定積分的意義

1、 定積分的意義。定積分的意義。 積分與面積的關(guān)係。積分與面積的關(guān)係。 積分的符號(hào)表示法。積分的符號(hào)表示法。 微積分基本定理。微積分基本定理。 積分即為反導(dǎo)數(shù)。積分即為反導(dǎo)數(shù)。 定積分的求法。定積分的求法。 定積分的性質(zhì)。定積分的性質(zhì)。 範(fàn)例：求範(fàn)例：求 f(x)=x2 3x+2 的圖形與兩軸所圍的面積。的圖形與兩軸所圍的面積。 範(fàn)例：求範(fàn)例：求 f(x)=x3 x 的圖形與兩軸的圖形與兩軸所圍的面積。所圍的面積。點(diǎn)擊數(shù)字選取觀看內(nèi)容，或空白處按右鍵選可回20 0 bx dxb 求的值，其中。 範(fàn)例：範(fàn)例：213212 (1) (1) (2) (1) xdxxdx求。 範(fàn)例：範(fàn)例：1. 定積分的

2、意義定積分的意義對(duì)於任意函數(shù) f(x)，將區(qū)間 a,b 分割成 n 等分，若 f(x) 在第 k 等分區(qū)間內(nèi)的最小值為 mk，最大值為 Mk，12()nnbaLmmmn 則 下和:當(dāng) f(x) 在區(qū)間 a,b 上連續(xù)連續(xù)，則其上和與下和的極限相等，limlimnnnnLUs即 。其中 a 與 b 分別稱為該定積分的下限下限與上限上限。12()nnbaUMMMn上和 ( ) , f xasb此共同極限 稱為 在區(qū)間 上的定積分， ( )baf x dx並以符號(hào) 表示。x1xkx3x2xnbxy=f(x)0ax1nx1kxkmkM空白處按右鍵選可回 1 1 002 (1)3dxdxf xx綠色區(qū)域

3、面積。2122012limlimlim311()( )63nnnnnkknnLnnn下和xyOx=1y=f(x)=x2xyOx=1y=f(x)=x2xyOx=1y=f(x)=x2例如：例如：函數(shù) f(x)=x2 在區(qū)間 0,1的下和 Ln 與上和 Un 相等。2221limlimlim12311()( )63nnnnknknnUnnn上和空白處按右鍵選可回xyOx=b21()nkkbnbn2331nkkbn33(1)(21)6nbnnn232231()6nnbn2222223( )()()()bbbbbnnnnnbbbkbbnnnn解：解：(1)上和上和 Un (藍(lán)色長(zhǎng)條面積和)bnkbn3b

4、n2bnby=f(x)=x2 20 0 bx dxb 求的值，其中。2. 範(fàn)例：範(fàn)例： 空白處按右鍵選可回xyOx=b222222(1)(1)0( )()(11)1(11)bbkbnbnnnnnnnnn102(1)nkbnkn12303nkbnk33(1)(1 1) 2(1) 16nbnnn 232231()6nnbn332 limlim36nnnnbULb 。bn(1)kbn2bn(1)nbny=f(x)=x2(2)下和下和 Ln (紅色長(zhǎng)條面積和)0 032 3bbx dxxyObf(x)=x2= 綠色區(qū)域面積綠色區(qū)域面積?？瞻滋幇从益I選可回xyOx=by=f(x)=x2xyOx=by=f

5、(x)=x23. 積分的符號(hào)表示法積分的符號(hào)表示法高底 2 0()bdf xxxxf ， 其中 。12()limnnknkbnb我們將 記為1ndx底2( )kn( )f x高1lim nnk 2()kbn bn 0b 總總和和( )f x 高高dx底底說(shuō)明：說(shuō)明：空白處按右鍵選可回xyOy=f(x)2xyOy=f(x)4xyOy=f(x)3xyOy=f(x)1 0 ( )tf xxtd由上可知： 隨 而改變， 0( )tf x dxt因此 是 的函數(shù) 0 ( )( )tgf xtdx令函數(shù) 01 ( )(1)gf x dx ， 10( )f x dx面積 30( )f x dx面積 20(

6、)f x dx面積 40( )f x dx面積設(shè)函數(shù) f(x) 在區(qū)間 0,b 上連續(xù)，且 b0，f(x)0，則： 02( )( )2gf x dx ， 03( )( )3gf x dx ， 04( )( )4gf x dx 。4、積分與面積的關(guān)係、積分與面積的關(guān)係空白處按右鍵選可回 0 0( )( )limttccf x dxf x dtxc ( )( )limtctctggc( )cg( )( )( )( )g cf cg tf t即 ， 所以 。( )f c面積 高底 0( )( ) ( )( )tgf x dxg tf tt則 ， 且 。xyOy=f(x)f(t)f(c) 0 0( )

