微積分定理和公式

1、一、函數(shù)【定義1.1】 設(shè)在某一變化過程中有兩個(gè)變量和,若對(duì)非空集合中的每一點(diǎn),都按照某一對(duì)應(yīng)規(guī)則,有惟一確定的實(shí)數(shù)與之相對(duì)應(yīng),則稱是的函數(shù),記作稱為自變量,稱為因變量,稱為函數(shù)的定義域,的取值范圍即集合稱為函數(shù)的值域.平面上點(diǎn)的集合稱為函數(shù)的圖形.定義域(或記)與對(duì)應(yīng)法則是確定函數(shù)的兩個(gè)要素.因此稱兩個(gè)函數(shù)相同是指它們的定義域與對(duì)應(yīng)法則都相同.（二）函數(shù)的幾何特性1單調(diào)性（1）【定義1.2】 設(shè)函數(shù)在實(shí)數(shù)集上有定義,對(duì)于內(nèi)任意兩點(diǎn),當(dāng) 時(shí),若總有成立,則稱內(nèi)單調(diào)遞增（或單增）；若總有 成立,則稱在內(nèi)嚴(yán)格單增,嚴(yán)格單增也是單增.當(dāng)在內(nèi)單調(diào)遞增時(shí),又稱內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù).單調(diào)遞增或單調(diào)遞減函數(shù)統(tǒng)稱

2、為單調(diào)函數(shù).2有界性【定義1.3】 設(shè)函數(shù),若存在實(shí)數(shù)0,使得對(duì)任意,都有,則稱在內(nèi)有界,或稱為內(nèi)的有界函數(shù).【定義1.4】 設(shè)函數(shù),若對(duì)任意的實(shí)數(shù)0,總可以找到一,使得,則稱在內(nèi)無界,或稱為內(nèi)的無界函數(shù).【定義1.5】 設(shè)函數(shù)在一個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的集合內(nèi)有定義,若對(duì)任意,都有,則稱為D內(nèi)的奇（偶）函數(shù).奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,當(dāng)為連續(xù)的函數(shù)時(shí),=0,即的圖形過原點(diǎn).偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱.關(guān)于奇偶函數(shù)有如下的運(yùn)算規(guī)律：設(shè)為奇函數(shù),為偶函數(shù),則為奇函數(shù)；為偶函數(shù)；非奇偶函數(shù)；為奇函數(shù)；均為偶函數(shù).常數(shù)C是偶函數(shù),因此,奇函數(shù)加非零常數(shù)后不再是奇函數(shù)了.利用函數(shù)奇偶性可以簡(jiǎn)化定積分的計(jì)算.對(duì)研

3、究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)作圖都有很大幫助.4周期性【定義1.6】 設(shè)函數(shù),如果存在非零常數(shù)T,使得對(duì)任意,恒有成立,則稱為周期函數(shù).滿足上式的最小正數(shù)T,稱為的基本周期,簡(jiǎn)稱周期.我們熟知的三角函數(shù)為周期函數(shù)(考綱不要求),除此以外知之甚少.是以1為周期的周期函數(shù).與的圖形分別如圖1-1(a)和圖1-1(b)所示.（三）初等函數(shù)1基本初等函數(shù)（1）常數(shù)函數(shù) ,定義域?yàn)?-,+),圖形為平行于軸的直線.在軸上的截距為.（2）冪函數(shù) ,其定義域隨著的不同而變化.但不論取何值,總在（1,+）內(nèi)有定義,且圖形過點(diǎn)（1,1）.當(dāng)0時(shí),函數(shù)圖形過原點(diǎn)（圖1-2）（a） (b)圖1-2（3）指數(shù)函數(shù) ,其定義域

4、為（-,+）.當(dāng)01時(shí),函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)遞減.當(dāng)1時(shí),函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)遞增.子數(shù)圖形過點(diǎn)（0,1）.微積分中經(jīng)常用到以為底的指數(shù)函數(shù),即（圖1-3）（4）對(duì)數(shù)函數(shù) ,其定義域?yàn)椋?,+）,它與互為反函數(shù).微積分中常用到以e為底的對(duì)數(shù),記作,稱為自然對(duì)數(shù).對(duì)數(shù)函數(shù)的圖形過點(diǎn)（1,0）（圖1-4）(圖1-3) (圖1-4) 另有兩類基本初等函數(shù)：三角函數(shù)與反三角函數(shù),不在考綱之內(nèi).對(duì)基本初等函數(shù)的特性和圖形要熟練地掌握,這充分條件判斷、導(dǎo)數(shù)和定積分應(yīng)用中都很重要.例如,設(shè)0.則 (1)在內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少；（2）在上為凸弧,均不充分.此題可以用舉例的方法來說明（1）、（2）均不充分.由初等函數(shù)的圖形可知,為凸

