數(shù)學(xué)中的類比法淺析

1、數(shù)學(xué)中的類比法淺析劉孚梅論文摘要 類比法是在兩個(gè)或兩類事物間進(jìn)行對(duì)比，找出一些相同或相似點(diǎn)后,猜測(cè)在其他方面也可能存在相同或相似之處，并做出某種判斷的推理方法。隨著課程改革的深入,培養(yǎng)學(xué)生的綜合解題能力越來(lái)越重要,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透和培養(yǎng)。類比思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。類比可以使學(xué)生經(jīng)歷探究的學(xué)習(xí)過(guò)程,改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式;類比能培養(yǎng)學(xué)生直覺(jué)思維能力,是一種很重要的思維方法;類比可以增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí),提高解決問(wèn)題的能力。在教學(xué)中，對(duì)學(xué)生進(jìn)行類比法的訓(xùn)練，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的一種方法。不過(guò)，對(duì)類比法得到的結(jié)論，要提醒學(xué)生學(xué)會(huì)用實(shí)例進(jìn)行檢驗(yàn)，以提高學(xué)生判斷問(wèn)題的能力。關(guān)鍵

2、詞 推理 解題法 類比法 思維 創(chuàng)造性 檢驗(yàn)類比法也叫“比較類推法”，作為一種推理的方法,指的是根據(jù)兩種事物在某些特征上的“相似”,作出它們?cè)谄渌卣魃弦部赡堋跋嗨啤钡呐袛?。類比法在初中?shù)學(xué)范圍內(nèi)應(yīng)用極其廣泛, 是發(fā)現(xiàn)概念、方法、公式和定理的重要手段。類比法是重要的教學(xué)方法,數(shù)學(xué)中的許多定理、公式是通過(guò)類比得到的,在解題中尋找問(wèn)題的線索,往往也借助于類比方法,從而達(dá)到啟發(fā)思路的目的。下面就數(shù)學(xué)教學(xué)中的類比法談點(diǎn)粗淺的看法。一、類比分類數(shù)學(xué)中的類比，主要有以下幾種：（一）結(jié)構(gòu)形式的類比結(jié)構(gòu)關(guān)系相同或相似的兩類事物，可以并列或平行的類比。例如：加法運(yùn)算律與乘法運(yùn)算律，向量與復(fù)數(shù)，圓與橢圓等，因它們

3、的性質(zhì)結(jié)構(gòu)相近，可以從結(jié)構(gòu)方面類比。類比時(shí)，要抓住兩者平行的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，并要注意兩者的不同對(duì)類比結(jié)果的影響。例如：等差、等比數(shù)列類比：等差數(shù)列：用減法定義，用加法表述性質(zhì)；等比數(shù)列：用除法定義，用乘法表述性質(zhì)。由等差數(shù)列中，若 ，有等式成立，可以類比出，等比數(shù)列中，若 （其中不等于0），則 成立。該類比是從等差等比數(shù)列并列的結(jié)構(gòu)點(diǎn)進(jìn)行類比的。（二）概念類比理解本質(zhì)辨異同。概念類比, 數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的細(xì)胞, 是形成數(shù)學(xué)知識(shí)體系的要素, 是基礎(chǔ)知識(shí)的核心內(nèi)容。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是重要的一環(huán),對(duì)于概念本質(zhì)的理解是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn),如何有效的進(jìn)行突破呢?進(jìn)行概念的類比教學(xué)不失為一

4、種有效的途徑與方法。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有大量的概念,如果孤立地去理解與記憶這些概念,會(huì)成為學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)負(fù)擔(dān),但從概念的定義形式上看,有一部分概念的定義形式是相似的,通過(guò)這些概念之間的類比,進(jìn)一步理解概念的本質(zhì).例如: 三角形,四邊形,多邊形概念分別為: 由不在同一條直線上的三條線段首尾順次連接所組成的圖形叫做三角形。由在同一平面且不在同一條直線上的四條線段首尾順次連接所組成的圖形叫做四邊形. 由在同一平面且不在同一直線上的多條線段首尾順次連結(jié)所組成的圖形叫做多邊形. 從概念的定義形式上來(lái)看,是對(duì)一類圖形條件的限制,形式上是一致的,不同之處,一是三角形定義中沒(méi)有在同一平面,二是組成線段條數(shù),其他

