。唬ǎ┣蠖娼堑拇笮BCEDP分析：本題是一道典型的利用三垂線定理求二面角問題，在證明AD平面PAB后，容易發(fā)現(xiàn)平面PAB平面ABCD，點P 就是二面角P-BD

6、-A的半平面上的一個點，于是可過點P作棱BD的垂線，再作平面ABCD的垂線，于是可形成三垂線定理中的斜線與射影內(nèi)容，從而可得本解法。（答案：二面角的大小為）三補棱法本法是針對在解構(gòu)成二面角的兩個半平面沒有明確交線的求二面角題目時，要將兩平面的圖形補充完整，使之有明確的交線（稱為補棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題。即當(dāng)二平面沒有明確的交線時，一般用補棱法解決 例3如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，BCD60°，E是CD的中點，PA底面ABCD，PA2. （）證明：平面PBE平面PAB;（）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.ABCEDPF

7、GH分析：本題的平面PAD和平面PBE沒有明確的交線，依本法顯然要補充完整（延長AD、BE相交于點F，連結(jié)PF.）再在完整圖形中的PF.上找一個適合的點形成二面角的平面角解之。（）證略解: （）延長AD、BE相交于點F，連結(jié)PF.過點A作AHPB于H，由（）知平面PBE平面PAB,所以AH平面PBE.在RtABF中，因為BAF60°，所以，AF=2AB=2=AP.在等腰RtPAF中，取PF的中點G，連接AG.則AGPF.連結(jié)HG，由三垂線定理的逆定理得，PFHG.所以AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（銳角）.在等腰RtPAF中， 在RtPAB中， 所以，在RtAHG中

8、， ACBB1C1A1L故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是練習(xí)3已知斜三棱柱ABCA1B1C1的棱長都是a，側(cè)棱與底面成600的角，側(cè)面BCC1B1底面ABC。（1）求證：AC1BC；（2）求平面AB1C1與平面 ABC所成的二面角（銳角）的大小。提示：本題需要補棱，可過A點作CB的平行線L（答案：所成的二面角為45O）四、射影面積法（）ACBP凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（cos）求出二面角的大小。例4如圖，在三棱錐中，（）求證：；（）求二面角的大??；ACBEP分析：本題要求二面角BAPC的大小，如果利用射影面

9、積法解題，不難想到在平面ABP與平面ACP中建立一對原圖形與射影圖形并分別求出S原與S射于是得到下面解法。解：（）證略（），又，又，即，且，平面取中點連結(jié)，是在平面內(nèi)的射影，ACE是ABE在平面ACP內(nèi)的射影，A1D1B1C1EDBCA圖5于是可求得：，則，設(shè)二面角的大小為，則二面角的大小為練習(xí)4： 如圖5，E為正方體ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中點，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成銳角的余弦值.分析 平面AB1E與底面A1B1C1D1交線即二面角的棱沒有給出，要找到二面角的平面角，則必須先作兩個平面的交線，這給解題帶來一定的難度?？紤]到三角形AB1E在平面A1B1C1D1上的

10、射影是三角形A1B1C1，從而求得兩個三角形的面積即可求得二面角的大小。（答案：所求二面角的余弦值為cos=）.五、向量法向量法解立體幾何中是一種十分簡捷的也是非常傳統(tǒng)的解法，可以說所有的立體幾何題都可以用向量法求解，用向量法解立體幾何題時，通常要建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點的坐標(biāo)，然后將幾何圖中的線段寫成用坐標(biāo)法表示的向量，進(jìn)行向量計算解題。例4：如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M為EC的中點，AF=AB=BC=FE=AD (I) 求異面直線BF與DE所成的角的大??；(II) 證明平面AMD平面CDE；求二面角A-CD-E的余弦值。 現(xiàn)在我們用向量法解答：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，以點為坐標(biāo)原點。設(shè)依題意得 （I） 所以異面直線與所成的角的大小為.（II）證明： ， （III） 又由題設(shè)，平面的一個法向量為練習(xí)5、如圖，在直三棱柱中，平面?zhèn)让?（）求證：；（）若直線與平面所成的角為,二面角的大小為，試判斷與的大小關(guān)系，并予以證明.分析：由已