5、弧.=在（,）上嚴(yán)格單調(diào)遞減,但=-120,因此（1）,（2）均不充分,故選E.此題若把題干改成0,則（1）,（2）均充分,差別就在等于零與不等于零.可見用初等函數(shù)圖形來判斷非常便捷.2反函數(shù)【定義1.7】 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?值域?yàn)?如果對(duì)于每一個(gè),都有惟一確定的與之對(duì)應(yīng),且滿足是一個(gè)定義在以為自變量的函數(shù),記作并稱其為反函數(shù).習(xí)慣上用作自變量,作因變量,因此反函數(shù)常記為.函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱.嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù),且函數(shù)與其反函數(shù)有相同的單調(diào)性.互為反函.0,+的反函數(shù)為,而（,0）的反函數(shù)為（圖1-2（b）.3復(fù)合函數(shù)【定義1.8】 已知函數(shù).又,uR,若非空,則稱函數(shù)為函數(shù)的

6、復(fù)合函數(shù).其中稱為因變量,稱為自變量,稱為中間變量.4初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合運(yùn)算而得到的一切函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù),初等函數(shù)在其定義域內(nèi)有統(tǒng)一的表達(dá)式.（四）隱函數(shù)若函數(shù)的因變量明顯地表示成的形式,則稱其為顯然函數(shù).等.設(shè)自變量與因變量之間的對(duì)應(yīng)法則用一個(gè)方程式表示,如果存在函數(shù)（不論這個(gè)函數(shù)是否能表示成顯函數(shù)）,將其代入所設(shè)方程,使方程變?yōu)楹愕仁剑浩渲袨榉强諏?shí)數(shù)集.則稱函數(shù)由方程所確定的一個(gè)隱函數(shù).如方程可以確定一個(gè)定義在0,1上的隱函數(shù).此隱函數(shù)也可以表示成顯函數(shù)的形式,即但并不是所有隱函數(shù)都可以用的顯函數(shù)形式來表示,如因?yàn)槲曳ㄓ贸醯群瘮?shù)表達(dá),故它不是初等函數(shù).另

7、外還需注意,并不是任何一個(gè)方程都能確定隱函數(shù),如.（五）分段函數(shù)有些函數(shù),對(duì)于其定義域內(nèi)的自變量的不同值,不能用一個(gè)統(tǒng)一的解析式表示,而是要用兩個(gè)或兩個(gè)以上的式子表示,這類函數(shù)稱為分段函數(shù),如都是定義在（,）上的分段函數(shù).分段函數(shù)不是初等函數(shù),它不符合初等函數(shù)的定義.二、極限（不在考試大綱內(nèi),只需了解即可）極限是微積分的基礎(chǔ).（一）數(shù)列極限按照一定順序排成一串的數(shù)叫做數(shù)列,如稱為通項(xiàng).1極限定義【定義1.9】 設(shè)數(shù)列,當(dāng)項(xiàng)數(shù)無限增大時(shí),若通項(xiàng)無限接近某個(gè)常數(shù),則稱數(shù)列收斂于A,或稱A為數(shù)列的極限,記作否則稱數(shù)列發(fā)散或不存在.2數(shù)列極限性質(zhì)（1）四則極限性質(zhì) 設(shè),則（2） （為任意正整數(shù)）.（3

8、）若,則數(shù)列是有界數(shù)列.（4）夾逼定理 設(shè)存在正整數(shù),使得時(shí),數(shù)列滿足不等式.若,則.利用此定理可以證明重要極限 （e2.718,是一個(gè)無理數(shù)）.（5）單調(diào)有界數(shù)列必有極限 設(shè)數(shù)列有界,且存在正整數(shù),使得對(duì)任意都有（或）,則數(shù)列的極限一定存在.利用此定理可以證明重要極限 （e2.718,是一個(gè)無理數(shù)）.（二）函數(shù)的極限1時(shí)的極限【定義1.10】 設(shè)函數(shù)在上有定義,當(dāng)時(shí),函數(shù)無限接近常數(shù)A,則稱當(dāng)時(shí)以A為極限,記作當(dāng)或時(shí)的極限當(dāng)沿?cái)?shù)軸正（負(fù)）方向趨于無窮大,簡(jiǎn)記（）時(shí),無限接近常數(shù)A,則稱當(dāng)（）時(shí)以A為極限,記作3時(shí)的極限【定義1.11】 設(shè)函數(shù)在附近（可以不包括點(diǎn)）有定義,當(dāng)無限接近時(shí),函數(shù)無

