1998年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題及答案（理）

1、.1998年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類本試卷分第卷選擇題和第卷非選擇題兩部分，總分值150分，考試120分鐘第卷選擇題共65分一選擇題：本大題共15小題；第110題每題4分，第11 15題每題5分，共65分在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的1 sin600º的值是 A B C D 2 函數(shù)y=a|x|a1的圖像是 （A） （B） （C） （D）1113 曲線的極坐標(biāo)方程=4sin化成直角坐標(biāo)方程為 A x2y22=4B x2y22=4C x22y2=4D x22y2=44 兩條直線A1xB1yC1=0，A2xB2yC2=0垂直的充要條件是 A A1

2、A2B1B2=0B A1A2B1B2=0C D 5 函數(shù)fx= x0的反函數(shù)f1x= A xx0B x0C xx0D x06 點(diǎn)Psincos，tg在第一象限，那么在內(nèi)的取值是 A B C D 7 圓錐的全面積是底面積的3倍，那么該圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角為 A 120ºB 150ºC 180ºD 240º8 復(fù)數(shù)i的一個(gè)立方根是i，它的另外兩個(gè)立方根是 AiB iC ±iD ±ihVH09 假如棱臺(tái)的兩底面積分別是S，S，中截面的面積是S0，那么 A 2B S0=C 2 S0=SSD 10 向高為H的水瓶中注水，注滿為止，假如注

3、水量V與水深h的函數(shù)關(guān)系的圖像如以下圖所示，那么水瓶的形狀是 11 3名醫(yī)生和6名護(hù)士被分配到3所學(xué)校為學(xué)生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士不同的分配方法共有 A 90種B 180種C 270種D 540種12 橢圓=1的焦點(diǎn)為F1和F2，點(diǎn)P在橢圓上，假如線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，那么|P F1|是|P F2|的 A 7倍B 5倍C 4倍D 3倍13 球面上有3個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面間隔 都等于大圓周長(zhǎng)的，經(jīng)過這3個(gè)點(diǎn)的小圓的周長(zhǎng)為4，那么這個(gè)球的半徑為 A 4B2C 2D 14 一個(gè)直角三角形三內(nèi)角的正弦值成等比數(shù)列，其最小內(nèi)角為 A arccosB arcsinC arccosD ar

4、csin15 在等比數(shù)列an中，a1>1，且前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=，那么a1的取值范圍是 A1， B1，4 C 1，2 D1， 第卷非選擇題共85分二、填空題：本大題共4小題；每題4分，共16分把答案填在題中橫線上16設(shè)圓過雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，圓心在此雙曲線上，那么圓心到雙曲線中心的間隔 是_17x210x21的展開式中x10的系數(shù)為_用數(shù)字作答18如圖，在直四棱柱A1B1C1 D1ABCD中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件_時(shí)，有A1 CB1 D1注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形19關(guān)于函數(shù)fx=4sin2xxR，有以下命題:由fx1= fx2=0可得x1

5、x2必是的整數(shù)倍；y=fx的表達(dá)式可改寫為y=4cos2x；y=fx的圖像關(guān)于點(diǎn)，0對(duì)稱；y=fx的圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱其中正確的命題的序號(hào)是_ 注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上 三、解答題：本大題共6小題；共69分解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟20本小題總分值10分在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，設(shè)ac=2b，AC=求sinB的值以下公式供解題時(shí)參考：sinsin =2sincos，sinsin=2cossin，coscos=2coscos，coscos=2sinsin.21本小題總分值11分如圖，直線l1和l2相交于點(diǎn)M，l1 l2，點(diǎn)Nl1以A， B為端點(diǎn)的曲線

6、段C上的任一點(diǎn)到l2的間隔 與到點(diǎn)N的間隔 相等假設(shè)AMN為銳角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段C的方程22本小題總分值12分如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長(zhǎng)方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出設(shè)箱體的長(zhǎng)度為a米，高度為b米流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a，b的乘積ab成反比現(xiàn)有制箱材料60平方米問當(dāng)a，b各為多少米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小A、B孔的面積忽略不計(jì)23本小題總分值12分斜三棱柱ABCA1 B1 C1的側(cè)面A1 ACC1與底面ABC垂直，ABC=90º，BC=2，AC=2，且AA

