橢圓、雙曲線地離心率取值范圍求解方法

1、橢圓、雙曲線的離心率取值X圍求解方法一、利用三角形三邊的關(guān)系建立不等關(guān)系但要注意可以取到等號成立2 20的兩個焦點(diǎn)為F,F2，假如P為其上一點(diǎn)，且|PFJ 2 PF2I，如此雙曲線離雙曲線x2121 a 0,ba b心率的取值X圍為A.(1,3)B.1,3C.(3,+)D.3,【解析】6a 2cPFPF23,又ePFPF22a ,1 e 1,3 ,選 BPFPF2 阡2當(dāng)且僅當(dāng)P，R，F(xiàn)2三點(diǎn)共線等號成立1 a b 0上存在一點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離與它到右焦點(diǎn)的距離相等，那么橢圓2 2例2、如果橢圓x_y_a b的離心率的取值X圍為A. (0, 21B. 21,1)C. (0, 31D.

2、 3 1,1)解析設(shè)/ PF,PF2PFm，由題意與橢圓第二定義可知PFmePF |PR| m(e 1) 2a2a|F1 F2 當(dāng)且僅當(dāng)P， F，F(xiàn)2三點(diǎn)共線等號成立 m me 2c，空代入化簡可得e 1互1e 1二、利用三角函數(shù)有界性結(jié)合余弦定理建立不等關(guān)系2c e2 2e 10 e .21 又 e 1 e 21,1 ,選 B2 2例1:雙曲線篤 -y2a b線離心率的取值 X圍是a. (1,3) B. (1,3 c. (3,) D. 3,)1(a 0, b 0)的兩個焦點(diǎn)為F2，假如P為其上一點(diǎn)，且PF|2PF2 ，如此雙曲【解析】設(shè)pf2e空后(2m)2EcOS 2am三、利用曲線的幾何

3、性質(zhì)數(shù)形結(jié)合建立不等關(guān)系m，F(xiàn)1PF2(0)，當(dāng)P點(diǎn)在右頂點(diǎn)處/ 11, e (1,3.2例1 :雙曲線務(wù)a2每 1 a 0, b 0的兩個焦點(diǎn)為bF, F2，假如P為其上一點(diǎn)，且 PF2 PR，如此雙曲線離心率的取值X圍為)D.3,解：|PF1PF22a ,IPF2I 2a，即曲線右支上恒存在點(diǎn)P使得IPF2I 2a可知AF2 PF2 ,例2.雙曲線OF2OA ca 2a， c3a1 e 1,3 ,選 B2 x 2 a2七1(ab0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2,P是雙曲線右支上一點(diǎn),P到右準(zhǔn)線的距離為d，假如d、|PF2|、|PF1|依次成等比數(shù)列,求雙曲線的離心率的取值 X圍。解：

4、由題意得d =RI。片底2得勿 吐 7 即-Ie-11 <2 + 1所以I.-，從而又因?yàn)閜在右支上，所以2 2例3 橢圓篤 y2 i(a ba b又|pfJ |PF 2a(e 1)， (e 1) PF22a，PF22ae 12ae 1a，即e 1，得 e2 2e 1由雙曲線性質(zhì)知 PF2(1, -2 1) 例5、設(shè)橢圓21(a b 0)的左右焦點(diǎn)分別為 R、F2，如果橢圓上存在點(diǎn)P,使/ F.( PF2 =900,求離心率 be的取值X圍。解析:P 點(diǎn)滿足/ F1 PF2=90 點(diǎn)P在以F1F2為直徑的圓上又T P是橢圓上一點(diǎn)，二以F1F2為直徑的圓與)的右焦點(diǎn)F，其右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)