9、限接近常數(shù)A,則稱當(dāng)時(shí),以A為極限,記作4左、右極限若當(dāng)從的左側(cè)（）趨于時(shí),無限接近一個(gè)常數(shù)A,則稱A為時(shí)的左極限,記作 或 若當(dāng)從的左側(cè)（）趨于時(shí),無限接近一個(gè)常數(shù)A,則稱A為時(shí)的右極限,記作 或 （三）函數(shù)極限的性質(zhì)1惟一性若,則A=B.2局部有界性若.則在的某鄰域內(nèi)（點(diǎn)可以除外）,是有界的.3局部保號(hào)性若.且A0（或A0,則存在的某鄰域（點(diǎn)可以除外）,在該鄰域內(nèi)有0（或0。若。且在的某鄰域（點(diǎn)可以除外）有0（或0，則必有A0（或A0）。4不等式性質(zhì)若，且A>B，則存在的某鄰域（點(diǎn)可以除外），使>.若，.且在的某鄰域（點(diǎn)可以除外）有<或（），則AB。5四則運(yùn)算同數(shù)列（四）

10、無窮小量與無窮大量1無窮小量的定義【定義1.12】 若，則稱是時(shí)的無窮小量。（若則稱是時(shí)的無窮大量）。2無窮小量與無窮大量的關(guān)系無窮小量的倒數(shù)是無窮大量；無窮大量的倒數(shù)是無窮小量。3無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)（i）有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和仍為無窮小量。（ii）無窮小量乘有界變量仍為無窮小量。（iii）有限個(gè)無窮小量的乘積仍為無窮小量。4無窮小量階的比較設(shè)， 5等價(jià)無窮小常用的等價(jià)無窮?。菏?，等價(jià)無窮小具有傳遞性，即，又。等價(jià)無窮小在乘除時(shí)可以替換，即，則第二講 函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算重點(diǎn)：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義、基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算。三、

11、函數(shù)的連續(xù)性（一）函數(shù)連續(xù)的概念1兩個(gè)定義【定義1.13】 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?。若，則稱點(diǎn)連續(xù)；若中每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱點(diǎn)右連續(xù)?！径x1.14】 若，則稱點(diǎn)右連續(xù)。若，則稱點(diǎn)左連續(xù)。點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)既左連續(xù)又右連續(xù)。2連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算連續(xù)函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算或復(fù)合而得到的函數(shù)仍然連續(xù)，因而初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)處處連續(xù)。（二）間斷點(diǎn)1若都存在，且不全等于，則稱為的第一類間斷點(diǎn)。其中若存在，但不等于（或在無定義），則為的可去間斷點(diǎn)。若都存在，但不相等，則稱為的跳躍間斷點(diǎn)。2若中至少有一個(gè)不存在，則稱為的第二類間斷點(diǎn)。（三）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)若在區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)都連續(xù)，又，則稱函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)。1最值定理

12、設(shè)在上連續(xù)，則在上必有最大值M和最小值m,即存在，使。2價(jià)值定理設(shè)在上連續(xù)，且m,M分別是在上最小值與最大值,則對(duì)任意的，總存在一點(diǎn)。【推論1】 設(shè)在上連續(xù)，m,M分別為最小值和最大值，且mM<0,則至少存在一點(diǎn)?！就普?】 設(shè)在連續(xù)，且，則一定存在使。推論1，推論2又稱為零值定理。第二章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一、導(dǎo)數(shù)的概念1導(dǎo)數(shù)定義【定義2.1】 設(shè)y=f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義,在該鄰域內(nèi)給自變量一個(gè)改變量,函數(shù)值有一相應(yīng)改變量,若極限存在,則稱此極限值為函數(shù)y=f(x)在x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù),此時(shí)稱y=f(x)在x0點(diǎn)可導(dǎo),用表示.若在集合D內(nèi)處處可導(dǎo)（這時(shí)稱f(x)在D內(nèi)可導(dǎo)）,則對(duì)任意,相

