二次函數(shù)及其圖象

1、二次函數(shù)及其圖象【課前熱身】1.向上發(fā)射一枚炮彈，經(jīng)x秒后的高度為y公尺，且時(shí)間與高度關(guān)系為y=ax2+bx.若此炮彈在第7秒與第14秒時(shí)的高度相等，則再下列哪一個(gè)時(shí)間的高度是最高的？（ ）A 第8秒 B 第10秒 C第12秒 D第15秒 2.在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)的圖象向上平移2個(gè)單位，所得圖象的解析式為（ ）A B C D3.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）A（2，3） B（2，3） C（2，3） D（2，3）4.二次函數(shù)的最小值是（ ）A2 B1 C3 D 5.拋物線y=2x24x5經(jīng)過平移得到y(tǒng)=2x2，平移方法是（ ） A向左平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位 B向左平移1個(gè)單位，再向

2、上平移3個(gè)單位 C向右平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位 D向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位【參考答案】1. B2. B3. A4. A5. D【考點(diǎn)聚焦】知識(shí)點(diǎn)二次函數(shù)、拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸和開口方向大綱要求1 理解二次函數(shù)的概念；2 會(huì)把二次函數(shù)的一般式化為頂點(diǎn)式，確定圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸和開口方向，會(huì)用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)的圖象；3 會(huì)平移二次函數(shù)yax2(a0)的圖象得到二次函數(shù)ya(axm)2k的圖象，了解特殊與一般相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)化的思想；4 會(huì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；5 利用二次函數(shù)的圖象，了解二次函數(shù)的增減性，會(huì)求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)和函數(shù)的最大值、最小值，了解二

3、次函數(shù)與一元二次方程和不等式之間的聯(lián)系.【備考兵法】考查重點(diǎn)與常見題型1 考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中，如：已知以x為自變量的二次函數(shù)y(m2)x2m2m2額圖象經(jīng)過原點(diǎn)，則m的值是 2 綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象，習(xí)題的特點(diǎn)是在同一直角 坐標(biāo)系內(nèi)考查兩個(gè)函數(shù)的圖象，試題類型為選擇題，如：如圖，如果函數(shù)ykxb的圖象在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)ykx2bx1的圖象大致是（ ） y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3 考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高，習(xí)題類型有中檔解答題和選拔性的

4、綜合題，如：已知一條拋物線經(jīng)過(0,3)，(4,6)兩點(diǎn)，對(duì)稱軸為x，求這條拋物線的解析式.4 考查用配方法求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、二次函數(shù)的極值，有關(guān)試題為解答題，如：已知拋物線yax2bxc（a0）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1、3，與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是（1）確定拋物線的解析式；（2）用配方法確定拋物線的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).5考查代數(shù)與幾何的綜合能力，常見的作為專項(xiàng)壓軸題.拋物線的平移拋物線的平移主要是移動(dòng)頂點(diǎn)的位置，將y=ax2沿著y軸（上“”，下“”）平移k（k>0）個(gè)單位得到函數(shù)y=ax2±k，將y=ax2沿著x軸（右“”，左“”）平移h（h>0）個(gè)單

5、位得到y(tǒng)=a（x±h）2在平移之前先將函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，再來平移，若沿y軸平移則直接在解析式的常數(shù)項(xiàng)后進(jìn)行加減（上加下減），若沿x軸平移則直接在含x的括號(hào)內(nèi)進(jìn)行加減（右減左加）【考點(diǎn)鏈接】1. 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)0yxO0圖 象開 口 對(duì) 稱 軸頂點(diǎn)坐標(biāo)最 值當(dāng)x 時(shí)，y有最 值當(dāng)x ，y有最 值增減性 在對(duì)稱軸左側(cè) y隨x的增大而 y 隨x的增大而 在對(duì)稱軸右側(cè)y隨x的增大而 y隨x的增大而 2. 二次函數(shù)用配方法可化成的形式，其中 ， .3. 二次函數(shù)的圖象和圖象的關(guān)系.4. 二次函數(shù)中的符號(hào)的確定.【典例精析】例1 已知：二次函數(shù)為y=x2x+m，（1）寫出它的圖象的開口