5、為A,在橢圓上存在點(diǎn) P滿足線段AP的垂直平分線過點(diǎn)F，如此橢圓離心率的取值X圍是a0丑B0,丄OJ21,1D丄,12 222. 2ab解析：由題意，橢圓上存在點(diǎn)P,使得線段AP的垂直平分線過點(diǎn) F，即F點(diǎn)到P點(diǎn)與A點(diǎn)的距離相等而| FA = c c cc12222accaca又e1 PF a- c, a+ c于是 a- c, a + c即 acc < b < ac+ c 二c2 a2 cac2 cc1或-1aa2(0,1)故 e1,1 答案：D22x例4、雙曲線2vb21(a0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別為£( c,0), F2(c,0)假如雙曲線上存在點(diǎn)asinPF1F2

6、a如此該雙曲線的離心率的取值X圍是.sinPF2F1c【解析】sin PF| F2IPF2I由正弦定理得，IPF2Ia 1,e PF2pf1 .sin PF2F1lPFJ|PFjc e1橢圓有公共點(diǎn)2 2X vF、F2是橢圓 P 勺 1(a b 0)的焦點(diǎn).以F1F2為直徑的圓的半徑 r滿足：r=c > b,兩邊平方,a b得c2 > b2即c2> a2-c2由此可得e四、利用圓錐曲線中 X、v的X圍建立不等關(guān)系X圍是A.(1,、2B.、2,)c.(1,.21D.L 21,)【解析】+- ex0 a2 a2 aa2Xo(e1)x0a 丁Xoa,a (e1)a,ccce 1 1

7、 a 112 e2e1 01 ,2e1 2,而雙曲線的離心率e 1，e (1,、21,1(a0,b0)的右支上存在一點(diǎn)，它到右焦點(diǎn)與左準(zhǔn)線的距離相等，如此雙曲線離心率的取值2例2、設(shè)點(diǎn)P在雙曲線2x2ab21(a0,b0)的左支上，雙曲線兩焦點(diǎn)為FF2，| PF1 |是點(diǎn)P到左準(zhǔn)線I的距離d和| PF2 |的比例中項(xiàng)，求雙曲線離心率的取值X圍|PFi |解析：由題設(shè)| PF, |2 d | PF2 |得：d|PF2|IPF1 |。由雙曲線第二定義|PFi|e得:|PFH|PF |由焦半徑公式得：-_ex e,如此xa ex(1 e)a2e ea，即e2 2e 1解得1歸納：求雙曲線離心率取值

8、X圍時可先求岀雙曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo),再利用性質(zhì):假如點(diǎn)P在雙曲線2x2a2 y b21的左支上2x 如此x a ；假如點(diǎn)p在雙曲線右 a21的右支上如此b22 2例2.設(shè)橢圓務(wù)篤 1(aa b0)的左右焦點(diǎn)分別為F-|> F2，如果橢圓上存在點(diǎn)P,使/ F-i PF2 =900，求離心率e的取值X圍。解析1:設(shè)Px，y，又知，如此將這個方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y,可解得解析2:由焦半徑公式得x2v2例3橢圓 p 丄2=1 a>b>0的左、右頂點(diǎn)分別為 A、B如果橢圓上存在點(diǎn) P,使得/ APB12O0,求橢圓的離心率 e的a b取值X圍.解：設(shè) PX。，yo，由橢圓的對稱性，

9、不妨令 owxova,0<y。<b. v Aa ,0，Ba,0，二kPA=V0,kPB = Vo.2yo一2. 3,而2 2 2Xoyo aXo aXo aT/ APBl2oo，二 tan / APB- 73 ,又 tan / AP序 一 =一21 kPB k pa Xoy o a點(diǎn)p在橢圓上，二bx+ay=a b由、得2ab2 3(a2 b2)T 0< yoW b,二 0 <2ab2.3(a2 b2)t a>b> 0，二 2atW. 3 ab,即 4 a?6w 3 c ,整理得，3e"+4e'4> 0.考慮0< e<1,