13、應(yīng)的導(dǎo)數(shù)將隨的變化而變化,因此它是x的函數(shù),稱其為y=f(x)的導(dǎo)函數(shù),記作.2導(dǎo)數(shù)的幾何意義若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),則就是曲線y=f(x)在點(diǎn)（x0,y0）處切線的斜率,此時(shí)切線方程為.當(dāng)=0,曲線y=f(x)在點(diǎn)（x0,y0）處的切線平行于x軸,切線方程為.若f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù),又當(dāng)時(shí),此時(shí)曲線y=f(x)在點(diǎn)（x0,y0）處的切線垂直于x軸,切線方程為x=x0.3左、右導(dǎo)數(shù)【定義2.2】 設(shè)f(x)在點(diǎn)x0點(diǎn)的左側(cè)鄰域內(nèi)有定義,若極限存在,則稱此極限值為f(x)在點(diǎn)x0處的左導(dǎo)數(shù),記為=類似可以定義右導(dǎo)數(shù).f(x)在點(diǎn)x0點(diǎn)處可導(dǎo)的充要條件是f(x)在點(diǎn)x0點(diǎn)處的左、右導(dǎo)數(shù)都存

14、在且相等,即存在.若f(x)在（a,b）內(nèi)可導(dǎo),且及都存在,則稱f(x)在a,b上可導(dǎo).4可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系若函數(shù)點(diǎn)可導(dǎo),則在點(diǎn)處一定連續(xù).此命題的逆命題不成立.郵導(dǎo)數(shù)定義,極限存在可知,在點(diǎn)可導(dǎo),必有,故在點(diǎn)連續(xù).但在點(diǎn)連續(xù)只說明當(dāng)時(shí),也有,而當(dāng)?shù)臒o窮小的階低于時(shí),極限即不存在,故在點(diǎn)不可導(dǎo).只有與是同階無窮小,或是比高階的無窮小時(shí),在點(diǎn)才可導(dǎo).例如,點(diǎn)連續(xù),但不可導(dǎo).二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1幾個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）（2）（3）（4）2導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算（1）；（2）；（3）；（4）；3復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在x處可導(dǎo),而函數(shù)在相應(yīng)的點(diǎn)處可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo),且.4高階導(dǎo)數(shù)（二階導(dǎo)數(shù)）若函數(shù) 區(qū)

15、間（a,b）內(nèi)可導(dǎo),一般說來,其導(dǎo)數(shù)仍然是x的函數(shù),如果也是可導(dǎo)的,則對(duì)其繼續(xù)求導(dǎo)數(shù),所得的導(dǎo)函數(shù)稱為的二階導(dǎo)數(shù),記為.【注】 更高階的導(dǎo)數(shù)MBA大綱不要求,二階導(dǎo)數(shù)主要用來判定極值、函數(shù)凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).導(dǎo)數(shù)的計(jì)算要求非常熟練、準(zhǔn)確第三講 微分、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用重點(diǎn)：微分的概念及運(yùn)算、求曲線切線方程的方法、函數(shù)單調(diào)區(qū)間、極值、最值的求法三、微分1微分的概念【定義2.3】 設(shè)在的某鄰域內(nèi)有定義,若在其中給一改變量,相應(yīng)的函數(shù)值的改變量可以表示為其中A與無關(guān),則稱在點(diǎn)可微,且稱A為在點(diǎn)的微分,記為是函數(shù)改變量的線性主部.在可微的充要條件是在可導(dǎo),且.當(dāng)時(shí),可得,因此由此可以看出,微分的計(jì)算完全可以借助導(dǎo)

16、數(shù)的計(jì)算來完成.（2）微分的幾何意義 當(dāng)由變到時(shí),函數(shù)縱坐標(biāo)的改變量為,此時(shí)過點(diǎn)的切線的縱坐標(biāo)的改變量為dy.如圖2-1所示.當(dāng)dy<時(shí),切線在曲線下方,曲線為凹弧.當(dāng)dy>時(shí),切線在曲線上方,曲線為凸弧.2微分運(yùn)算法則設(shè)可微,則一階微分形式不變性：設(shè)是由可微函數(shù)和復(fù)合而成,則關(guān)于x可微,且由于,不管u是自變量還是中間變量,都具有相同的形式,故稱一階微分形式不變.但導(dǎo)數(shù)就不同了：若u是自變量,.若u是中間變量,.四、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程求切線方程大致有四種情況,最簡(jiǎn)單的一種是求過曲線上一點(diǎn)的切線方程,此時(shí)只需求出,切線方程為.第二種情況是過曲線外一點(diǎn)（a,b）,求曲線