6、方向，對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）m為何值時(shí)，頂點(diǎn)在x軸上方，（3）若拋物線與y軸交于A，過A作ABx軸交拋物線于另一點(diǎn)B，當(dāng)SAOB=4時(shí)，求此二次函數(shù)的解析式 【分析】（1）用配方法可以達(dá)到目的；（2）頂點(diǎn)在x軸的上方，即頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正；（3）ABx軸，A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)是相等的，從而可求出m的值 【解答】（1）由已知y=x2x+m中，二次項(xiàng)系數(shù)a=1>0，開口向上， 又y=x2x+m=x2x+（）2 +m=（x）2+ 對(duì)稱軸是直線x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，） （2）頂點(diǎn)在x軸上方， 頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于0，即>0 m> m>時(shí)，頂點(diǎn)在x軸上方 （3）令x=0，則y=m 即拋物

7、線y=x2x+m與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是A（0，m） ABx軸 B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m 當(dāng)x2x+m=m時(shí)，解得x1=0，x2=1 A（0，m），B（1，m） 在RtBAO中，AB=1，OA=m SAOB =OA·AB=4 m·1=4，m=±8 故所求二次函數(shù)的解析式為y=x2x+8或y=x2x8 【點(diǎn)評(píng)】正確理解并掌握二次函數(shù)中常數(shù)a，b，c的符號(hào)與函數(shù)性質(zhì)及位置的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵之處會(huì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式例2(湖北武漢)如圖，拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，與軸交于另一點(diǎn)（1）求拋物線的解析式；（2）已知點(diǎn)在第一象限的拋物線上，求點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條

8、件下，連接，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)yxOABC【分析】（1）中用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）中考查象限，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)求法；（3）中主要是做出正確的輔助線求解，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】解：（1）拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，解得拋物線的解析式為（2）點(diǎn)在拋物線上，即，或點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)的坐標(biāo)為yxOABCDE由（1）知設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，且，點(diǎn)在軸上，且，即點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1）（3）方法一：作于，于yxOABCDEPF由（1）有：，且，設(shè)，則，點(diǎn)在拋物線上，（舍去）或，方法二：過點(diǎn)作的垂線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于過點(diǎn)作于yxOABCDPQGH，又，由（2）知，直

9、線的解析式為解方程組得點(diǎn)的坐標(biāo)為【迎考精練】一、選擇題1.(上海市)拋物線（是常數(shù)）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）ABCD2.(陜西省)根據(jù)下表中的二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)y的對(duì)應(yīng)值，可判斷二次函數(shù)的圖像與x軸（ ）x1012y12A只有一個(gè)交點(diǎn)B有兩個(gè)交點(diǎn)，且它們分別在y軸兩側(cè)C有兩個(gè)交點(diǎn)，且它們均在y軸同側(cè)D無交點(diǎn)3.（湖北荊門）函數(shù)y=ax1與y=ax2bx1（a0）的圖象可能是（ ）A B C D4.（廣東深圳）二次函數(shù)的圖象如圖2所示，若點(diǎn)A（1，y1）、B（2，y2）是它圖象上的兩點(diǎn)，則y1與y2的大小關(guān)系是（）ABCD不能確定5.（湖北孝感）將函數(shù)的圖象向右平移a個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，則a

10、的值為A1B2C3 D4 6.（天津市）在平面直角坐標(biāo)系中，先將拋物線關(guān)于軸作軸對(duì)稱變換，再將所得的拋物線關(guān)于軸作軸對(duì)稱變換，那么經(jīng)兩次變換后所得的新拋物線的解析式為（ ）ABC.D7.（四川遂寧）把二次函數(shù)用配方法化成的形式 A. B. C. D. 8.(河北)某車的剎車距離y（m）與開始剎車時(shí)的速度x（m/s）之間滿足二次函數(shù)（x0），若該車某次的剎車距離為5 m，則開始剎車時(shí)的速度為（ ）A40 m/sB20 m/sC10 m/sD5 m/s二、填空題1.（北京市）若把代數(shù)式化為的形式，其中為常數(shù)，則=.2.（安徽）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn)（，），且圖象與x軸的另一交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離

