大一高數(shù)(上)

1、 姓名： 班級： 學(xué)號： 第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)（小結(jié)）一、函數(shù)1. 鄰域： 以為中心的任何開區(qū)間；2. 定義域： ；. 二、極限1. 極限定義：（了解） 若對于， 當(dāng)時(shí)，有； Note：， 當(dāng)時(shí)，有； Note：， 當(dāng)時(shí)，有； Note：2.函數(shù)極限的計(jì)算（掌握）（1） 定理： ；（分段函數(shù)）（2）型：約公因子，有理化； 比如：，； 重要極限； 等價(jià)無窮小因式代換：， 型：先通分； 比如：型：轉(zhuǎn)化為無窮??； 比如：型： 重要極限；（3）無窮小量：無窮小無窮小=無窮??；無窮小有界量=無窮小 比如：（4）函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系： （抽象函數(shù)）（5）微分中值定理：； 比如：（第3章）（6）羅必達(dá)

2、法則： 比如： （第3章）3. 數(shù)列極限的計(jì)算： 夾逼原則： 積分定義： ；.（第五章）三、連續(xù)1. 函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)：. 一切初等函數(shù)在其定義域都是連續(xù)的. 2. 閉區(qū)間上函數(shù)連續(xù)的性質(zhì)：最大最小值定理：若在上連續(xù)，則在上一定有最大、最小值.零點(diǎn)定理：設(shè)，且， 至少有一點(diǎn)，使得介值定理：設(shè)，且， 則對之間的任意常數(shù)，至少有一點(diǎn)，使得.四、間斷點(diǎn)1第一類間斷點(diǎn)： 、存在 若，則稱為可去間斷點(diǎn)； 若，則稱為跳躍間斷點(diǎn)；2.第二類間斷點(diǎn)： 、至少一個(gè)不存在 若其中一個(gè)趨向，則稱為無窮間斷點(diǎn)； 若其中一個(gè)為振蕩，則稱為振蕩間斷點(diǎn)；第二章 導(dǎo)數(shù)與微分（小結(jié)）一、導(dǎo)數(shù)的概念1. Note：該定義主要用于相

3、關(guān)定理的分析與證明； 導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)公式：.2. 分段函數(shù)在分段點(diǎn)處可導(dǎo)性判別：定理：在處可導(dǎo)在處即左可導(dǎo)，又右可導(dǎo), .3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：切線斜率，即當(dāng)時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線、法線方程為：切線方程：；法線方程：二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1. 四則運(yùn)算：；2. 反函數(shù)求導(dǎo)：，互為反函數(shù)，則3. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：，則 . 4. 隱函數(shù)求導(dǎo)： 兩邊關(guān)于求導(dǎo)，把看成是的函數(shù).5. 參數(shù)方程：則 三、微分1. 微分的概念：若有成立，記作： Note：,；2. 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用（1）近似計(jì)算 .第三章 微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、微分中值定理1、羅爾(Rolle)中值定理： 內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得 .Note： 證

4、明導(dǎo)函數(shù)根的存在性. 證明原函數(shù)根的唯一性.2、拉格朗日中值定理：在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得 . Note： 把用做代換，求極限. 由建立不等式，用于證明不等式.3、柯西中值定理：在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得：Note：用于說明洛必達(dá)法則.二、洛必達(dá)法則（1）可結(jié)合兩個(gè)重要極限、等價(jià)無窮小代換，約公因子等方法靈活運(yùn)用.（2）若，不為分式，可通過令：，創(chuàng)造分式.比如： 三、函數(shù)圖形的描繪（1）寫定義域，研究的奇偶性、周期性；（2）求，；（3）令可疑極值點(diǎn)，可疑拐點(diǎn)；（4）補(bǔ)充個(gè)別特殊點(diǎn)，求漸近線：，；（5）列表分析單調(diào)性、凹凸性、拐點(diǎn)、極值點(diǎn)； （6）畫圖五、最值的計(jì)算:（1）求在內(nèi)的可疑極值點(diǎn)：（2）最

5、大值：特別的，（1）在上只有一個(gè)可疑極值點(diǎn)，若此點(diǎn)取得極大值，則也是最大值點(diǎn).（2）在上單調(diào)時(shí)，最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.（3）對應(yīng)用問題 , 有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的可疑點(diǎn)是否為最大 值點(diǎn)或最小值點(diǎn) .第四章 不定積分一、不定積分：，Note： 為積分常數(shù)不可丟！ ；.幾個(gè)常用的公式 ， ， ，二、 換元積分法：1.Note：常見湊微分： 適用于被積函數(shù)為兩個(gè)函數(shù)相乘的情況，若被積函數(shù)為一個(gè)函數(shù)，比如：，若被積函數(shù)多于兩個(gè)，比如：，要分成兩類； 一般選擇“簡單”“熟悉”的那個(gè)函數(shù)寫成； 若被積函數(shù)為三角函數(shù)偶次方，降次；奇次方，拆項(xiàng)；2.Note：常見代換類型: ， ， ， ， ，三、分部積分

6、法： .Note：按“ 反對冪指三” 的順序，誰在前誰為 要比容易計(jì)算； 適用于兩個(gè)異名函數(shù)相乘的情況，若被積函數(shù)只有一個(gè)，比如：，（）； 多次使用分部積分法： 三、 有理函數(shù)的積分1. 假分式= 多項(xiàng)式 + 真分式；2. 真分式= （拆成）若干部分分式之和； Note：拆項(xiàng)步驟：將分母分解： 根據(jù)因式的情況將真分式拆成分式之和：3. 逐項(xiàng)積分.注：有時(shí)一個(gè)題目會用到幾種積分方法，要將所有的方法靈活運(yùn)用，融會貫通！第五章 定積分一、 定積分的概念及性質(zhì)1.定義：，其中；2幾何意義：曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負(fù)值3.性質(zhì)：（1） ,;（2） （3） ;（4） ;（5） ;（6）若在上，則;（7） 設(shè)，則;（8）積分中值定理：，.4. 變上限函數(shù)：Note：；5.牛頓萊布尼茨公式：.二、 定積分的計(jì)算1. 換元積分：換元必須換限，無需變量回代，湊微分不必?fù)Q限；2. 分部積分：；3. 若為奇函數(shù)，則；若為偶函數(shù)，則.4. 廣義積分：三、 定積分的應(yīng)用