10、可解得w e< 1.3四、利用判別式建立不等關(guān)系2 2例1、設(shè)橢圓告 1(a b 0)的左右焦點(diǎn)分別為FF2,如果橢圓上存在點(diǎn)P,使/F1PF2 =900 ,求離心率ea b的取值x圍。解：由橢圓定義知2X2例2、雙曲線 y 1(a 0)與直線| : x y 1交于p、q兩個不同的點(diǎn)，求雙曲線離心率的取值X圍。a解析：把雙曲線方程和直線方程聯(lián)立消去不同的交點(diǎn)如此0 ，x得：(1 a2)y2 2y 1 a20,1 a20時，直線與雙曲線有兩個4 4(1 a2)24a2(2 a2) 0 ，即 a2 2 且 a 1 ，所以a21a2-，即 e 且 e -.2。 五、利用均值不等式建立不等關(guān)系2

11、 22 2X y例1、橢圓1 (a > b> 0)的兩個焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上一點(diǎn)，/ F1PR=60°如此橢圓離心率 e的取值 a bX圍；解：設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n如此根據(jù)橢圓的定義，得m+n=2a又FFF中，/ F1PF=60°由余弦定理，得m+n2-mn=4c2.聯(lián)解，得mn=4(a2 C2)3m n 2 2 (-T)=a4(a2 c2)31x2化簡整理，得 a2< 4c2，解之得丄w ev 1例2、點(diǎn)P在雙曲線 a2占1(ab0,b0)的右支上，雙曲線兩焦點(diǎn)為2R、F2， | PF |最小值是8a，如此雙曲線離心率的取值X圍。|P

12、F2| PF |2解析：|PF|2(|PF2|2a)嚇|PFd小值8a，又| PF2 |c a所以2a4a24a8a，由均值定理知：當(dāng)且僅當(dāng)| PF2 | 2a時取得最c a，如此 1 e 3。2X例3、設(shè)橢圓 2a0)的左右焦點(diǎn)分別為印F2，如果橢圓上存在點(diǎn) P,使/ F.)PF2 =900，如此離心率e的取值X圍。解析：由橢圓定義，有平方后得六、利用二次函數(shù)的性質(zhì)建立不等關(guān)系2_y(a2X設(shè)a 1，如此雙曲線2aa. ( 2,2)B.1)2(2, . 5)1的離心率e的取值c.X圍是(2,5)d. (2, . 5)【解析】e(a 1)22a七、利用非負(fù)數(shù)性質(zhì)(11)2 1 . a1,根據(jù)二

13、次函數(shù)值域可得2 e 5 .2X例過雙曲線pa2y1(a0, b 0)左焦點(diǎn)F1的直線I交雙曲線于p、Q兩點(diǎn)，且OP OQ O為原點(diǎn)，b如此雙曲線離心率的取值X圍。解析：設(shè)P(x1, y1)> Q(x2, y2)，過左焦點(diǎn)F1的直線I方程:ty c,代入雙曲線方程得：(b2t2 a2)y2 2b2tcy b40,由韋達(dá)定理得:y1y22b2tc 2 ab2t2b4y1y2 航 a,X1X2(ty1c)(ty2 c)2y2ct(y1y2)，由OP丄OQ得X1X2y*20,42b (t 1) b2t2a22,2 22b t cab2t2c2o,解得:t2b42 2 a c 2 2 a b2因

14、為t4 2 20，所以b a co,如此c 2 23a c0,e43e20,e2練習(xí)1、設(shè)F1, F2為橢圓的兩個焦點(diǎn)，假如橢圓上存在點(diǎn)A. , 1)2B. V , 1)2C.(0解：設(shè)，PX!, yj, F-c , 0，F(xiàn)2 c , 0，c>0 , 二(a exp2 (a曲疋，解得如二2(a eX)(a e)P滿足/ FPR=120°,如此橢圓的離心率的取值)D.(02,如此 |PF1|=a+eX1,2 24c 3a2 e2廠-X1 X圍是|PF2|=a-ex !.在 PFH 中,0, a2，二 4c2-3a 2>0.且cos120 °e2v 1e 3 , 1