11、為1，則該二次函數(shù)的解析式為 3.（湖南郴州）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_4.（內(nèi)蒙古包頭）已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)、，且，與軸的正半軸的交點(diǎn)在的下方下列結(jié)論：；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是 個(gè)yxO3x=15題5.（湖北襄樊）拋物線的圖象如圖所示，則此拋物線的解析式為 6.（湖北荊門）函數(shù)取得最大值時(shí)，_三、解答題1.（湖南衡陽）已知二次函數(shù)的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2），求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式2.（湖南株洲）已知為直角三角形，,點(diǎn)、在軸上，點(diǎn)坐標(biāo)為（，）（），線段與軸相交于點(diǎn)，以（1，0）為頂點(diǎn)的拋物線過點(diǎn)、（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)（用表示）；（2）求拋物線的解析式； （3）設(shè)點(diǎn)為拋物線上點(diǎn)至點(diǎn)之

12、間的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)并延長交于點(diǎn)，連結(jié) 并延長交于點(diǎn)，試證明：為定值3.（湖南常德）已知二次函數(shù)過點(diǎn)A （0，），B（，0），C（） （1）求此二次函數(shù)的解析式； （2）判斷點(diǎn)M（1，）是否在直線AC上？第3題 （3）過點(diǎn)M（1，）作一條直線與二次函數(shù)的圖象交于E、F兩點(diǎn)（不同于A，B，C三點(diǎn)），請(qǐng)自已給出E點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明BEF是直角三角形4. (陜西省) 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OBOA，且OB2OA，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1，2)（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求過點(diǎn)A、O、B的拋物線的表達(dá)式；（3）連接AB，在（2）中的拋物線上求出點(diǎn)P，使得SABPSABO5.(湖北黃岡)新星電子科技公司積極應(yīng)對(duì)世界

13、金融危機(jī)，及時(shí)調(diào)整投資方向，瞄準(zhǔn)光伏產(chǎn)業(yè)，建成了太陽能光伏電池生產(chǎn)線由于新產(chǎn)品開發(fā)初期成本高，且市場占有率不高等因素的影響，產(chǎn)品投產(chǎn)上市一年來，公司經(jīng)歷了由初期的虧損到后來逐步盈利的過程（公司對(duì)經(jīng)營的盈虧情況每月最后一天結(jié)算1次）公司累積獲得的利潤y（萬元）與銷售時(shí)間第x（月）之間的函數(shù)關(guān)系式（即前x個(gè)月的利潤總和y與x之間的關(guān)系）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在如圖所示的圖象上該圖象從左至右，依次是線段OA、曲線AB和曲線BC，其中曲線AB為拋物線的一部分，點(diǎn)A為該拋物線的頂點(diǎn)，曲線BC為另一拋物線的一部分，且點(diǎn)A，B，C的橫坐標(biāo)分別為4，10，12（1）求該公司累積獲得的利潤y（萬元）與時(shí)間第x（月）之間的函

14、數(shù)關(guān)系式；（2）直接寫出第x個(gè)月所獲得S（萬元）與時(shí)間x（月）之間的函數(shù)關(guān)系式（不需要寫出計(jì)算過程）；（3）前12個(gè)月中，第幾個(gè)月該公司所獲得的利潤最多？最多利潤是多少萬元？6.（內(nèi)蒙古包頭）某商場試銷一種成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷期間銷售單價(jià)不低于成本單價(jià)，且獲利不得高于45%，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量（件）與銷售單價(jià)（元）符合一次函數(shù)，且時(shí)，；時(shí)，（1）求一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若該商場獲得利潤為元，試寫出利潤與銷售單價(jià)之間的關(guān)系式；銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少元？（3）若該商場獲得利潤不低于500元，試確定銷售單價(jià)的范圍7.（福建漳州）如圖1，已知：拋物線與軸

