計算機(jī)圖形學(xué)期末復(fù)習(xí)練習(xí)題有答案

1、1、 XOY平面上特征多邊形頂點(diǎn)P1(0,0)，P2(1,1)，P3(2,-1)，P4(3,0)確定一條三次Bezier曲線P(t)，。用遞推(de Casteljau)算法求解P(1/2)。4Bezier曲線的遞推(de Casteljau)算法    計算Bezier曲線上的點(diǎn)，可用Bezier曲線方程，但使用de Casteljau提出的遞推算法則要簡單的多。如圖所示，設(shè)、是一條拋物線上順序三個不同的點(diǎn)。過和點(diǎn)的兩切線交于點(diǎn)，在點(diǎn)的切線交和于和，則如下比例成立：,這是所謂拋物線的三切線定理，其幾何意義如下圖所示。圖 拋物線的三切線定理當(dāng)P0，P2固定，引入?yún)?/p>

2、數(shù)t，令上述比值為t:(1-t)，即有：    t從0變到1，第一、二式就分別表示控制二邊形的第一、二條邊，它們正好是兩條一次Bezier曲線。將一、二式代入第三式得：當(dāng)t從0變到1時，它正好表示了由三頂點(diǎn)P0、P1、P2三點(diǎn)定義的一條二次Bezier曲線。并且表明：這二次Bezier曲線P20可以定義為分別由前兩個頂點(diǎn)（P0，P1）和后兩個頂點(diǎn)（P1，P2）決定的一次Bezier曲線的線性組合。依次類推，由四個控制點(diǎn)定義的三次Bezier曲線P30可被定義為分別由(P0，P1，P2)和(P1，P2，P3)確定的二條二次Bezier曲線的線性組合；進(jìn)一步由(n+1

3、)個控制點(diǎn)Pi(i=0, 1, ., n)定義的n次Bezier曲線Pn0可被定義為分別由前、后n個控制點(diǎn)定義的兩條(n-1)次Bezier曲線P0n-1與P1n-1的線性組合：由此得到Bezier曲線的遞推計算公式：    這便是著名的de Casteljau算法。用這一遞推公式，在給定參數(shù)下，求Bezier曲線上一點(diǎn)P(t)非常有效。上式中：是定義Bezier曲線的控制點(diǎn)，即為曲線上具有參數(shù)t的點(diǎn)。de Casteljau算法穩(wěn)定可靠，直觀簡便，可以編出十分簡捷的程序，是計算Bezier曲線的基本算法和標(biāo)準(zhǔn)算法。function deCasteljau(i,j

4、) begin if i = 0 then return P0,j else return (1-u)* deCasteljau(i-1,j) + u* deCasteljau(i-1,j+1) end 這一算法可用簡單的幾何作圖來實(shí)現(xiàn)。給定參數(shù)，就把定義域分成長度為的兩段。依次對原始控制多邊形每一邊執(zhí)行同樣的定比分割，所得分點(diǎn)就是第一級遞推生成的中間頂點(diǎn)，對這些中間頂點(diǎn)構(gòu)成的控制多邊形再執(zhí)行同樣的定比分割，得第二級中間頂點(diǎn)。重復(fù)進(jìn)行下去，直到n級遞推得到一個中間頂點(diǎn)即為所求曲線上的點(diǎn)。下圖所示為幾何作圖求三次Bezier曲線（給定參數(shù)域）上t1/3的點(diǎn)。把定義域分成長度為1/3 : (1-1

5、/3)的兩段。依次對原始控制多邊形每一邊執(zhí)行同樣的定比分割，所得分點(diǎn)就是第一級遞推生成的中間頂點(diǎn)、，對這些中間頂點(diǎn)構(gòu)成的控制多邊形再執(zhí)行同樣的定比分割，得第二級中間頂點(diǎn)、。重復(fù)進(jìn)行下去，直到第3級遞推得到一個中間頂點(diǎn)即為所求曲線上的點(diǎn)P（t）。圖 幾何作圖法求Bezier曲線上一點(diǎn)（n=3，t=1/3）上述過程的de casteljau算法遞推出的Pki呈三角形，對應(yīng)結(jié)果如圖所示。遞歸算法是上述過程的逆過程，首先從上向下遞歸，直到最底層后開始返回，最頂部點(diǎn)P30即為曲線上的點(diǎn)。圖 n=3時，Pin的遞推關(guān)系另外，這一算法隱含說明任一Bezier曲線均可被分割為兩段Bezier曲線。第一段由P0

6、、P01、P02、P03確定，參數(shù)空間為0,1/3;第二段P03、P12、P21、P3確定，參數(shù)空間為1/3,1,分割后的曲線形狀保持不變。如圖所示。 圖 Bezier曲線的分割（n=3，t=1/3）2、采用Gouraud明暗處理模型計算如圖所示點(diǎn)P的顏色值。P點(diǎn)的顏色值為(0.5, 0, 0.5)*0.4+(0, 0.5, 0.5)*0.6 = (0.2, 0.3, 0.5)3、如圖所示，采用Cohen-Sutherland算法對線段進(jìn)行裁剪時，1） 線段端點(diǎn)P點(diǎn)和Q點(diǎn)的編碼各是多少2） 此時是否需要與窗口的邊界進(jìn)行求交運(yùn)算，為什么（利用點(diǎn)的編碼解釋）？3） 如需要，可以與窗口的哪些邊界求交

7、，為什么？1) c1 = 0100、c2 = 10102) 需要，因?yàn)閏1|c2 ！= 0000 且c1&c2 = 00003) 與R,B和T邊界進(jìn)行求交，因?yàn)閏1&&0100 != 0000, c2&&1000!= 0000, c2&&0010!= 00004、如圖所示多邊形，采用掃描線算法進(jìn)行填充，寫出掃描線Y=5的新邊表和活動邊表（AET表），并解釋邊表結(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的每個域。新邊表活動邊表其中第1項(xiàng)保存當(dāng)前掃描線與邊的交點(diǎn)坐標(biāo)x值；第2項(xiàng)保存從當(dāng)前掃描線到下一條掃描線間x的增量Dx；第3項(xiàng)保存該邊所交的最高掃描線號ymax；第4項(xiàng)保存指向下一條邊的指針。5、 如圖所示三角形ABC，將其關(guān)于B點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)900，采用矩陣的形式計算縮小后三角形各點(diǎn)的規(guī)范化齊次坐標(biāo)，并用OpenGL函數(shù)編程實(shí)現(xiàn)。（20分）變換矩陣：各點(diǎn)的規(guī)范化齊次坐標(biāo)為6、采用Bresenham算法轉(zhuǎn)換直線段，起點(diǎn)x0(2,1)、終點(diǎn)x1(12,5)。1、給出判別式d的表達(dá)式（初始條件及遞推關(guān)系式）：2、遞推過程中y的坐標(biāo)值及d的值xyd21345678d的表達(dá)式：當(dāng)時，當(dāng)時，判斷條件：當(dāng)di&