回顧與思考（一）教學(xué)設(shè)計

1、第三章 證明（三）回顧與思考（一）一、學(xué)生知識狀況分析學(xué)生的知識技能基礎(chǔ)：學(xué)生在七、八年級已經(jīng)對平行四邊形、矩形、菱形、正方形的一些相關(guān)性質(zhì)和判定的定理有所了解，在本章前面幾節(jié)課中，又學(xué)習(xí)了三角形中位線的定義和性質(zhì)，并探索了連接四邊形各邊中點(diǎn)所成的四邊形的形狀等結(jié)論，還通過特殊四邊形的學(xué)習(xí)，掌握了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)以及判定一個三角形為直角三角形的定理。學(xué)生活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：在相關(guān)知識的學(xué)習(xí)過程中，已經(jīng)經(jīng)歷了“探索發(fā)現(xiàn)猜想證明”的過程，體會了合情推理與演繹推理在獲得結(jié)論中各自發(fā)揮的作用。掌握了簡單證明的方法，解決了簡單的現(xiàn)實問題，同時在以前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷很多合作學(xué)習(xí)的過程，具有一定的

2、合作學(xué)習(xí)經(jīng)驗和合作與交流的能力。二、教學(xué)任務(wù)分析教科書基于學(xué)生對平行四邊形、特殊平行四邊形性質(zhì)判定扎實掌握的基礎(chǔ)之上，提出了本課的具體學(xué)習(xí)任務(wù)：體會在證明過程中所運(yùn)用的歸納、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法。通過小組的交流討論，使學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容在思想方法上有一定的提升。為此，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：能夠理順平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系，熟練掌握這些四邊形的判定和性質(zhì)定理，并能夠應(yīng)用數(shù)學(xué)符號語言表述已知、求證、證明。掌握三角形中位線的定義和性質(zhì)，能夠推導(dǎo)出依次連接一個四邊形四條邊的中點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形是什么特殊四邊形。會熟練應(yīng)用所學(xué)定理進(jìn)行證明。體會證明中所運(yùn)用的歸類、類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，通過復(fù)習(xí)課對

3、證明的必要性有進(jìn)一步的認(rèn)識。學(xué)會對證明方法的總結(jié)。三、教學(xué)過程分析本節(jié)課是證明（三）回顧與思考的第一個課時，這一課時主要是對定理的理順，由于在證明（一）、（二）中，一些相關(guān)的定理曾以結(jié)論的形式串聯(lián)總結(jié)過，因此學(xué)生已經(jīng)了解定理及一些它們之間的關(guān)系，而且有一定的能力可以將這些定理以一個線索串聯(lián)，所以這一課時共分四個環(huán)節(jié)：第一個環(huán)節(jié)，臺下準(zhǔn)備學(xué)生搜集整理資料；第二環(huán)節(jié)：臺上展示學(xué)生創(chuàng)設(shè)線索展示成績；第三環(huán)節(jié)：你圈我點(diǎn)師生共同反思小結(jié)；第四環(huán)節(jié)：布置作業(yè)。其中第二個環(huán)節(jié)分別有五個展示板塊。第一環(huán)節(jié) 臺下準(zhǔn)備學(xué)生搜集整理資料活動內(nèi)容：學(xué)生以小組為單位，以特殊四邊形之間的關(guān)系為主線索，將本章節(jié)的定理進(jìn)行整

4、理，找到各知識點(diǎn)間的聯(lián)系，進(jìn)行串聯(lián)。根據(jù)其中的知識點(diǎn)，選擇合適的例題詮釋。最后每位同學(xué)以十六開手抄報的形式展示在班級文化欄中。教師鼓勵學(xué)有余力的同學(xué)，對一些證明方法、題型進(jìn)行整理，讓大家分享一些竅門和技巧；也鼓勵有困難的同學(xué)將自己模糊不懂的地方，體現(xiàn)在自己報紙的某個專欄上，讓其他同學(xué)一起來思考共同解決?；顒幽康模夯顒又袑W(xué)生能再次回顧所學(xué)定理的內(nèi)容及意義，通過學(xué)生自己主動地翻閱輔導(dǎo)資料、總結(jié)、討論，清晰地梳理出了定理之間、四邊形之間的關(guān)系，而且印象深刻。另外，采用學(xué)生搜集整理的方式，會比老師上課按某一條脈絡(luò)串聯(lián)知識點(diǎn)更全面，同時還培養(yǎng)學(xué)生善于自查、樂于互助、勇于探索研究的學(xué)習(xí)品質(zhì)及與他人合作交流

5、的意識。將“課上老師講，課下要我背”的被動學(xué)習(xí)方式，變成了“課下我要整理，課上向大家展示”的主動學(xué)習(xí)意識。很大程度地提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性?；顒拥膶嶋H效果：這個活動所產(chǎn)生的所有作品，教師都將在課前全部以墻報的形式展示，讓同學(xué)之間充分地交流、學(xué)習(xí)。內(nèi)容所涉及到的知識點(diǎn)、定理的相關(guān)證明方法的總結(jié)等，在教師整理之后將其中比較有代表性的內(nèi)容，和學(xué)生出現(xiàn)的比較集中的問題，在復(fù)習(xí)課上給以重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)，大大提高了課堂效率。同時由于一些學(xué)困生在課下得到了幫助，使得他們不再畏懼復(fù)習(xí)課，害怕提問，而是更加自信地展示自己付出的努力。因為學(xué)困生的提高也使得小組更樂于團(tuán)結(jié)協(xié)作，既抓好了學(xué)生學(xué)習(xí)行為習(xí)慣