17、的切線方程,此時(shí).設(shè)切點(diǎn)為,切線方程為,將點(diǎn)（a,b）代入方程中,有從中求出,化成第一種情況的切線方程,若得到惟一,則切線也不惟一.第三種情況是求兩條曲線的公共切線,這兩條曲線可能相離,也可能相交.設(shè)兩曲線為解題方法是設(shè)在兩條曲線上的切點(diǎn)分別為這兩點(diǎn)的切線斜率相等,從而有方程 另外過點(diǎn)（）的切線方程也過點(diǎn)（b,g(b)）,故有由、求出a,b,有了切點(diǎn),切線方程也就可以寫出來了.第四種情況是求兩條曲線在某公共點(diǎn)處的公切線.設(shè)曲線在某點(diǎn)處相切,求a的值與切線方程.則可設(shè)切點(diǎn)為,從而有,由兩方程聯(lián)和可得a的值及切點(diǎn)橫坐標(biāo).即切點(diǎn),再由第一種情況,寫出切線方程.五、函數(shù)的增減性、極值、最值1函數(shù)的增減

18、性的判定設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在（a,b）內(nèi)可導(dǎo),若,則在a,b上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）.反之,若在（a,b）上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）且可導(dǎo),則.二者的差異在于有沒有等號(hào).2極值概念與判定【定義2.4】 設(shè)在的某鄰域內(nèi)有定義,對(duì)該鄰域內(nèi)任意點(diǎn)x,都有（或）,則稱為極大值（或極小值）為極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)）.需要注意的是,極值點(diǎn)一定是內(nèi)點(diǎn),極值不可能在區(qū)間的端點(diǎn)取到.（1）極值存在的必要條件：若在點(diǎn)可導(dǎo),且為極值點(diǎn),則=0.因此,極值點(diǎn)只需在=0的點(diǎn)（駐點(diǎn)）或不存在的點(diǎn)中去找,也就是說,極值點(diǎn)必定是=0或不存在的點(diǎn),但這種點(diǎn)并不一定都是極值點(diǎn),故應(yīng)加以判別.（2）極值存在的充分條件,即極值的判別

19、法,分為第一判別法和第二判別法.第一判別法用一階導(dǎo)數(shù)判定.高在點(diǎn)連續(xù),且=0（或不存在）.若存在,使得當(dāng)時(shí),有>0（或不存在）,當(dāng)時(shí),有<0（或>0）,此時(shí)為極大（極?。┲迭c(diǎn).為極大（極?。┲?若在的左右不變號(hào),則不是極值點(diǎn).以上判別法用下表示意更清楚.x+極大值點(diǎn)極小值點(diǎn)不是極值點(diǎn)不是極值點(diǎn)+第二判別法需用二階導(dǎo)數(shù)判定,只適用于二階導(dǎo)數(shù)存在且不為零的點(diǎn),因此有局限性.當(dāng)=0,若,則為極小值點(diǎn),若,為極大值點(diǎn),判別法失效,仍需用第一判別法.3函數(shù)在閉區(qū)間a,b上的最大值與最小值.極值是函數(shù)的局部性質(zhì).最值是函數(shù)的整體性質(zhì).求最大值與最小值只需找出極值的可疑點(diǎn)（駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)）

20、,把這些點(diǎn)的函數(shù)值與區(qū)間的端點(diǎn)函數(shù)值比較,找出最大的與最小的即為最大值和最小值,相應(yīng)的點(diǎn)為最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn).第四講 函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)、不定積分重點(diǎn)：函數(shù)圖形凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)求法、找原函數(shù)的換元積分法和分部積分法六、函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及其判定1概念【定義2.5】 若在某區(qū)間內(nèi),曲線弧上任一點(diǎn)處的切線位于曲線的下方,則稱曲線在此區(qū)間內(nèi)是上凹的,或稱為凹?。ê?jiǎn)記為）；反之,切線位于曲線上方,則稱曲線是上凸的,亦稱凸?。ê?jiǎn)記為）,曲線凹、凸的分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn).2凹凸的判定設(shè)函數(shù)在區(qū)間（a,b）內(nèi)二階可導(dǎo),若在（a,b） 內(nèi)恒有>0（或<0）,則曲線在（a,b）內(nèi)是凹?。ɑ蛲够。?3

21、拐點(diǎn)的求法與判定拐點(diǎn)存在的必要條件是=0或不存在（請(qǐng)與極值比較其共性）.設(shè)在（a,b）內(nèi)二階可導(dǎo),不存在,若在點(diǎn)的左右變號(hào),則點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn),否則就不是拐點(diǎn).由以上可以看出,要求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn),只要找出其一階導(dǎo)數(shù)等于零和一階導(dǎo)不存在的點(diǎn),設(shè)這種點(diǎn)一共有k個(gè),則這個(gè)k個(gè)點(diǎn)把整個(gè)區(qū)間分成k+1個(gè)子區(qū)間,在每一個(gè)子區(qū)間內(nèi)不變號(hào),由>0（或）判定f（x）在該子區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增（或遞減）,同時(shí)也可以將極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)求出.求函數(shù)曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn).只需求二階導(dǎo)數(shù)等于零或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),然后用上面的方法加以判定.第三章 定積分及其應(yīng)用 一、不定積分1不定積分概念【定義3.1】(原函數(shù))