7、1 A1C，AA1= A1 C求側(cè)棱A1A與底面ABC所成角的大??；求側(cè)面A1 ABB1 與底面ABC所成二面角的大?。磺箜旤c(diǎn)C到側(cè)面A1 ABB1的間隔 24本小題總分值12分設(shè)曲線C的方程是y=x3x，將C沿x軸、y軸正向分別平行挪動(dòng)t、s單位長(zhǎng)度后得曲線C1寫出曲線C1的方程；證明曲線C與C1關(guān)于點(diǎn)A，對(duì)稱；假如曲線C與C1有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，證明s=t且t025本小題總分值12分?jǐn)?shù)列bn是等差數(shù)列，b1=1，b1b2b10=145求數(shù)列bn的通項(xiàng)bn；設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)an =loga1其中a0，且a1，記Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和試比較Sn與logabn+1的大小，并證明你的結(jié)論1998

8、年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題理工農(nóng)醫(yī)類參考答案一、選擇題此題考察根本知識(shí)和根本運(yùn)算1D 2B 3B 4A 5B 6B 7C 8D 9A 10B 11D 12A 13B 14B 15D二、填空題此題考察根本知識(shí)和根本運(yùn)算16 1717918ACBD，或任何能推導(dǎo)出這個(gè)條件的其他條件例如ABCD是正方形，菱形等19，三、解答題20本小題考察正弦定理，同角三角函數(shù)根本公式，誘導(dǎo)公式等根底知識(shí)，考察利用三角公式進(jìn)展恒等變形的技能及運(yùn)算才能解：由正弦定理和條件a+c=2b 得 sinA+sinC=2sinB.由和差化積公式得2sincos=2sinB.由A+B+C= 得 sin=cos ，又A

9、C= 得 cos=sinB，所以cos=2sincos.因?yàn)?<<，cos0，所以sin=，從而cos=所以sinB=.21本小題主要考察根據(jù)所給條件選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線方程的解析幾何的根本思想考察拋物線的概念和性質(zhì)，曲線與方程的關(guān)系以及綜合運(yùn)用知識(shí)的才能解法一：如圖建立坐標(biāo)系，以l1為x軸，MN的垂直平分線為y軸，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)依題意知：曲線段C是以點(diǎn)N為焦點(diǎn)，以l2為準(zhǔn)線的拋物線的一段，其中A，B分別為C的端點(diǎn)設(shè)曲線段C的方程為y2=2pxp>0，xAxxB，y>0，其中xA，xB分別為A，B的橫坐標(biāo)，p=|MN|.所以 M，0，N，0.由|AM|= ，|AN|

10、=3 得xA+2+2pxA=17， xA2+2pxA=9. 由，兩式聯(lián)立解得xA =.再將其代入式并由p>0解得因?yàn)锳MN是銳角三角形，所以> xA，故舍去所以p=4，xA =1.由點(diǎn)B在曲線段C上，得xB =|BN|=4.綜上得曲線段C的方程為y2=8x1x4，y>0.解法二：如圖建立坐標(biāo)系，分別以l1、l2為x、y軸，M為坐標(biāo)原點(diǎn)作AE l1，AD l2，BF l2，垂足分別為E、D、F.設(shè)AxA，yA、BxB，yB、NxN，0.依題意有xA =|ME|=|DA|=|AN|=3，yA =|DM|=，由于AMN為銳角三角形，故有xN =|ME|+|EN|=|ME|+=4xB

11、 =|BF|=|BN|=6.設(shè)點(diǎn)Px，y是曲線段C上任一點(diǎn)，那么由題意知P屬于集合x，y|xxN2+y2=x2，xAxxB，y>0.故曲線段C的方程為y2=8x23x6，y>0.22本小題主要考察綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決實(shí)際問題的才能，考察建立函數(shù)關(guān)系、不等式性質(zhì)、最大值、最小值等根底知識(shí)解法一：設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，那么y=，其中k>0為比例系數(shù).依題意，即所求的a，b值使y值最小.根據(jù)題設(shè)，有4b+2ab+2a=60a>0，b>0，得 b=0<a<30. 于是 y=，當(dāng)a+2=時(shí)取等號(hào)，y到達(dá)最小值.這時(shí)a=6，a=10舍去.

