數(shù)字信號(hào)處理課后答案 第2章高西全

1、 2.5習(xí)題與上機(jī)題解答習(xí)題與上機(jī)題解答1 設(shè)X(ej)和Y(ej)分別是x(n)和y(n)的傅里葉變換， 試求下面序列的傅里葉變換： (1) x(nn0) (2) x*(n)(3) x(n) (4) x(n)*y(n)(5) x(n)y(n) (6) nx(n)(7) x(2n) (8) x2(n)奇數(shù)偶數(shù)nnnxnx 0 )2/()(9(9)解解：（1） nnnnxnnxj00e )()(FT令n=nn0, 即n=n+n0， 則)e (e )()(FTjj)(j000Xenxnnxnnnn（2）)e (e )(e )()(FTjjjXnxnxnxnnnn（3） nnnxnxje )()(F

2、T令n=n， 則)e (e )()(FTjjXnxnxnn（4） FTx(n)*y(n)=X(ej)Y(ej) 下面證明上式成立： mmnymxnynx)()()()(mnnmnymxnynxje)()()()(FT令k=nm, 則)e ()e (e )(e )(ee)()()()(FTjjjjjjyxmxkykymxnynxmnkkmnkk（5） nnnnnYnxnynxnynxjjjjede )e (21)( e )()()()(FT)( j)( jd)e ()e (21de )()e (21XYnxYjnnj或者 )( jjd)e ()e (21)()(FTYXnynx（6） 因?yàn)閚nn

3、xXjje )()e (對(duì)該式兩邊求導(dǎo)， 得到)(jFTe )(jd)e (dnnxnnxXnnjj因此d)e (dj)(FTjXnnx（7） nnnxnxje)2()2(FT令n=2n， 則)(e)e (21)(ee )(21e)() 1()(21e )()2(FT)(21j21j21j21j21j， 2/jXXenxnxnxnxnxnxnnnjnnnnnnnn取偶數(shù)或者)e()e (21)2(FT21j21jXXnx（8） nnnxnxj22e )()(FT利用（5）題結(jié)果， 令x(n)=y(n), 則d)e ()e (21)e ()e (21)(FTjjjj2XXXXnx（9）nnnxn

4、xje )2/()2/(FT令n=n/2， 則)e (e )()2/(FT2 j2 jXnxnxnn2 已知 |, 0|, 1)e (00jX求X(ej)的傅里葉反變換x(n)。 解解： nnnxnsinde21)(0j003. 線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（頻率響應(yīng)函數(shù)）H(ej)=|H(ej)|ej()， 如果單位脈沖響應(yīng)h(n)為實(shí)序列， 試證明輸入x(n)=A cos(0n+j)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為)(cos| )e (|)(00j0jnHAny解解： 假設(shè)輸入信號(hào)x(n)=ej0n，系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)為h(n)， 則系統(tǒng)輸出為nmmnmmnHmhmhnxnhny00000jjjj)(je )e (

5、e )(e e )()()()(上式說(shuō)明當(dāng)輸入信號(hào)為復(fù)指數(shù)序列時(shí)， 輸出序列仍是復(fù)指數(shù)序列， 且頻率相同， 但幅度和相位取決于網(wǎng)絡(luò)傳輸函數(shù)。 利用該性質(zhì)解此題：)cos()(0jnAnxeeee 21jjjj00jjnnA)(jjjj)(jjjjjjjjjj0000000000e)e (eee)e (e21)e (ee)e (ee 21)(jjjjHHeAHHAnynnnn上式中|H(ej)|是的偶函數(shù)， 相位函數(shù)是的奇函數(shù)， |H(ej)|=|H(e-j)|， ()=(), 故)(cos()e (eeeeee)e (21)(00j)(j)(jjj000000jjjnHAHAnynjjnj4設(shè)

6、其它01 . 01)(nnx將x(n)以4為周期進(jìn)行周期延拓， 形成周期序列， 畫出x(n)和的波形， 求出的離散傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換。)(nx)(nx)(nx)(kX解： 畫出x(n)和的波形如題4解圖所示。 )(nx為周期以4) ( e)4cos(2)ee (ee1ee )()(DFS)(4j4j4j4j2j102j42j30kXknxnxkXkkkkknknknn題4解圖或者 為周期以4)( 41sin21sine )e(ee)ee (ee1e1e)(4141j41j41j21j21j21j2j102jkXkkkXkjkkkkkkkkjnkn)2( e )4cos()2( )(2)42