22、 若對(duì)區(qū)間I上的每一點(diǎn)x,都有則稱F（x）是函數(shù)f(x)在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù).原函數(shù)的特性 若函數(shù)f(x)有一個(gè)原函數(shù)F(x),則它就有無窮多個(gè)原函數(shù),且這無窮多個(gè)原函數(shù)可表示為F（x）+C的形式,其中C是任意常數(shù).【定義3.2】(不定積分) 函數(shù)f(x)的原函數(shù)的全體稱為f(x)的不定積分,記作.若F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù),則【定義3.3】(原函數(shù)的存在性) 在區(qū)間I上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上存在原函數(shù)；且原函數(shù)在該區(qū)間上也必連續(xù).2不定積分的性質(zhì)（1）積分運(yùn)算與微分運(yùn)算互為逆運(yùn)算.（2）（3）3基本積分公式4求不定積分的基本方法和重要公式（1）直接積分法所謂直接積分法就是用基本積分公式

23、和不定積分的運(yùn)算性質(zhì),或先將被積函數(shù)通過代數(shù)或三角恒等變形,再用基本積分公式和不定積分的運(yùn)算性質(zhì)可求出不定積分的結(jié)果.（2）換元積分法（I）第一換元積分法【公式3.1】 若,則 = .【說明】 1°運(yùn)算較熟練后,可不設(shè)中間變量,上式可寫作2°第一換元積分法的實(shí)質(zhì)正是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式的逆用.它相當(dāng)于將基本積分公式中的積分變量x用x的可微函數(shù)替換后公式仍然成立.用第一換元積分法的思路不定積分可用第一換元積分法,并用變量替換,其關(guān)鍵是被積函數(shù)g(x)可視為兩個(gè)因子的乘積且一個(gè)因子的函數(shù)（是積分變量x的復(fù)合函數(shù)）,另一個(gè)因子是的導(dǎo)數(shù)（可以相差常數(shù)因子）.有些不定積分,初看起來,被積

24、函數(shù)不具有上述第一換元積分法所要求的特征,在熟記基本積分公式的前提下,注意觀察被積函數(shù)的特點(diǎn),將其略加恒等變形：代數(shù)或三角變形,便可用第一換元積分法.（II）第二換元積分法【公式3.2】 【說明】 第二換元積分法與第一換元積分法實(shí)際上正是一個(gè)公式從兩個(gè)不同的方向運(yùn)用 用第二換元積分法的思路若所給的積分不易積出時(shí)，將原積分變量x用新變量t的某一函數(shù)來替換，化成以t為積分變量的不定積分，若該積分易于積出，便達(dá)到目的。被積函數(shù)是下述情況，一般要用第二換元積分法：1°被積函數(shù)含根式，求其反函數(shù)。作替換，可消去根式，化為代數(shù)有理式的積分。2°被積函數(shù)含根式時(shí)，令，求其反函數(shù)，作替換可

25、消去根式。被積函數(shù)含指數(shù)函數(shù)，有時(shí)也要作變量替換：令，設(shè)，以消去。（3）分部積分法【公式3.3】 【說明】 分部積分法是兩個(gè)函數(shù)乘積求導(dǎo)數(shù)公式的逆用。用分部積分法的思路(I)公式的意義欲求 求(II)關(guān)于選取u和用分部積分法的關(guān)鍵是,當(dāng)被積函數(shù)看作是兩個(gè)函數(shù)乘積時(shí),選取哪一個(gè)因子為,哪一個(gè)因子為.一般來說,選取u和應(yīng)遵循如下原則:1°選取作的函數(shù),應(yīng)易于計(jì)算它的原函數(shù);2°所選取的u和,要使積分較積分易于計(jì)算;3°有的不定積分需要連續(xù)兩次(或多于兩次)運(yùn)用分部積分法,第一次選作(或u)的函數(shù),第二次不能選由(或u)所得到的v(或).否則,經(jīng)第二次運(yùn)用,被積函數(shù)又將