15、交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的直線是，連結(jié)（1）B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為B（_，_）、C（_，_），拋物線的函數(shù)關(guān)系式為_；（2）判斷的形狀，并說明理由；（3）若內(nèi)部能否截出面積最大的矩形（頂點(diǎn)在各邊上）？若能，求出在邊上的矩形頂點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是【參考答案】選擇題1. B2. B3. C 【解析】本題考查函數(shù)圖象與性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，直線從左向右是上升的，拋物線開口向上，D是錯(cuò)的，函數(shù)y=ax1與y=ax2bx1（a0）的圖象必過（0，1），所以C是正確的，故選C4. C5. B6. C7. D8. C填空題1. -32. ，3. （1，5）4. 4【解析】本題考

16、查二次函數(shù)圖象的畫法、識(shí)別理解，方程根與系數(shù)的關(guān)系筀等知識(shí)和數(shù)形結(jié)合能力.根據(jù)題意畫大致圖象如圖所示，由與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0)得，即 所以正確；由圖象開口向下知，由與X軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為且，則該拋物線的對(duì)稱軸為 由a<0得b>a,所以結(jié)論正確；由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系知，結(jié)合a<0得，所以結(jié)論正確；由得，而0<c<2,， -1<2a-b<0 2a-b+1>0,所以結(jié)論正確.點(diǎn)撥： 是否成立，也就是判斷當(dāng)時(shí)，的函數(shù)值是否為0；判斷中a符號(hào)利用拋物線的開口方向來判斷，開口向上a>0,開口向下a<0;判斷a、b的小關(guān)系時(shí)，可利

17、用對(duì)稱軸的值的情況來判斷；判斷a、c的關(guān)系時(shí)，可利用由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的值的范圍來判斷；2a-b+1的值情況可用來判斷.5. 【解析】本題考查二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，由圖象知該拋物線的對(duì)稱軸是，且過點(diǎn)（3，0），所以，解得，所以拋物線的解析式為，故填6.【解析】本題考查二次函數(shù)的最值問題，可以用配方法或二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求出當(dāng)為何值時(shí)二次函數(shù)取得最大值，下面用配方法，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，故填解答題1. 解：設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式為得：解得：這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式是，即2. （1）由可知，又ABC為等腰直角三角形，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是（）. （2） ，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）.又拋物線頂點(diǎn)為，且

18、過點(diǎn)、，所以可設(shè)拋物線的解析式為：，得： 解得 拋物線的解析式為 （3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，則，. 即，得 即，得又即為定值8.3. （1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為（）， 把A （0，），B（，0），C（）代入得解得 a=2 ， b=0 ， c=2，（2）設(shè)直線AC的解析式為 ，把A （0，2），C（）代入得第3題， 解得 ，當(dāng)x=1時(shí)， M（1，）在直線AC上 （3）設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（），則直線EM的解析式為由 化簡得，即， F點(diǎn)的坐標(biāo)為（）過E點(diǎn)作EHx軸于H，則H的坐標(biāo)為（） ，類似地可得 ， ，BEF是直角三角形4. 解：（1）過點(diǎn)A作AFx軸，垂足為點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BEx軸，垂足為點(diǎn)E，則AF2，OF1OAOB，AOF+BOE90°又BOE+OBE90°，AOFOBERtAFORtOEBBE2，OE4B(4，2)（2）設(shè)過點(diǎn)A(1，2)，B(4，2)，O(0，0)的拋物線為y=ax2+bx+c解之，得所求拋物線的表達(dá)式為（3）由題意，知ABx軸設(shè)拋物線上符合條件的點(diǎn)P到AB的距離為d，則SABPd2點(diǎn)P的