7、()(42)(FT)e (4jjkkkkXkkXnxXkkkk5. 設(shè)題5圖所示的序列x(n)的FT用X(ej)表示， 不直接求出X(ej)， 完成下列運(yùn)算或工作：題5圖)e (0 jX(1)(2)jd)e (X(3)e (jX(4) 確定并畫出傅里葉變換實(shí)部ReX(ej)的時(shí)間序列xa(n)；2jd| )(e|X(5)(6)d|d)e (d|2jX解解(1)6)()e (730 jnnxX(2)42)0(d)e (jxX(3)2)() 1(e )()e (73jjnnnnnxnxX（4） 因?yàn)楦道锶~變換的實(shí)部對(duì)應(yīng)序列的共軛對(duì)稱部分， 即nnjnxeXRjeee )()()()(21)(enx

8、nxnx按照上式畫出xe(n)的波形如題5解圖所示。題5解圖(5)28)(2d)e (7322njnxX(6) 因?yàn)?(jFTd)e (djnnxX因此316)(2dd)e (d7322jnnnxX6 試求如下序列的傅里葉變換：(1) x1(n)=(n3)(2) 1(21)() 1(21)(2nnnnx(3) x3(n)=anu(n)0a1(4) x4(n)=u(n+3)u(n4)解解(1)3jjj1ee)3()e (nnnX(2)cos1)ee (211 e211e21e )()e (jjjjj2j2nnnxX(3)j0jjj3e11e e )()e (aanuaXnnnnnn(4)33jj

9、j4ee )4()3()e (nnnnnunuXjj3 jj4j31j30j31j30jee1e1e1e1eeeennnnnnnn)21sin()27sin(e)ee (e)ee (eee1e1e1eee1e1e1e13j21j21j21j27j27j27j3 jj7 jj4 j3 jj3jj4 j或者: )3()4()3()(73nRnununxnnnRXj7j4e )3()e (j7 j60j7e1e1e)(FTnnnRnnnRXj7j4e )3()e (3 jj7 jee1e1)21sin()27sin()ee (e)ee (ee)ee (e)ee (e2j2j2j27j27j2j3 j

10、2j2j227j2727jjj7 設(shè)： （1） x(n)是實(shí)偶函數(shù)， （2） x(n)是實(shí)奇函數(shù)， 分別分析推導(dǎo)以上兩種假設(shè)下， 其x(n)的傅里葉變換性質(zhì)。 解解：令nnnxXjje )()e (1) 因?yàn)閤(n)是實(shí)偶函數(shù)， 對(duì)上式兩邊取共軛， 得到)e (e)(e)()e (j)( jjjXnxnxXnnnn因此 X(ej)=X*（ej）上式說(shuō)明x(n)是實(shí)序列， X(ej)具有共軛對(duì)稱性質(zhì)。 nnnnxnxXsinj)cos(e )()e (jj由于x(n)是偶函數(shù)， x(n) sin是奇函數(shù)， 那么nnx0sin)(因此nnxXcos)()e (j該式說(shuō)明X(ej)是實(shí)函數(shù)， 且是的

11、偶函數(shù)。 總結(jié)以上, x(n)是實(shí)偶函數(shù)時(shí)， 對(duì)應(yīng)的傅里葉變換X(ej)是實(shí)函數(shù)， 是的偶函數(shù)。 （2） x(n)是實(shí)奇函數(shù)。 上面已推出， 由于x(n)是實(shí)序列， X(ej)具有共軛對(duì)稱性質(zhì)， 即 X(ej)=X*(ej)nnnnxnxXsinj)cos(e )()e (jj由于x(n)是奇函數(shù)， 上式中x(n) cos是奇函數(shù)， 那么0cos)(nnx因此 nnxXsin)(j)(ej這說(shuō)明X(ej)是純虛數(shù)， 且是的奇函數(shù)。 8 設(shè)x(n)=R4(n)， 試求x(n)的共軛對(duì)稱序列xe(n)和共軛反對(duì)稱序列xo(n)， 并分別用圖表示。 解解：)()(21)(44enRnRnx)()(2