26、復(fù)原.()分部積分法所適用的情況由于分部積分法公式是微分法中兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)數(shù)公式的逆用,因此,被積函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)乘積時(shí),往往用分部積分法易見效.5.求不定積分需要注意的問題(1)由于初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間上是連續(xù)的,所以每個(gè)初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間上都有原函數(shù),但初等函數(shù)的原函數(shù)并不都是初等函數(shù).例如等的原函數(shù)就無法用初等函數(shù)表示.(2)對(duì)同一個(gè)不定積分,采用不同的計(jì)算方法,往往得到形式不同的結(jié)果.這些結(jié)果至多相差一個(gè)常數(shù),這是由于不定積分的表達(dá)式中含有一個(gè)任意常數(shù)所致.第五講重點(diǎn)：定積分的概念、性質(zhì)、變限求導(dǎo)、牛頓-菜布尼茲公式、定積分的換元積方法和分部積分法二、定積分1定積分的定義【

27、定義3.1】(定積分) 函數(shù)在區(qū)間a,b上的定積分定義為，其中.由定積分的定義,可推出以下結(jié)論:(1)定積分只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān);(2)定積分的值與積分變量無關(guān),即;(3),特別地, .定積分的幾何意義設(shè)在a,b上邊續(xù), 在幾何上表示介于i軸、曲線y=及直線之間各部分面積的代數(shù)和,在x軸上方取正號(hào),在x軸下方取負(fù)號(hào).利用定積分的幾何意義,可以計(jì)算平面圖形的面積,也是考綱中要求的定義應(yīng)用內(nèi)容.【定理3.2】(可積的必要條件) 若函數(shù)在區(qū)間a,b上可積,則在a,b上有界.【定理3.2】(可積的充分條件) 若函數(shù)在區(qū)間a,b上連續(xù),則在a,b上可積.【定理3.4】(可積的充分條件) 在區(qū)間a,

28、b上只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)在該區(qū)間上可積.2.定積分的性質(zhì)設(shè),在a,b上可積(1)為常數(shù);(2);(3)對(duì)積分區(qū)間的可加性 對(duì)任意三個(gè)數(shù)a,b,c,總有(4)比較性質(zhì) 設(shè),則.特別地1°若,則;2°(5).【定理3.5】(估值定理) 若在a,b上的最大值與最小值分別為M與m,則.【定理3.6】(積分中值定理) 若在a,b上連續(xù),則在a,b上至少存在一點(diǎn),使.上式若寫成,該式右端稱為函數(shù)在區(qū)間a,b上的平均值.3.微積分學(xué)基本定理【定理3.7】(原函數(shù)存在性定理) 若函數(shù)在區(qū)間a,b上連續(xù),則函數(shù)是在a,b上的一個(gè)原函數(shù),即.設(shè)可導(dǎo)【推論1】 設(shè),則.【推論2】 設(shè),則.

29、【推論3】 ,則.【定理3.8】(牛頓-萊布尼茨公式) 若函數(shù)在區(qū)間a,b上連續(xù)，是在a,b上的一個(gè)原函數(shù)，則.上述公式也稱為微積分基本定理,是計(jì)算定積分的基本公式.4.計(jì)算定積分的方法和重要公式(1)直接用牛頓-萊布尼茨公式這時(shí)要注意被積函數(shù)在積分區(qū)間a,b上必須連續(xù).(2)換元積分法【公式3.4】 設(shè)函數(shù)在區(qū)間a,b上連續(xù),而函數(shù)滿足下列條件:1°在區(qū)間上是單調(diào)連續(xù)函數(shù);2°3°上連續(xù),則 .該公式從右端到左端相當(dāng)于不定積分的第一換元積分法;從左端到右端相當(dāng)于不定積分的第二換元積分法,即用定積分的換元積分法與不定積分的換元積分法思路是一致的.作變量替換是,要相

30、應(yīng)地變換積分上下限.(3)分部積分法【公式3.5】 設(shè)函數(shù)在區(qū)間a,b上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),則.用該公式時(shí),其思路與不定積分法的分部積分法是相同的.除此此外,當(dāng)被積函數(shù)為變上限的定積分時(shí),一般要用分部積分法.例如,設(shè),這時(shí),應(yīng)設(shè).(4)計(jì)算定積分常用的公式1°.2°奇偶函數(shù)積分 設(shè)上連續(xù),則3°.計(jì)算定積分,當(dāng)積分區(qū)間為-a,a時(shí),應(yīng)考慮兩種情況:其一是函數(shù)的奇偶性;其二是作變量替換,用上述公式3°,當(dāng)公式右端的積分易于計(jì)算時(shí),便達(dá)目的.4°周期函數(shù)積分 設(shè)是以T為周期的周期函數(shù),則.5°若以T為周期且是奇函數(shù),則第六講重點(diǎn)：廣義積分、利用