5、都是相一致 的.通過(guò)這樣的類比,學(xué)生能從一個(gè)新的角度與高度對(duì)這三個(gè)概念進(jìn)行認(rèn)識(shí)與理解, 進(jìn)一步理解概念的本質(zhì)。在回顧與拓展中設(shè)置了一個(gè)學(xué)生跳一跳能解決的問(wèn)題:4 a 的含義,a 的取值, 讀法分別是什么呢? 生 1:四次方根,生 2:算術(shù)四次方根 學(xué)生對(duì) 4 a 的讀法,寫(xiě)法,含義,a 的取值都能進(jìn)行明確的回答與分析,這樣的 知識(shí)拓展,顯然是教師采用概念形成類比的結(jié)果,開(kāi)啟了學(xué)生思維的大門(mén),找到了 學(xué)習(xí)新知的有效方法與途徑. 數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ).學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程,同化過(guò)程,就決定 了對(duì)數(shù)學(xué)概念掌握的程度.只有理解數(shù)學(xué)概念,剖析概念,抓住概念的本質(zhì),才能 舉一反三,觸類旁通。在幾何

6、教學(xué)中，在講解相似三角形判定定理可類比全等三角形得到，全等形與相似形的關(guān)系：全等三角形是相似三角形，當(dāng)相似比值Kl時(shí)的特例，全等與相似條件的比較：(1)兩角相等兩三角形相似兩角相等，夾邊相等兩三角形全等；(2)兩邊成比例、夾角相等兩三角形相似兩邊相等，夾角相等兩三角形全等；(3)三邊對(duì)應(yīng)成比例兩三角形相似三邊對(duì)應(yīng)相等兩三角形全等。此外，在多項(xiàng)式除法與多位數(shù)除法，因式分解與質(zhì)因數(shù)分解：開(kāi)立方與開(kāi)平方，中心對(duì)稱與軸對(duì)稱；分比定理與合并定理；扇形面積公式與三角形面積公式等等，都可以通過(guò)類比和對(duì)比進(jìn)行教學(xué)，這種數(shù)學(xué)方法的教學(xué)，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中能較輕松地接受新知識(shí)，在實(shí)踐中也證明，這種類比和對(duì)比的數(shù)學(xué)方

7、法，學(xué)生掌握的知識(shí)扎實(shí)，理解也較好。當(dāng)然，類比和對(duì)比只能用來(lái)幫助我們建立猜想，作為研究問(wèn)題的線索。（三）方法類比在教學(xué)中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形時(shí),可以將它和軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形放在一起進(jìn)行類比教學(xué)。為了弄清“中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形的區(qū)別和聯(lián)系”也可以先提問(wèn)題“軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的區(qū)別和聯(lián)系”讓學(xué)生在橫向上有一個(gè)類比。甚至在教學(xué)“中心對(duì)稱作圖”時(shí)也可類比“軸對(duì)稱作圖”,只要將“垂直、延長(zhǎng)、相等”改成“連接、延長(zhǎng)、相等”。這樣,通過(guò)對(duì)兩個(gè)類比對(duì)象各個(gè)方面的比較,學(xué)生就很容易接受新知識(shí),真正是“溫故而知新”,起到了一箭雙雕的效果。再例如:初一數(shù)學(xué)合并同類項(xiàng)的教學(xué)，計(jì)算:1+2=3；-1+(-2)=-3；

8、1+(-2)=-1；a+2a=3a；-a+(-2a)=-3a； a+(-2a)=-a；a2b+2a2b=3a2b；-a2b+(-2a2b)=-3a2b ；a2b+(-2a2b)=-a2b這樣可以通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算方法類比出合并同類項(xiàng)的方法(只把同類項(xiàng)的系數(shù)相加,字母部分不變)。（四）升、降維類比將二維平面中的對(duì)象升級(jí)到三維空間中的對(duì)象，這種類比方法是升維類比。從平面到立體是典型的升維類比,立體幾何中不少定理結(jié)論可以溯源于平面幾何的某些定理結(jié)論。將三維空間的對(duì)象降到二維（或一維）空間中的對(duì)象，則是降維類比。（六）特殊與一般的類比所謂類比推理,是指通過(guò)兩個(gè)(或兩類)對(duì)象的一些相同(或相似)屬性的比較,