12、1)(44onRnRnxxe(n)和xo(n)的波形如題8解圖所示。 題8解圖9已知x(n)=anu(n), 0a1， 分別求出其偶函數(shù)xe(n)和奇函數(shù)xo(n)的傅里葉變換。解解：nnnxXjje )()e (因?yàn)閤e(n)的傅里葉變換對(duì)應(yīng)X(ej)的實(shí)部， xo(n)的傅里葉變換對(duì)應(yīng)X(ej)的虛部乘以j， 因此cos21cos1e1e1e11e11)e ()(FT2jjjejejeeaaaaaaRaRXRnxcos21sine1e1e11Imje11Imje (Imj)(FT2jjjjjaaaaaaaXnxo10 若序列h(n)是實(shí)因果序列， 其傅里葉變換的實(shí)部如下式： HR(ej)=

13、1+cos求序列h(n)及其傅里葉變換H(ej)。 解解：nnRnhnhHjeejjje )()(FT e21e211cos1)e (121011 21)(ennnnhnnnnnhnnhnnh其它01101 0)(20)(00)(ee)2/cos(e2e1e )()e (2/jjjjnnnhH11 若序列h(n)是實(shí)因果序列， h(0)=1， 其傅里葉變換的虛部為HI(ej)=sin求序列h(n)及其傅里葉變換H(ej)。 解解： eej21sin)e (jjjIHnnoIonhHnhjjjje )(ee 21)(ej)(FT12100121)(onnnnhnnnnnhnnhnnh其它0110

14、10)(20)(00)(o)2/cos(e2e1e )()e (2/jjjjnnnhH12 設(shè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)=anu(n), 0a1， 輸入序列為x(n)=(n)+2(n2)完成下面各題： (1) 求出系統(tǒng)輸出序列y(n)； (2) 分別求出x(n)、 h(n)和y(n)的傅里葉變換。 解解(1)2(2)( )2()()()()(2nuanuannnuanxnhnynnn(2)2 jjje21e)2(2)()e (nnnnXj0jjje11ee )()e (aanuaHnnnnnnj2jjjje1e21)e ()e ()e (aXHY13 已知xa(t)=2 cos(2f0t)，

15、式中f0=100 Hz， 以采樣頻率fs=400 Hz對(duì)xa(t)進(jìn)行采樣， 得到采樣信號(hào)和時(shí)域離散信號(hào)x(n)， 試完成下面各題： （1） 寫出的傅里葉變換表示式Xa(j)； （2） 寫出和x(n)的表達(dá)式； （3） 分別求出的傅里葉變換和x(n)序列的傅里葉變換。 解解： )(txa)(txa)(txa)(txatttttxXtttttaade ee de )cos(2de )()j ( jjjj0j00上式中指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換不存在， 引入奇異函數(shù)函數(shù)， 它的傅里葉變換可以表示成： )()(2)j ( 00aX（2） )()cos(2)()()(0nnaanTtnTnTttxtxnnT

16、nx- )cos(2)(0ms 5 . 21 rad 2002s00fTf（3） )()(2 )jj (1)(s00ksksaakkTkXTjX式中rad/s 8002ssf)2()2(2e ee e )cos(2e )cos(2e )()e (00jjjj0j0jj00kknnTnxXknnnnnnnnnn式中0=0T=0.5 rad上式推導(dǎo)過(guò)程中， 指數(shù)序列的傅里葉變換仍然不存在， 只有引入奇異函數(shù)函數(shù)才能寫出它的傅里葉變換表示式。 14 求出以下序列的Z變換及收斂域:(1) 2nu(n)(2) 2nu(n1)(3) 2nu(n)(4) (n)(5) (n1)(6) 2nu(n)u(n10

17、)解(1)21 2112)(2)(2ZT110zzzznununnnnnnn(2)21 21121222) 1(2)1(2ZT1111zzzzzzznununnnnnnnnnn21 2112 2)(2)(2ZT00zzzzznununnnnnnnnnn(3)(4) ZT(n)=10|z|(5) ZT(n1)=z10|z|(6) 0 2121 2)10()(2ZT11101090zzzznununnnn15 求以下序列的Z變換及其收斂域， 并在z平面上畫出極零點(diǎn)分布圖。 (1) x(n)=RN(n)N=4(2) x(n)=Arn cos(0n+j)u(n)r=0.9, 0=0.5 rad, j=