12、將a=6代入式得b=3.故當(dāng)a為6米，b為3米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小.解法二：依題意，即所求的a，b的值使ab最大.由題設(shè)知 4b+2ab+2a=60a>0，b>0，即 a+2b+ab=30a>0，b>0.因?yàn)?a+2b2，所以 +ab30，當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)，上式取等號(hào).由a>0，b>0，解得0<ab18.即當(dāng)a=2b時(shí)，ab獲得最大值，其最大值為18.所以2b2=18.解得b=3，a=6.故當(dāng)a為6米，b為3米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小23本小題主要考察直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，棱柱的性質(zhì)，空

13、間的角和間隔 的概念，邏輯思維才能、空間想象才能及運(yùn)算才能解：作A1DAC，垂足為D，由面A1ACC1面ABC，得A1D面ABC，所以A1AD為A1A與面ABC所成的角.因?yàn)锳A1A1C，AA1=A1C，所以A1AD =45º為所求.解：作DEAB，垂足為E，連A1E，那么由A1D面ABC，得A1EAB.所以A1ED是面A1ABB1與面ABC所成二面角的平面角.由，ABBC，得EDBC.又D是AC的中點(diǎn)，BC=2，AC=2，所以DE=1，AD=A1D=， tgA1ED=.故A1ED=60º為所求.解法一：由點(diǎn)C作平面A1ABB1的垂線，垂足為H，那么CH的長(zhǎng)是C到平面A1A

14、BB1的間隔 .連結(jié)HB，由于ABBC，得ABHB.又A1EAB，知HBA1E，且BCED，所以HBC=A1ED=60º所以CH=BCsin60º=為所求.解法二：連結(jié)A1B.根據(jù)定義，點(diǎn)C到面A1ABB1的間隔 ，即為三棱錐CA1AB的高h(yuǎn).由得，即 所以為所求.24本小題主要考察函數(shù)圖像、方程與曲線，曲線的平移、對(duì)稱和相交等根底知識(shí)，考察運(yùn)動(dòng)、變換等數(shù)學(xué)思想方法以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的才能.解：曲線C1的方程為y=xt3xt+s.證明：在曲線C上任取一點(diǎn)B1x1，y1.設(shè)B2x2，y2是B1關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，那么有， .所以 x1=tx2， y1=sy2.代入曲線

15、C的方程，得x2和y2滿足方程：sy2=tx23tx2，即 y2=x2t3x2t+ s，可知點(diǎn)B2x2，y2在曲線C1上.反過來，同樣可以證明，在曲線C1上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)在曲線C上.因此，曲線C與C1關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱.證明：因?yàn)榍€C與C1有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，方程組有且僅有一組解.消去y，整理得 3tx23t2x+t3ts=0，這個(gè)關(guān)于x的一元二次方程有且僅有一個(gè)根.所以t0并且其根的判別式 =9t412tt3ts=0.即 所以 且 t0.25本小題主要考察等差數(shù)列根本概念及其通項(xiàng)求法，考察對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)，考察歸納、推理才能以及用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)展論證的才能.解：設(shè)數(shù)列bn的公差為d，由題意得解得所以 bn =3n2.由bn =3n2，知Sn=loga1+1+ loga1+ loga1+= loga1+11+1+，loga bn+1= loga.因此要比較Sn與loga bn+1的大小，可先比較1+11+1+與的大小.取n=1有1+1>，取n=2有1+11+>，由此推測(cè)1+11+1+>. 假設(shè)式成立，那么由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可斷定：當(dāng)a>1時(shí)，Sn&