15、)2由余弦定理得2x2、設(shè)片、F2分別是橢圓篤ab 0)的左、右焦點(diǎn)，假如在其右準(zhǔn)線上存在點(diǎn)P，使線段PF1的中垂線過點(diǎn)F2，如此橢圓離心率的取值X圍是【解析】設(shè)假如P為右準(zhǔn)線與2aX軸的交點(diǎn)，可知-ca.(0,二 b.(0,、3-31，又3C.吟,"D.J)2c 2c，即 e22aP在右準(zhǔn)線上可知-c 2c，所以離3心率的取值X圍為丄一，1).X2y23、橢圓 21的焦點(diǎn)為F1,F2，兩條準(zhǔn)線與a bx軸的交點(diǎn)分別為假如|MN2F1F2，如此該橢圓離心率的取值X圍是1A. (0,2B. (0,【解析】因?yàn)閮蓽?zhǔn)線距離為絲，又因?yàn)镕1F2c2c，所以有空-c224、雙曲線篤與 1(aa

16、 b交點(diǎn)，如此此雙曲線離丿0, b 0)的右焦點(diǎn)為【解析】如圖h與|2角為60的直線，-tan 60>3 .a2x5、設(shè)點(diǎn)P在雙曲線 -2a【J1)4c，即 a2 2c2，所以三 e 1 .2C.F，假如過點(diǎn)F且傾斜角為60的直線與雙曲線的右支有且只有一個要2 y b21(a0, b 0)的右支上，雙曲線兩焦點(diǎn)R、F2，| PR |4 | PF2 |，求雙曲線離心率的取值X圍。解析1:由雙曲線第一定義得：| PF1 |IPF2 | 2a，與 | PF, | 4|PF2 | 聯(lián)立解得:|PF I解析2:82-a,| PF2 |-a，由三角形性質(zhì)3382a, | PF2 | a，點(diǎn)33|PF

17、1 | | PF2 | | F1F2 | 得：8 a32c解得：1|PF |在雙曲線右支上由圖1可知:|PF1 |2a, a c3a，兩式相加得:c，解得：1 e2X6、雙曲線一2asinPRF2sinPF2F-ib21(a0,b0)的左、a，如此該雙曲線的離心率的取值c右焦點(diǎn)分別為R ( c,0), F2 (c,0).假如雙曲線上存在點(diǎn)P使X圍是.【解析】因?yàn)樵赑F2PF1PFiF2中，由正弦定理得sin PF”sinPFzR如此由，得pF2RFi,即 apF1cPF 2 且知點(diǎn)p在雙曲線的右支上，(xo, y。)由焦點(diǎn)半徑公式，得PFia exo, PF2exo a如此a(a exo) c

18、(ex0a)解得Xoa(ce(ca)a)a(e 1)e(e1)由雙曲線的幾何性質(zhì)知Xo訓(xùn)亟二e(e 1)a，整理得e2 2e1°，解得.21 e1,(1,)，故橢圓的離心率(1r.21)7、假如點(diǎn)O和點(diǎn)F (2,0)分別是雙曲線1(a>0)的中心和左焦點(diǎn)為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，如此op fp的取值X圍為()a. 3-2、3,)b. 3 2、.3,C.7卜4,解析：因?yàn)镕(2,O)是雙曲線的左焦點(diǎn)，所以a2 1x2所以雙曲線方程為一32y 1，設(shè)點(diǎn)p (xo, yo)，如2Xoyo21(xo2yo2XO31(Xo，因?yàn)镕P(xo 2,yo)，op (Xo, yo)，所以O(shè)Pfp Xo(Xo 2)Yo2 = Xo(Xo2)4xo22xo 1，此二次函數(shù)對應(yīng)的拋物線的對稱軸為X)因?yàn)閤o3，所以當(dāng)xo3時，OPFP取得最小值33 231 3 23，故OP FP的取值X圍是32 3,)，選Bo2 27、Fp F?分別是雙曲線一21 a O, ba bO的左、右焦點(diǎn)，過 Fi作垂直于x軸的直線交雙曲線于 A、b兩點(diǎn),假如 ABF2為銳角三角形，如此雙曲線的離心率的X圍是A A. 1,1. 2 B.1.2, c. 1 x2,1.2 D.,2, .2