18、0.25 rad(3)其它02 12 0)(NnNnNNnnnx式中， N=4。解(1) 0 ) 1(1z11 )()(3414304zzzzzzznRzXnnnn由z41=0， 得零點(diǎn)為3 , 2 , 1 , 0 ez 42jkkk由z3(z1)=0， 得極點(diǎn)為 z1, 2=0, 1零極點(diǎn)圖和收斂域如題15解圖(a)所示， 圖中, z=1處的零極點(diǎn)相互對(duì)消。題15解圖(2) )( ee eeAr21 )()cos()(jjjj000nununArnxnnnnjjje1ee1e21eeee21)(1jj1j00jjjj0000zrzrAzrzrAzXjnnnnnnnnjjjj)e1 ()e1

19、()cos(cos1j1j1000zrzrzrAjjrz 零點(diǎn)為 cos)cos(01jj rz極點(diǎn)為00j3j2e erzrz極零點(diǎn)分布圖如題15解圖(b)所示。(3)令y(n)=R4(n), 則x(n+1)=y(n)*y(n)zX(z)=Y(z)2, X(z)=z1Y(z)2因?yàn)? 1(111)(3414zzzzzzY因此2472341) 1(11) 1(1)(zzzzzzzzX極點(diǎn)為z1=0, z2=1零點(diǎn)為3 , 2 , 1 , 0 e42jkzkk在z=1處的極零點(diǎn)相互對(duì)消， 收斂域?yàn)?|z|， 極零點(diǎn)分布圖如題15解圖(c)所示。16 已知112122113)(zzzX求出對(duì)應(yīng)X(

20、z)的各種可能的序列表達(dá)式。 解解： X(z)有兩個(gè)極點(diǎn)： z1=0.5, z2=2， 因?yàn)槭諗坑蚩偸且詷O點(diǎn)為界， 因此收斂域有三種情況： |z|0.5，0.5|z|2， 2|z|。 三種收斂域?qū)?yīng)三種不同的原序列。 （1）收斂域|z|0.5： zzzXjnxcnd)(21)(1令nnnzzzzzzzzzzXzF)2)(5 . 0(75 )21)(5 . 01 (75)()(11111n0時(shí)， 因?yàn)閏內(nèi)無(wú)極點(diǎn)，x(n)=0;n1時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn) 0 ， 但z=0是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改為求圓外極點(diǎn)留數(shù)， 圓外極點(diǎn)有z1=0.5, z2=2， 那么) 1(22)21(3)2()2)(5 . 0()7

21、5()5 . 0()2)(5 . 0()75(2),(sRe5 . 0),( sRe)(25 . 0nuzzzzzzzzzzzFzFnxnnznzn(2)收斂域0.5|z|2:)2)(5 . 0()75()( zzzzzFnn0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)0.5，nzFnx)21(35 . 0 ),( sRe)( n0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn) 0.5、 0 ， 但 0 是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改成求c外極點(diǎn)留數(shù)， c外極點(diǎn)只有一個(gè)， 即2，x(n)=ResF(z), 2=2 2nu(n1)最后得到) 1(22)()21(3)(nununxnn（3）收斂域|z|2: )2)(5 . 0()75()( zzzzzFnn0時(shí)

22、， c內(nèi)有極點(diǎn) 0.5、 2，nnzFzFnx222132 ),( sRe5 . 0),( sRe)( n0時(shí)， 由收斂域判斷， 這是一個(gè)因果序列， 因此x(n)=0； 或者這樣分析， c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、 2、 0， 但0是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改求c外極點(diǎn)留數(shù)，c外無(wú)極點(diǎn)， 所以x(n)=0。 最后得到)(22213)( nunxnn17 已知x(n)=anu(n), 0a1。 分別求： (1) x(n)的Z變換；(2) nx(n)的Z變換；(3) anu(n)的Z變換。解解： (1)azazznuanuazXnnnn 11)()(ZT)(1azazazzXzznnx )1 ()(dd)( ZT2

23、12(2)(3)100 11)(ZTazazzazanuannnnnnn18 已知2112523)(zzzzX分別求： （1） 收斂域0.5|z|2對(duì)應(yīng)的原序列x(n)。 解解：cnzzzXnxd)(j21)(1)2)(5 . 0(232523)()(12111zzzzzzzzzXzFnnn（1） 收斂域0.5|z|2:n0時(shí)，c內(nèi)有極點(diǎn)0.5，x(n)=ResF(z), 0.5=0.5n=2nn0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、 0， 但0是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改求c外極點(diǎn)留數(shù)， c外極點(diǎn)只有2， x(n)=ResF(z), 2=2n最后得到 x(n)=2nu(n)+2nu(n1)=2|n|n2:n0時(shí)

