橢圓中的定點定值問題

1、例1 . ( 2012鹽城二模)橢圓中的定點、定線、定值問題匚1(a b 0)的離心率為丄b22且過點,)，記橢圓2相關(guān)題：(江蘇2010年16分)在平面直角坐標(biāo)系 xoy中，如圖，已知橢圓2£1的左、右頂點為A5的左頂點為A.求橢圓的方程；設(shè)垂直于y軸的直線l交橢圓于B,C兩點，試求 ABC面積的最大值; 過點A作兩條斜率分別為 k1, k2的直線交橢圓于 D, E兩點，且k1k2 個定點.T ( t,m )的直線 TA、TB與橢圓分別交于點M(X1，yJ、N(X2$2)，其中(1)2 ,求證：直線DE恒過一解:由22x 2ya12a22a2214b2b2 c21,解得(2)設(shè) B

2、(m, n) , C( m, n),則 S1ABC又 1 m2 2n2 2 2m2n2 2.21 m|1-,所以橢圓C的方程2222|m|n| |m| |n| n |,所以 | m | | n |-4當(dāng)且僅當(dāng)|m|, 2 | n|時取等號從而Sabc因為A( 1,0),由 y kdx 1) x2 2y21,1 2k12 f、 點 B(±,=)1 2k12 1 2k12所以AB: y消去y,得(12k1m>0,* 0i 目20。(1)設(shè)動點P滿足PF2(2)設(shè)x12,X2-,3(3)設(shè)t9,求證：直線【答案】解:(1)設(shè)點PPB24,求點P的軌跡;求點T的坐標(biāo);B,右焦點為 F。

3、設(shè)過點(x , y )，則：F ( 2, 0)、B (3,由 PF2 PB24，得(x 2)故所求點P的軌跡為直線x(2)將 x12, x2直線MTA方程為:y2 (x1-分別代入橢圓方程,3y 02K 8 4k1k12 8&2直線3匕2(k12 2)所以 2yk12(3x5)k1 y.2 、,即ABC面積的最大值為 4ki (x 1),AC : y k2(x直線NTB方程為:1),2k12)x2 4k12x 2k1210 ,解得x= 1或1如2K25 0 23y 0209，即2同理，有C(1 2k22,匕)，而k1k21 2k22 1 2k224匕2k22,聯(lián)立方程組，解得:10，B

4、C的方程為y2k_2k122k128 人21 2k1k12 88人2所以點T的坐標(biāo)為(x亠即y1 2K y 0 3x 5 00,則由(注：第(3)小題也可采用設(shè)而不求的做法3k12(k12X2)1 2k,21 2人25k12(k12(x10(7,百)。(3) v點T的坐標(biāo)為(9, m)2)5,得直線BC恒過定點(-0)3，直線MTA方程為： 匚° 乞蟲，即m 09 3直線NTB方程為：丄衛(wèi)互衛(wèi)，即ym 09 3,即設(shè)D(X1, yj, E(X2, y2),然后代入找關(guān)系)2分別與橢圓92MN必過x軸上的一定點(其坐標(biāo)與3)2以及y151200, y2 0得：M(2，- )、N(-，)

5、。339y12m(x 3)。6必 1聯(lián)立方程組，同時考慮到5X13, x2 3 ,解得:23(80 m )40m、80 m 80 m2N(3(m 20)20 m2020m 、2)。mX2時，直線MN方程為:20m20 m至40m20m80 m220 m23(m2 20)X20 m23(80 m2)3(m2 20)0，解得:X 1。此時必過點D ( 1，0)；x2時，直線MN方程為:X 1，與X軸交點為所以直線MN必過X軸上的一定點D (1，0)。例2.(2012南京二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢80 m220 m2D (1， 0)。2古i(a b 0)的離心率為-，以原點為圓心，橢圓

6、C的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+2=0相切.(1) 求橢圓C的方程；(2) 已知點P(0,1),Q(0,2), 設(shè)M,N是橢圓C上關(guān)于y軸對 稱的不同兩點，直線 PM與QN相交于點 圓C上。T。求證：點T在橢17.(本小題滿分14分)解：(1)由題意知因為離心率e = 1：b= 22= -;2.c今，所以a 2所以a= 2 212.2 2所以橢圓C的方程為x + y = 1.8 2(2)證明：由題意可設(shè)M N的坐標(biāo)分別為(X0, y°), ( X0, y°)，則直線PM的方程為直線QN的方程為y0 2尸二7+2證法一聯(lián)立解得X0T：X03y° 42y0 3 2

7、y0 3)，11分2 2X0 y022由 8 + 2 = 1 可得 X0 = 8 4y0 .2 21 X。、21“3yo 4、2 xo + 4(3 y0 4)8 2y0 32'2y0 38(2 y0 3)2 2 2 28 4y0 + 4(3 y0 4)32 y0 96yo+ 72 8(2 y0 3)1,所以點T坐標(biāo)滿足橢圓證法二設(shè)T(x, y).聯(lián)立解得X028(2 y0 3)2 28(2 y0 3)8(2 y0 3)C的方程，即點T在橢圓C上.14分3y 4y0=. x 2 1 3y 4 2/ + 辦 R)= 1.2 2x 9y2= (2y 3)，所以-+-2 12y+ 8 = 4y