7、( )tcf x dxf x dxct面積差底的差tc5. 微積分基本定理微積分基本定理若函數(shù) f(x) 在區(qū)間 0,b 上連續(xù)，且 0 t b，說(shuō)明：說(shuō)明：空白處按右鍵選可回積分積分微分微分( )g x( )f x 0( )( )tftx dxg若 6. 積分即為反導(dǎo)數(shù)積分即為反導(dǎo)數(shù)( )( )g ttf則 ( )( )g xxf即 此時(shí) f(x) 為 g(x) 的導(dǎo)函數(shù)。 我們稱 g(x) 為 f(x) 的反導(dǎo)函數(shù)反導(dǎo)函數(shù)， ( )( )g xf x dx並記為 。23 =3x dxxc即 。33333132xxx 或 或 或 例如：f(x)=x2 的反導(dǎo)函數(shù)可為323xxcc故 的反導(dǎo)函

8、數(shù)可表為 ，其中 為常數(shù)?？瞻滋幇从益I選可回34 =4x dxxc 。44xcf(x)=x3 的反導(dǎo)函數(shù)為45 =5x dxxc 。55xcf(x)=x4 的反導(dǎo)函數(shù)為2(121) 0dxxx3245xxcf(x)=12x2+10 x 的反導(dǎo)函數(shù)為32 (24)xxdx說(shuō)明：說(shuō)明：432443xxxcf(x)=x3+2x24 的反導(dǎo)函數(shù)為32=45xxc 。432443xxxc ?？瞻滋幇从益I選可回7. 定積分的求法定積分的求法 ( )( ) ( ) bagggabx為了方便起見(jiàn)，通常將 表為注意： ， ( )( )( )( ) ababaf x dxggg xb 即 。 ( )baf x d

9、xxyOy=f(x)f(b)f(a)ba ( )( )( )( )( )abf x dxgggfbaxx則 ： ，其中 。 0 0( )( )baf x dxf x dx= 紅色區(qū)域面積( )( )gg ab 。說(shuō)明：說(shuō)明：若函數(shù) f(x) 在區(qū)間 a,b 上連續(xù)，空白處按右鍵選可回xyO5f(x)=x3f(x)dx3 50 x dx解：所求445440 54 0 4x6254 藍(lán)色區(qū)域面積。530 x dx求的值 。 例如：例如：空白處按右鍵選可回8. 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)( )()( )(1) )bbbaaaf xfg xg xx dxddxx(2) ( )( )bbaaf x dxf

10、 x dxkkk ，其中 為常數(shù)。(3) ( )( )( )cabbacf x dxf x dxf x dabxc ，其中 。若函數(shù) f(x) 與 g(x) 在區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則：空白處按右鍵選可回說(shuō)明：說(shuō)明：(4) 當(dāng) f(x)0， ( )abRf x dx則面積 。xyOy=f(x)f(b)f(a)ba(5) 當(dāng) f(x)0， ( )( )babaRf xdxf x dx 則面積 。 藍(lán)色區(qū)域面積xyOab f(a) f(a)y=f(x) ( )baf x dx 藍(lán)色區(qū)域面積 ( )baf x dx說(shuō)明：說(shuō)明：若 f(x) 的圖形與直線 y=0，x=a 及 x=b 所圍面積為 R，則

11、：空白處按右鍵選可回9. 範(fàn)例範(fàn)例 右下圖為 f(x)=x23x+2 的圖形，求灰色區(qū)域的面積。xOyy=f(x)f(x)dx f(x)dx1212 1 0( )f xxf xxdd 25350616 。 132 0 232 13(23(2 ) 32) 32xxxxxx1 02 1( )( )f x dxf xdx 所求面積 解：解：在區(qū)間 0,1 上，f(x)0，在區(qū)間 1,2 上，f(x) 0，空白處按右鍵選可回12 0 1()(fxxfdxxd25350166 。 1 23322 0 133(2 ) (2 ) 3232xxxxxx注意：注意：2 0( )f x dx 1 232 0132 3(2 ) 33(22 ) 32xxxxxx525206363 。灰色區(qū)域面積12 0 1( )( )f x dxf x dx 空白處按右鍵選可回xOyy=f(x)f(x)dx f(x)dx12xOy(1,0)(1,0)y=x3 x 10. 範(fàn)例範(fàn)例 求 f(x)=x3x 的圖形與 x 軸所圍區(qū)域的面積。0 11 0()f xxf x dxd 所求面積 10()411204 。在區(qū)間 1,0 上，f(x)0，在區(qū)間 0,1 上，f(x) 0， 142 21004() 4() 422xxxx01 0 1( )( )f xxxfddx f(x)dx f(x) dx解：解