9、從而推出它們的某些其他屬性也相同(或相似)的一種邏輯方法。類比對(duì)象 類比屬性甲 ABCD乙 ABC所以,乙對(duì)象可能具有屬性D。這是從特殊到特殊的一種推理形式,以兩個(gè)對(duì)象之間的類似為基礎(chǔ)的,但所推出的結(jié)論未必可靠,僅是一種“似真”的結(jié)果,帶有猜測(cè)的性質(zhì)。例如學(xué)生在學(xué)習(xí)不等式的加減移項(xiàng)法則時(shí),應(yīng)用等式的加減移項(xiàng)法則作為類比就比較容易理解這些問(wèn)題。但這種類比卻又容易造成以后乘除移項(xiàng)的失誤,有些學(xué)生根據(jù)“同向不等式可以相加”、“正數(shù)的同向不等式可以相乘”,根據(jù)類比推理得出“同向不等式可以相減”、“正數(shù)的同向不等式可以相除”這樣的錯(cuò)誤結(jié)論來(lái)。盡管類比的結(jié)果不一定正確,還必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的證明,但是通過(guò)類比聯(lián)

10、想可以發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)知識(shí),可以找到解決問(wèn)題的方法和途徑,可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維,創(chuàng)造性思維及合情推理能力。所以,類比推理是一種重要的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)法,是提出假設(shè)進(jìn)行猜想的基礎(chǔ)。二 、類比的運(yùn)用類比是一種從個(gè)別到個(gè)別，或從一般到一般的推理，運(yùn)用類比法的關(guān)鍵是找合適的類比對(duì)象，并確定它們之間的相似屬性。相似或相同的屬性越多，運(yùn)用類比法就越可靠。在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，經(jīng)常在數(shù)與形之間，平面與立體之間，低次與高次之間，相等與不相等之間進(jìn)行種種類比，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，并從簡(jiǎn)單問(wèn)題的解決中得到解決復(fù)雜問(wèn)題的方法。例如：在學(xué)習(xí)分式這章時(shí)，關(guān)鍵是要用與分?jǐn)?shù)類比的方法導(dǎo)出分式概念，分式基本性質(zhì)與分式的四則運(yùn)算法則，這樣新知

11、識(shí)易為學(xué)生接受與掌握，具體操作如下：首先，復(fù)習(xí)小學(xué)學(xué)過(guò)的分?jǐn)?shù)概念：兩數(shù)相除，可以表示成分?jǐn)?shù)的形式，如34=,(-7)2= ,5(-9)= ，一個(gè)分?jǐn)?shù)由分子、分母和分?jǐn)?shù)線構(gòu)成，分子、分母都是數(shù)，但分母不能是零，為什么分母不能為零呢?因?yàn)榱悴荒茏龀龜?shù)，分?jǐn)?shù)有正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)，如果分子等于零，只要分母不是零(不論是正數(shù)還是負(fù)數(shù))，這個(gè)分?jǐn)?shù)的值就是零。把分?jǐn)?shù)的概念引伸到代數(shù)式來(lái)，如 這兩個(gè)式子有什么特點(diǎn)?(1)分式由分子、分母與分?jǐn)?shù)線構(gòu)成；(2)分母中含有字母，這就是分式，這樣就很自然地引入了分式的概念，接著，指出分?jǐn)?shù)與分式的區(qū)別所在：分?jǐn)?shù)與分式形式相同，但分式中的分子、分母均為整式，且分母是含有字母的