24、， c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、 2，nnznnzzzzzFzFnx25 . 0)2()2)(5 . 0(235 . 02),(sRe5 . 0),( sRe)( 2n0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、 2、 0， 但極點(diǎn)0是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改成求c外極點(diǎn)留數(shù)， 可是c外沒(méi)有極點(diǎn)， 因此x(n)=0最后得到 x(n)=(0.5n2n)u(n)19 用部分分式法求以下X(z)的反變換：21|,252311)(211zzzzzX(1)(2)21|,41121)(21zzzzX解解： (1)21z 411311)(21zzzX 4131)(22zzzzX21652161 )21)(21(31 4131)(2zzzzz

25、zzzzX)(2165)21(61)(2116521161)(11nunxzzzXnn(2)21z 41121)(21zzzX 21252123 2121z2z 412)(2zzzzzzzX112112521123)(zzzX) 1()21(25)21(23)(nunxnn20 設(shè)確定性序列x(n)的自相關(guān)函數(shù)用下式表示： nxxmnxnxmr)()()(試用x(n)的Z變換X(z)和x(n)的傅里葉變換X(ej)分別表示自相關(guān)函數(shù)的Z變換Rxx(z)和傅里葉變換Rxx(ej)。解： 解法一nxxmnxnxmr)()()(mnmmnmxxzmnxnxzmnxnxzR )()()()()(令m=

26、n+m, 則)()( )()()()()(1zXzXzmxznxzmxnxzRnmmnnmnmxx解法二)()()()()()()()(1zXzXzRmxmxmnxnxmrxxnxx)e ()e ()()e (jjejjXXzRRzxxxx因?yàn)閤(n)是實(shí)序列， X(ej)=X*(ej)， 因此2jj)e ()e (XRxx21 用Z變換法解下列差分方程： (1) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)， y(n)=0 n1(2) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)， y(1)=1， y(n)=0n1(3) y(n)0.8y(n1)0.15y(n2)=(n) y(1)=0.2, y

27、(2)=0.5, y(n)=0, 當(dāng)n3時(shí)。解解： (1) y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)， y(n)=0n1)1)(9 . 01 (05. 0)(1105. 0)(9 . 0)(1111zzzYzzzYzY1111119 . 005. 019 . 0105. 0)()(nnnzzzzzzzzYzFn0時(shí)， 5 . 09 . 05 . 0 1 . 005. 0)9 . 0(1 . 005. 0 1),( sRe9 . 0),( sRe)(11nnzFzFnyn0時(shí)， y(n)=0最后得到 y(n)=0.5 (0.9)n+1+0.5u(n)(2) y(n)0.9y(n1)=0.05u

28、(n), y(1)=1, y(n)=0 n1111105. 0)()(9 . 0)(zzkyzYzzYkk11111105. 09 . 0)(9 . 0)(105. 0) 1()(9 . 0)(zzYzzYzzyzYzzY)1)(9 . 01 (9 . 095. 0)(111zzzzYnnnzzzzzzzzzzYzF) 1)(9 . 0(9 . 095. 0)1)(9 . 01 (9 . 095. 0)()(11111n0時(shí)， )()5 . 0)9 . 0(45. 0( 1 ),( sRe9 . 0 ),( sRe)(nuzFzFnynn0時(shí)， y(n)=0最后得到 y(n)=0.45(0.9

29、)n+0.5u(n)(3) y(n)0.8y(n1)0.15y(n2)=(n)y(1)=0.2, y(2)=0.5, y(n)=0, 當(dāng)n2時(shí)Y(z)0.8z1Y(z)+y(1)z0.15z2Y(z)+y(1)z+y(2)z2=121115. 08 . 013 . 091. 1)(zzzzYnnnzzzzzzzzzzYzF)5 . 0)(3 . 0(3 . 091. 115. 08 . 013 . 091. 1)()(12111n0時(shí)，nnzFzFny5 . 02 . 0275. 13 . 02 . 0873. 0 5 . 0 ),( sRe 3 . 0 ),( sRe)( y(n)=4.36

