17 矛盾方程組的解最小二乘法_第1頁(yè)
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17 矛盾方程組的解最小二乘法_第3頁(yè)
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1、第十七講 矛盾方程（組）的解-最小二乘法一、從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理談起設(shè)有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(t1，s1)，(t2，s2)，(tn，sn)，希望由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合給定規(guī)律，從而測(cè)出待測(cè)量的有關(guān)參數(shù)。假定規(guī)律為：，由于存在誤差，令，則：Ax=b實(shí)際無(wú)解，或者說(shuō)矩陣方程Ax=b成為矛盾方程（不自洽、非相容），雖說(shuō)無(wú)解，但在物理上看，我們需要而且也理當(dāng)有“解”。怎么辦？一般處理是，定義一種目標(biāo)函數(shù)，例如：使誤差最小化。wi=1(i=1n)時(shí)二、 最小二乘法（解）對(duì)于矛盾方程Ax=b，最小二乘法是求其“解”的一種方法。即求使的解。引理：,A1,3由如下方程的通解構(gòu)成：其中，A(1,3)為A1,3中的某個(gè)矩陣。證：1。方

2、程既然相容，設(shè)X是其某個(gè)解，則即方程的解必在A1,3中。2。設(shè)X為A的一個(gè)1,3-逆矩陣，則即，A的1,3-逆矩陣必滿(mǎn)足方程AX=AA(1,3)令，則定理：矩陣方程Ax=b的最小二乘解為 ，其中A(1,3)為A的任何一個(gè)1,3-逆矩陣，反之，存在X，對(duì)于任何均有Xb成為Ax=b的最小二乘解，則。證明：所以，故取得極小值的條件是x為方程 的解。任取一個(gè)，我們知道。而對(duì)于，有（但最小二乘解是否一定具有A(1,3)b的形式呢？）方程的通解為顯然最小二乘解并不一定都具有A(1,3)b的形式。反之，若對(duì)于，即推論：x是方程Axb的最小二乘解的充要條件是，x為方程的解。證：，而，故 最小二乘解一般不唯一。三、 極小范數(shù)最小二乘解定理2 ：設(shè) ，則xb是方程Axb的極小范數(shù)最小二乘解。反之，若存在，若對(duì)于所有，xXb均成為方程Axb的極小范數(shù)最小二乘解，則X。證：最小二乘解滿(mǎn)足AxAA(1,3)b，其極小范數(shù)解唯一，且為，反之，均成為唯一的極小范數(shù)最小二乘解，所以：X。定理3：矩陣方程AXBD的極

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