8、 12y + 9,2y 32 2因為+號=1，所以y 32 2 整理得器即4)2 2即舒+1.所以點T坐標(biāo)滿足橢圓C的方程，即點T在橢圓C上.相關(guān)題:M(2,0),11分14分2X(2012年北京西城一模理19)已知橢圓。：二a橢圓短軸的端點是B1 , B2，且MB1求橢圓C的方程;設(shè)過點M且斜率不為0的直線交橢圓分 APB ?若存在，求出點 P的坐標(biāo)；若不存在,5解：(I)由-9依題意所以橢圓MB2.2,2ab2ab22 ，aMB1B2是等腰直角三角形，從而2 2C的方程是乂 194'b °)的離心率為-5C于A , B兩點試問X軸上是否存在定點 P ,使說明理由()設(shè) A

9、(X1,yJ , B(X2,y2)，直線 AB 的方程為將直線AB的方程與橢圓消去x得(4 m29)y2所以y116m% 4m29，定點PM平C的方程聯(lián)立,16my20 0.204m292，故 a 3.x my 2.若PF平分 APB，則直線PA , PB的傾斜角互補, 所以 kPA kPB 0.解得a 2,c2,b2 a2 c22，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)P（a,0），則有y1y20.X1ax2a將 x1 my12,X2my22代入上式,整理得2my1y2(2a)(y1y2) 0 ,(my12a)( my22 a)1.(II)設(shè) P(x, y), M (花，yj N (x?, y?)，則由uiu

10、r ujiw LOT OP OM 2ON 得(x,y) (X1,yJ 2(X2,y2)(為 2x2,% 2y2),所以 2myi y2 (2 a)( y1 y2) 0.將 yi y216m4m2 9y22 代入上式,4m 9整理得（2a9） m 0.9 由于上式對任意實數(shù) m都成立，所以 a -.29綜上，存在定點 P（ ,0），使PM平分 APB.2即X2x2, yy12y2.因為點M ,N在橢圓x22y24上，所以2X12yf4, x|2y；4故x22y2(X124x；24x1X2)2(y14y2 4y°2)(X122y122 2)4(X2 2y2)4(X1X2 2y2)204(

11、X1X22%y2).設(shè)kcM,koN分別為直線OM , ON的斜率，由題設(shè)條件知例3. （2011重慶理）如圖，橢圓的中心為原點O，離心率e一條準(zhǔn)線的方程為（I）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；um uuur（n）設(shè)動點P滿足：OP OMuuuON，其中M , N是橢圓上的點，直線 OM與ON的斜率之積為y yX1X2,因此 X1X2 2y1y20,2-,冋：是否存在兩個定點F ,F，使得PF不存在，說明理由.PF為定值？若存在，求F , F的坐標(biāo)；若解：（I）由e2.2,所以 x2 2y220.所以P點是橢圓2X(2、5)22_y_G 10)21上的點，設(shè)該橢圓的左、右焦點為F1 , F2，則由橢圓的定

12、義|PF1|+|PF2|為定值，又因c；（2. 5）2（、jo）2，1q，因此兩焦點的坐標(biāo)為F1（ .70,0）, F2（ 50,0）.相關(guān)題：（2011南通三模）（本題滿分16分）2 2 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知橢圓 爲(wèi) 爲(wèi) a b1（a>b>0）的離心率為二，其焦點在圓22 2 .x +y =1 上（1）求橢圓的方程；設(shè)A, B, M是橢圓上的三點（異于橢圓頂點），且存在銳角 B,使OM° cos OA sin OB .(i) 求證：直線 0A與OB的斜率之積為定值；(ii) 求證：oA+oB為定值。思路分析：本題第(2)問中，可以證明線段 AB的中點恒在定橢

13、圓 x2+2y2=1 上.后一問與前一問之間具有等價關(guān)系.解：(1)依題意，得c=1曰是,a= . 2 , b=1所以所求橢圓的方程為2 x 2直線A2B的方程為由得-y1y= x-aX1 -a22-%y = 廠X1 -a2 2x -a由點A X1,y1在橢圓Co上，故可得2X12a2Y1+ b22X1=1，從而有y12 =b2 1=，代入得a2(2) (i)設(shè) A(X1, y1) , B(X2,汕，則生22yi1,2X22y221.22x y2 - 2 =1 x<-a,y<0-a b(2)證明：設(shè)A' X2 ,y2，由矩形ABCD與矩形ABCD '的面積相等，得又

14、設(shè) Mx, y)，因 C)McossinUUDOB ,Xi cosy1 cosX2Sin , y2 sin .4匈|(zhì)丸=4|x|y2, X12y12=X22y22，因為點A,A'均在橢圓上，所以 b2%2因Ml在橢圓上，故(x1 cosX2Sin )22(yi cosy2Sin )2由 t1 t2，知 X| X2，所以 x12+x22=a2。從而 y-|2+y22=b2，因而 t12+t22=a21二=b2X22 a+b為定值12分2整理得(0y)cos222冷 22(y2 )sin2x1x22(-2%y2)cossin 1 .將代入上式，并注意cos sinX1X2y2所以，koAkoBX1X2(ii)(y)2X1X2)22 )2 2X1X2(12 22yi )(i2y2)2222,1 (y1y2) % y2，故2又(鄉(xiāng)y")2(X2y；)故x22X2所以，oA+oB=x22yi2X22y2 =3.2備用：(2012 遼寧理)如圖，橢圓 C0: -2 + "? =1 a>b>0,a,b為常數(shù)，動圓 C1：x2 + y2=t12,b<t1<a .點 A1,A2 a b分別為Co的左、右頂點， G與C。相交于A,B,C,D四點(1) 求直線AA1與直線A2B