30、5 0.3n+6.375 0.5nn0時(shí), y(n)=0最后得到 y(n)=(4.365 0.3n+6.375 0.5n)u(n)22 設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為為實(shí)數(shù)aazzazH 11)(111（1） 在z平面上用幾何法證明該系統(tǒng)是全通網(wǎng)絡(luò)， 即|H(ej)|=常數(shù)；（2） 參數(shù) a 如何取值， 才能使系統(tǒng)因果穩(wěn)定？畫出其極零點(diǎn)分布及收斂域。 解解： 11)(1111azazazzazH(1)極點(diǎn)為a, 零點(diǎn)為a1。 設(shè)a=0.6， 極零點(diǎn)分布圖如題22解圖(a)所示。 我們知道|H(ej)|等于極點(diǎn)矢量的長(zhǎng)度除以零點(diǎn)矢量的長(zhǎng)度， 按照題22解圖(a)， 得到ACABaaazaz

31、Hzj1je1jee)e (j因?yàn)榻枪茫?aOAOBOCOA1，且AOBAOC， 故aACAB1，即aACABH1)e (j故H(z)是一個(gè)全通網(wǎng)絡(luò)。 或者按照余弦定理證明:1cos22aaAC1cos212aaABaaaaaaACABH1cos21cos21)(e221j題22解圖（2） 只有選擇|a|1才能使系統(tǒng)因果穩(wěn)定。 設(shè)a=0.6， 極零點(diǎn)分布圖及收斂域如題22解圖(b)所示。 23 設(shè)系統(tǒng)由下面差分方程描述： y(n)=y(n1)+y(n2)+x(n1)（1） 求系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)， 并畫出極零點(diǎn)分布圖；（2） 限定系統(tǒng)是因果的， 寫出H(z)的收斂域， 并求出其單位脈沖響應(yīng)

32、h(n)；（3） 限定系統(tǒng)是穩(wěn)定性的， 寫出H(z)的收斂域， 并求出其單位脈沖響應(yīng)h(n)。 解： （1） y(n)=y(n1)+y(n2)+x(n1)將上式進(jìn)行Z變換， 得到 Y(z)=Y(z)z1+Y(z)z2+X(z)z1因此2111)(zzzzH11)(2211zzzzzzzH零點(diǎn)為z=0。 令z2z1=0， 求出極點(diǎn)： 2511z2512z極零點(diǎn)分布圖如題23解圖所示。 題23解圖(2) 由于限定系統(tǒng)是因果的， 收斂域需選包含點(diǎn)在內(nèi)的收斂域， 即。 求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)可以用兩種方法， 一種是令輸入等于單位脈沖序列， 通過(guò)解差分方程， 其零狀態(tài)輸入解便是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)； 另一種

33、方法是求H(z)的逆Z變換。 我們采用第二種方法。 2/ )51 ( zzzzHzHTZnhcnd)(j21)()(11式中 1)(212zzzzzzzzzH2511z2512z，令211)()(zzzzzzzHzFnnn0時(shí)， h(n)=ResF(z), z1+ResF(z), z2nnnnzznzznzzzzzzzzzzzzzzzzzz25125151zz12221122112121因?yàn)閔(n)是因果序列, n0時(shí)， h(n)=0， 故)(25125151)( nunhnn(3) 由于限定系統(tǒng)是穩(wěn)定的， 收斂域需選包含單位圓在內(nèi)的收斂域， 即|z2|z|z1|, 211)()(zzzzzz

34、zHzFnnn0時(shí)， c內(nèi)只有極點(diǎn)z2， 只需求z2點(diǎn)的留數(shù)， nzzFnh)251(51),( sRe)(2n0時(shí)， c內(nèi)只有兩個(gè)極點(diǎn)： z2和z=0， 因?yàn)閦=0是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改成求圓外極點(diǎn)留數(shù)， 圓外極點(diǎn)只有一個(gè)， 即z1, 那么nzzFnh25151),( sRe)(1最后得到) 1(25151)(25151)(nununynn24 已知線性因果網(wǎng)絡(luò)用下面差分方程描述： y(n)=0.9y(n1)+x(n)+0.9x(n1)（1） 求網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)及單位脈沖響應(yīng)h(n)； （2） 寫出網(wǎng)絡(luò)頻率響應(yīng)函數(shù)H(ej)的表達(dá)式， 并定性畫出其幅頻特性曲線； （3） 設(shè)輸入x(n)=