31、定積分的性質(zhì)還應(yīng)平面圖形面積(直角坐標(biāo)系下).5.廣義積分前面引進(jìn)的定積分有兩個(gè)特點(diǎn):積分區(qū)間為有限區(qū)間;被積函數(shù)在a,b上為連續(xù)函數(shù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn),從而在a,b上是有界函數(shù).廣義積分是指具有下列兩個(gè)特點(diǎn)之一的積分:積分區(qū)間為無窮區(qū)間;被積函數(shù)為有限區(qū)間上的無界函數(shù).MBA大綱只要求無窮區(qū)間上的積分.無窮積分在概率中廣泛應(yīng)用.無窮區(qū)間上的積分【定義3.4】 函數(shù)在區(qū)間a,+上有定義,在a,b(a<b<+)上可積.若極限存在,則稱廣義積分收斂,并規(guī)定若上述極限不存在,則稱廣義積分發(fā)散.類似地,廣義積分用極限的存在與否來定義它的斂散性.函數(shù)在上的廣義積分,定義為其中c是任一有

32、限數(shù),任當(dāng)?shù)忍?hào)右端的兩個(gè)廣義積分都收斂時(shí),左端的廣義積分才收斂;否則稱它是發(fā)散的.6.定積分的應(yīng)用(求平面圖形的面積)(1)面積公式1°曲線,直線所圍圖形的面積2°曲線,和直線所圍圖形的面積3°曲線,直線所圍圖形的面積4°曲線,和直線所圍圖形的面積(2)解題程序1°據(jù)已知條件畫出草圖;2°選擇積分變量并確定積分限:直接判定或解方程組確定曲線的交點(diǎn);3°用相應(yīng)的公式計(jì)算面積.【說明】 選擇積分變量時(shí),一般情況下計(jì)算面積時(shí),圖形不分塊或少分塊為好.第七講 第四章 多元函數(shù)微分學(xué)重點(diǎn)：一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算(不含復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù))

33、、二元函數(shù)無條件極值的求法(必要性和充分性)一、重要定義、定理及公式1.多元函數(shù)、極限與連續(xù)概念【定義4.1】(二元函數(shù)定義) 以x,y為自變量,z為因變量的二元函數(shù)記作數(shù)對(duì)集D是函數(shù)的定義域，f是由(x,y)對(duì)應(yīng)z的法則;若記,則Z是函數(shù)的值域.幾何意義 函數(shù),其圖形是空間直角坐標(biāo)系下一張空間曲面;該曲面在Oxy平面上的投影區(qū)域就是該函數(shù)的定義域D.【定義4.2】(二元函數(shù)的極限) 函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)除去點(diǎn)以外都有定義.如果動(dòng)點(diǎn)P（x,y）與定點(diǎn)之間的距離趨向于0時(shí)，趨向于一個(gè)常數(shù)A，那么就稱A為P趨向于時(shí)函數(shù)的極限，記作【定義4.3】(連續(xù)性) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義,若則稱函數(shù)在點(diǎn)

34、連續(xù);否則稱函數(shù)在間斷.【定理4.4】(最值定理) 有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù),在D上必有最大值和最小值.2.偏導(dǎo)數(shù)【定義4.5】(偏導(dǎo)數(shù)定義) 函數(shù)在點(diǎn)關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)記作;定義為 函數(shù)在點(diǎn)關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)記作;定義為函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)分別記作偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系二元函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)不是偏導(dǎo)數(shù)存在的必要條件;偏導(dǎo)數(shù)存在也未必連續(xù).【定義4.5】(高階偏導(dǎo)數(shù)) 函數(shù)在偏導(dǎo)數(shù)、關(guān)于x和關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù),稱為的二階偏導(dǎo)數(shù),共有四個(gè):【定理4.6】 若函數(shù)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)和在區(qū)域D內(nèi)連續(xù),則必有=.3.多元函數(shù)的極值【定義4.7】(二元函數(shù)極限定義) 在函數(shù)有定義的點(diǎn)的某鄰域內(nèi),若有,則稱是函數(shù)的極大值或極小值,點(diǎn)稱為函數(shù)的極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn).極值存在的條件【定義4.8】(極值存在的必要條件) 若函數(shù)在點(diǎn)存在偏導(dǎo)數(shù),且是極值點(diǎn),則【定義