12、整式。其次，在講分式的基本性質(zhì)時(shí)，先復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，推想分式的基本性質(zhì)，我們來(lái)看如何做不同分母的分?jǐn)?shù)的加法： ，這里先將異分母化為同分母，= ，這是根據(jù)什么呢?根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子與分母都乘以(或除以)同一個(gè)不等于零的數(shù)，分?jǐn)?shù)的值不變，分式是一般化了的分?jǐn)?shù)，因此，分式應(yīng)該有，這里，A、B、C是整式，由分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)應(yīng)該想到化分母為相同,所以，分式的分母應(yīng)為AB,= 。因此，分式的基本性質(zhì)是分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變。 將分式知識(shí)點(diǎn)的講解與已學(xué)過(guò)的分?jǐn)?shù)進(jìn)行類比教學(xué)，不僅讓學(xué)生復(fù)習(xí)了舊知，同時(shí)也更容易讓學(xué)生快速的接受新知，使教學(xué)起到事半功倍的效

13、果。分式的四則運(yùn)算順序也可以類比分?jǐn)?shù)進(jìn)行，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，然后再進(jìn)行乘除運(yùn)算，最后進(jìn)行加減運(yùn)算，這個(gè)順序和步驟正是分式四則混合運(yùn)算的順序和步驟。概括地說(shuō)是：“先乘除，后加減、括號(hào)內(nèi)先進(jìn)行”。三 、類比法的作用隨著課程改革的深入展開(kāi),培養(yǎng)學(xué)生的綜合解題能力越來(lái)越重要,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透和培養(yǎng)。類比思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。類比可以使學(xué)生經(jīng)歷探究的學(xué)習(xí)過(guò)程,改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式;類比能培養(yǎng)學(xué)生直覺(jué)思維能力,是一種很重要的思維方法;類比可以增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí),提高解決問(wèn)題的能力。類比法的作用是“由此及彼”。如果把“此”看作是前提，“彼”看作是結(jié)論，那么類比思維的過(guò)程就是一個(gè)推

14、理過(guò)程。古典類比法認(rèn)為，如果我們?cè)诒容^過(guò)程中發(fā)現(xiàn)被比較的對(duì)象有越來(lái)越多的共同點(diǎn)，并且知道其中一個(gè)對(duì)象有某種情況而另一個(gè)對(duì)象還沒(méi)有發(fā)現(xiàn)這個(gè)情況，這時(shí)候人們頭腦就有理由進(jìn)行類推，由此認(rèn)定另一對(duì)象也應(yīng)有這個(gè)情況?，F(xiàn)代類比法認(rèn)為，類比之所以能夠“由此及彼”，之間經(jīng)過(guò)了一個(gè)歸納和演繹程序即：從已知的某個(gè)或某些對(duì)象具有某情況，經(jīng)過(guò)歸納得出某類所有對(duì)象都具有這情況，然后再經(jīng)過(guò)一個(gè)演繹得出另一個(gè)對(duì)象也具有這個(gè)情況?，F(xiàn)代類比法是“類推”。由于類比是從特殊到特殊的一種猜測(cè)、推理,從一個(gè)已知的領(lǐng)域去探索另一個(gè)領(lǐng)域，這正符合學(xué)生的好奇、去了解陌生世界的心理,也可以極大地激發(fā)出學(xué)生的興趣,從而主動(dòng)地探索、研究新的知識(shí)。

15、類比法在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著重要的作用，它是學(xué)習(xí)知識(shí)、系統(tǒng)掌握知識(shí)和鞏固知識(shí)的有效方法。當(dāng)我們學(xué)習(xí)新知識(shí)，掌握新知識(shí)時(shí)，通過(guò)類比又可以將這些知識(shí)有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)。如二次曲線學(xué)習(xí)中，將橢圓與雙曲線相應(yīng)的概念，性質(zhì)作類比，可使之系統(tǒng)化。類比法在解題中可以啟發(fā)我們的思維，正如偉大哲學(xué)家康德所說(shuō)：“每當(dāng)理智缺乏可靠理論的思路時(shí)，類比這個(gè)方法往往可以指引我們前進(jìn)?！惫蚀?，類比法可以說(shuō)是我們中學(xué)數(shù)學(xué)解題的引路人。類比是從舊知識(shí)推出新知識(shí)的一種思考方法,也是人們聯(lián)想的思維工具.知識(shí)之間存在著思想方法等聯(lián)系,可以通過(guò)讓學(xué)生利用舊知的類比,大膽猜測(cè),從而探索新知。例如在學(xué)習(xí)三棱錐的體積時(shí),教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生與三角形的面