35、ej0n， 求輸出y(n)。 解： （1） y(n)=0.9y(n1)+x(n)+0.9x(n1)Y(z)=0.9Y(z)z1+X(z)+0.9X(z)z1119 . 019 . 01)(zzzHcnzzzHnhd)(j21)(1令119 . 09 . 0)()(nnzzzzzHzFn1時(shí)，c內(nèi)有極點(diǎn)0.9，nznzzzzzFnh9 . 02)9 . 0(9 . 09 . 09 . 0),( sRe)( 9 . 01n=0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)0.9 ， 0，0),( sRe9 . 0),( sRe)( ZFzFnh2)9 . 0()9 . 0(9 . 09 . 0),( sRe9 . 0zzzzz

36、zF1)9 . 0(9 . 00),(sRe0zzzzzzF最后得到 h(n)=2 0.9nu(n1)+(n)（2） jje11e9 . 01e9 . 019 . 019 . 01)(FT)e (jzzznhH極點(diǎn)為z1=0.9, 零點(diǎn)為z2=0.9。 極零點(diǎn)圖如題24解圖(a)所示。 按照極零點(diǎn)圖定性畫出的幅度特性如題24解圖(b)所示。 （3）nnx0je)(00000jjjje9 . 01e9 . 01e)(e)(njneHny題24解圖25 已知網(wǎng)絡(luò)的輸入和單位脈沖響應(yīng)分別為x(n)=anu(n),h(n)=bnu(n) 0a1, 0b1（1） 試用卷積法求網(wǎng)絡(luò)輸出y(n)； （2）

37、試用ZT法求網(wǎng)絡(luò)輸出y(n)。 解解： （1） 用卷積法求y(n)。mmnmmnuamubnxnhny)()()()()(n0時(shí)， babababaabaabanynnnnnnmmmnnmmmn111110011)( n0時(shí)，y(n)=0最后得到)()( 11nubabanynn（2） 用ZT法求y(n)。 1111)( 11)(bzzHazzX)1)(1 (1)()()(11bzazzHzXzY，zzzYnyncd)(j21)(1令bzazzbzazzzzYzFnnn1111111)()(n0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)： a、 b, 因此babaabbbaabzFRazFnynnnn1111),(es

38、),(sRe)(因?yàn)橄到y(tǒng)是因果系統(tǒng), 所以n0時(shí)， y(n)=0。 最后得到)()(11nubabanynn26 線性因果系統(tǒng)用下面差分方程描述： y(n)2ry(n1) cos+r2y(n2)=x(n)式中， x(n)=anu(n), 0a1, 0rmax(r, |a|)， 且n0時(shí)， y(n)=0， 故cnzzzYnyd)(j21)(1c包含三個(gè)極點(diǎn)， 即a、 z1、 z2。)()( )()()()(21212131zzzzazzzzzzzazzzzYzFnnn)()()()()()( )()()( )()()(),( sRe),( sRe),( sRe)(1222221121212221

39、212122122121zzazzzzazzzazaazzzzzzazzzzzzzzazzazzzzzazzzzFzzFazFnynnnzznzznazn)e)(e(sin2 jsin2)e(e)e(ejj22-jj2jjararrarjrarrarnnn27 如果x1(n)和x2(n)是兩個(gè)不同的因果穩(wěn)定實(shí)序列， 求證： j21j2j1d)e (21d)(21d)e ()e (21XeXXXj式中， X1(ej)和X2(ej)分別表示x1(n)和x2(n)的傅里葉變換。 解： FTx1(n)*x2(n)=X1(ej)X2(ej)進(jìn)行IFT， 得到)()(de )(e)e (2121jj2j1

40、nxnxXXn令n=0, 則0212j1)()(d)e ()e (21njnxnxXX由于x1(n)和x2(n)是實(shí)穩(wěn)定因果序列， 因此)0()0()()()()(210021021xxmnxmxnxnxnnmn(1)(2)d )(21d )(21)0()0(2121jjeXeXxx(3)由（1）、（2）、（3）式， 得到-j2-j1-j2j1d)e (21d)e (21d)e ()e (21XXXX28 若序列h(n)是因果序列， 其傅里葉變換的實(shí)部如下式： 1|,cos21cos1)e (2jaaaaHR求序列h(n)及其傅里葉變換H(ej)。 解： )e(e1)ee (5 . 01 co

41、s21cos1)e (jj2jj2jaaaaaaHR)1)(1 ()(5 . 01)(1)(5 . 01)(11121azazzzzzaazzzHR求上式的Z的反變換， 得到序列h(n)的共軛對(duì)稱序列he(n)為zzzHnhcnRd)(j21)(1e1121)(5 . 05 . 0)()(nnRzazazazzzzHzF因?yàn)閔(n)是因果序列， he(n)必定是雙邊序列， 收斂域?。?a|z|a1。n1時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)： a，nazneaazzazazaazazazFnh215 . 05 . 0),( sRe)(112n=0時(shí)，1121)(5 . 05 . 0)()(zazazazzzzHzF