16、積進(jìn)行類比:因?yàn)槿切蔚牡走呴L(zhǎng)對(duì)應(yīng)三棱錐的底面積S,三角形底邊上的高對(duì)應(yīng)三棱錐的底面S上的高h(yuǎn),而二維空間里的三角形的面積公式為S=12ah,所以由類比方法推測(cè),三維空間里的三棱錐的體積應(yīng)為V=13hS;在證明三角形面積公式時(shí)可以把三角形補(bǔ)成一個(gè)平行四邊形,三角形的面積是平行四邊形的面積的一半,而類似地,要求三棱錐的體積,應(yīng)把它補(bǔ)成一個(gè)三棱柱,然后再分割成三個(gè)等體積的三棱錐,這就是課本上的方法如果我們教師運(yùn)用類比的方法引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考,那么他們對(duì)這種方法的理解就會(huì)毫無(wú)困難。教師教學(xué)生,不能是簡(jiǎn)單地講解知識(shí),不能僅滿足于讓學(xué)生模仿性地解題,更要讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想,分析問(wèn)題的能力、遷移解題的

17、能力。采用類比聯(lián)想,能使學(xué)生通過(guò)舉一反三、觸類旁通,迅速地掌握數(shù)學(xué)的基本知識(shí)和技能。在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中,雖然問(wèn)題情境發(fā)生了根本性的變化,兩個(gè)對(duì)象在表面上毫無(wú)共同之處,但通過(guò)以發(fā)散的思維來(lái)分析問(wèn)題形式,創(chuàng)造條件,使兩者存在共同點(diǎn),這種類比不是一種簡(jiǎn)單的模仿,而是一種創(chuàng)造性,這對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和創(chuàng)造性思維能力有著極其重要的作用。例如有這樣的一個(gè)問(wèn)題曾難倒了大部分學(xué)生:“求證:正四面體A-BCD內(nèi)的任意一點(diǎn)P到各個(gè)面的距離之和等于常數(shù)”.其實(shí)只要與平面幾何的問(wèn)題進(jìn)行類比:“求證:等邊三角形內(nèi)的任意一點(diǎn)P到三角形的三邊的距離之和等于常數(shù)”。由于平面幾何中該命題的證明采用的是“面積法”

18、,類似地,這個(gè)立體幾何問(wèn)題可采用“體積法”,于是問(wèn)題迎刃而解。其一類比思維:是解答數(shù)學(xué)題的基本方法。類比思維包括兩方面的含義:(1)聯(lián)想,即由新信息引起的對(duì)已有知識(shí)的回憶;(2)類比,在新、舊信息間找相似和相異的地方,即異中求同或同中求異。通過(guò)類比思維,在類比中聯(lián)想,從而升華思維,既有模仿又有創(chuàng)新。其二類比聯(lián)想:是指對(duì)一件事物的認(rèn)識(shí)引起對(duì)和該事物在形態(tài)。事實(shí)上,當(dāng)我們遇到一個(gè)較為生疏的難題而又無(wú)從下手的時(shí)候,如果能構(gòu)造一個(gè)類似的熟悉問(wèn)題,從這個(gè)熟悉問(wèn)題的解答過(guò)程中得到啟發(fā),那么就很有可能悟出原問(wèn)題的解法。四、運(yùn)用類比推理應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題第一,要善于觀察事物的特點(diǎn)。注意從不同事物身上發(fā)現(xiàn)它們的共同或相似之處,并追究造成這種共同或相似的原因。要大膽放寬眼界,做到不受自己的研究對(duì)象和學(xué)科的限制。 第二,類比通常與歸納、演繹綜合運(yùn)用,相互融合，協(xié)調(diào)發(fā)展。另外它也離不開(kāi)分析、觀察、猜想。探索性演繹法通常是靠猜想與聯(lián)想、直覺(jué)等心智運(yùn)動(dòng)串聯(lián)起來(lái)的,因此必須自覺(jué)掌握創(chuàng)造性思維等特征,并運(yùn)用到實(shí)際工作中去。第三,要善于聯(lián)想。從一種