42、nRc內(nèi)有極點(diǎn)： a、 0，15 . 05 . 0 0),( sRe),( sRe)(012ezzzazazaazzzFazFnh因?yàn)閔e(n)=he(n)， 所以05 . 005 . 001)(enanannhnn nuannannnnhnnhnhnn0000100020eej0jje11e)e (aaHnnn29 若序列h(n)是因果序列， h(0)=1， 其傅里葉變換的虛部為1|cos21sin)e (2jIaaaaH求序列h(n)及其傅里葉變換H(ej)。)ee (1)ee (21cos21sin)e (jj2jj2jIaajaaaaH解解：令z=ej, 有11121Ij21)(1)(

43、j21)(azazzzzzaazzazHjHI(ej)對(duì)應(yīng)h(n)的共軛反對(duì)稱序列ho(n)， 因此jHI(z)的反變換就是ho(n), cnzzzHnhd)(jj21)(1Io因?yàn)閔(n)是因果序列， ho(n)是雙邊序列， 收斂域取: a|z|a1。1121I)(121)(j)(nnzazazzzzHzFn1時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)： a,naznaazzazazzazFnh21 )()(21),( sRe)(112In=0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)： a、 0， 1121I)(121)(j)(zazazzzzHzFn0)( 00),( sRe),( sRe)(IInh，zFazFnh因?yàn)閔I(n)=h(n

44、), 所以05 . 005 . 000)(Inanannhnn)(00001)()0()()()(Inuannannhnunhnhnnj0jje11e)e (aaHnnn30*. 假設(shè)系統(tǒng)函數(shù)如下式：5147. 13418. 217. 198. 33)3)(9()(234zzzzzzzH試用MATLAB語(yǔ)言判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。解解： 調(diào)用MATLAB函數(shù)filter計(jì)算該系統(tǒng)。 系統(tǒng)響應(yīng)的程序ex230.m如下： %程序ex230.m%調(diào)用roots函數(shù)求極點(diǎn)， 并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性A=3， 3.98， 1.17， 2.3418， 1.5147； %H(z)的分母多項(xiàng)式系數(shù)p=roots(A) %

45、求H(z)的極點(diǎn)pm=abs(p)； %求H(z)的極點(diǎn)的模if max(pm)1 disp(系統(tǒng)因果穩(wěn)定)， else， disp(系統(tǒng)不因果穩(wěn)定)， end程序運(yùn)行結(jié)果如下： 極點(diǎn)： 0.7486 0.69960.7129i0.6996+0.7129i0.6760由極點(diǎn)分布判斷系統(tǒng)因果穩(wěn)定。31*. 假設(shè)系統(tǒng)函數(shù)如下式：5147. 13418. 217. 098. 22505)(2342zzzzzzzH(1) 畫出極、 零點(diǎn)分布圖， 并判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定；(2) 用輸入單位階躍序列u(n)檢查系統(tǒng)是否穩(wěn)定。解解： （1） 求解程序ex231.m如下： %程序ex231.m%判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性A

46、=2， 2.98， 0.17， 2.3418， 1.5147； %H(z)的分母多項(xiàng)式系數(shù)B=0， 0， 1， 5， -50； %H(z)的分子多項(xiàng)式系數(shù)用極點(diǎn)分布判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定subplot(2， 1， 1)； zplane(B， A)； %繪制H(z)的零極點(diǎn)圖p=roots(A)； %求H(z)的極點(diǎn)pm=abs(p)； %求H(z)的極點(diǎn)的模if max(pm)1 disp(系統(tǒng)因果穩(wěn)定)， else， disp(系統(tǒng)不因果穩(wěn)定)， end%畫出u(n)的系統(tǒng)輸出波形進(jìn)行判斷un=ones(1， 700)； sn=filter(B， A， un)； n=0： length(sn)1； subplot(2， 1， 2)； plot(n， sn)xlabel(n)； ylabel(s(n)程序運(yùn)行結(jié)果如下： 系統(tǒng)因果穩(wěn)定。 系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖如題31*解圖所示。題31*解圖（2） 系統(tǒng)對(duì)于單位階躍序列的響應(yīng)如題