6、的養(yǎng)成，也同時營造了良好的學(xué)風(fēng)氛圍。第二環(huán)節(jié) 臺上展示學(xué)生創(chuàng)設(shè)線索展示成績 教師和學(xué)生一起回顧本章的主要內(nèi)容。第一組展示 以“四邊形判定”為線索內(nèi)容：1.從四邊形到正方形的遞進(jìn)式關(guān)系出發(fā)，以特殊四邊形的判定定理為線索，進(jìn)行復(fù)習(xí)回顧。學(xué)生總結(jié)的關(guān)系圖：任意四邊形 （1）兩組對邊平行 （2）兩組對邊相等 （3）一組對邊平行且相等 （4）兩組對角相等 （5）對角線互相平分 平行四邊形 （1）一組鄰邊相等 （1）一個角是直角 （2）對角線互相垂直 （2）對角線相等 菱形 矩形 （1）一個角是直角 （1）一組鄰邊相等 （2）對角線相等 （2）對角線互相垂直 正方形這個環(huán)節(jié)，展示的同學(xué)與其他同學(xué)以“問答”

7、的互動形式來完成探索、回顧的過程，共同完成以上的關(guān)系圖。老師需要在這個環(huán)節(jié)進(jìn)行一些補(bǔ)充：第一，定理的補(bǔ)充：四邊形矩形；四邊形菱形。即，有三個角是直角的四邊形是矩形；四條邊都相等四邊形是菱形。強(qiáng)調(diào)這是建立在四邊形基礎(chǔ)上的判定定理，與前面建立在平行四邊形基礎(chǔ)上要有所區(qū)別。第二，要求學(xué)生對每個定理都應(yīng)該能用數(shù)學(xué)符號語言表述已知、求證、證明，并且會應(yīng)用定理證明其他命題。第三，總結(jié)出完整地理順這些判定定理，首先要清楚四邊形到正方形，是從一般到特殊的過程；其次要明白補(bǔ)充的條件是邊角對角線的從外到內(nèi)的過程。BFCDEA2.應(yīng)用定理完成例題例1.如圖，已知AD是ABC的角平分線，DEAC交AB于E，DFAB交

8、AC于F。求證：四邊形AEDF是菱形當(dāng)ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF是正方形？目的：教師和學(xué)生一起回顧本章的主要判定定理，并通過四邊形之間由一般到特殊的遞進(jìn)關(guān)系將定理串聯(lián)，幫助學(xué)生理解和掌握。雖然教學(xué)大綱已不在要求學(xué)生去枯燥地背定理，可只有對定理進(jìn)行理解和掌握才能應(yīng)用定理。特別是根據(jù)定理分析已知、求證，不僅幫助學(xué)生分清楚定理或者命題的條件和結(jié)論部分，還鍛煉了學(xué)生恰當(dāng)應(yīng)用數(shù)學(xué)符號語言的能力。實際效果：在學(xué)生回答和補(bǔ)充的過程中，教師畫龍點(diǎn)睛地把竅門讓學(xué)生領(lǐng)悟到，讓學(xué)生把判定定理這條線索整理得更加清晰、完整。第二組展示 以“四邊形性質(zhì)定理”為線索內(nèi)容：以特殊四邊形的性質(zhì)定理為線索，進(jìn)行復(fù)習(xí)回顧

9、。邊角對角線平行四邊形對邊平行，對邊相等對角相等對角線互相平分矩形對邊平行，對邊相等四個角都是直角對角線互相平分對角線相等菱形對邊平行，四邊相等對角相等對角線互相平分對角線互相垂直對角線平分一組對角正方形對邊平行，四邊相等四個角都是直角對角線互相平分對角線互相垂直對角線相等對角線平分一組對角展示的學(xué)生用“問答”的形式帶領(lǐng)學(xué)生將表格完成，并討論出性質(zhì)的相同點(diǎn)、不同點(diǎn)和聯(lián)系點(diǎn)。應(yīng)用性質(zhì)完成例題：DCBAEFO例2.如圖，在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于O點(diǎn)，點(diǎn)E、F在AC上，且BEDF。求證：BEDF。教師在這里將這道題進(jìn)行開放處理：例2 如圖，在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于O點(diǎn)

10、，點(diǎn)E、F在AC上，_,求證：BEDF或BEDF。由學(xué)生來填加適當(dāng)?shù)臈l件，使得命題成立并證明。學(xué)生可以在證明的過程中找到針對條件最簡單的判定定理。教師通過開放例題給學(xué)生傳遞的是一種總結(jié)證明方法的信息：根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)，學(xué)生應(yīng)該能夠體會到，在證明命題時有了很多新的工具。比如證明平行時，除了以前的同位角、內(nèi)錯角等，還先證明平行四邊形；在證明邊等時，除了全等，還可以分析所證線段是否為特殊四邊形對邊、矩形的對角線等。目的：這個環(huán)節(jié)教師和學(xué)生一起回顧本章特殊四邊形的主要性質(zhì)定理，并通過對定理的分析，體會到了證明的必要性，掌握了一些常規(guī)證明方法和工具。實際效果：學(xué)生總結(jié)完性質(zhì)定理后，教師給補(bǔ)充的證明方

11、法還不夠細(xì)致，這里教師只是再一次做個點(diǎn)撥，還要留給學(xué)生課下自己去搜集整理，作為一個復(fù)習(xí)，回顧整個證明（一）、（二）、（三）的線索。第三組展示 以“三角形的中位線和中線”為線索內(nèi)容：這一章節(jié)中，學(xué)習(xí)了兩個與三角形有關(guān)的定理，三角形中位線的定義和性質(zhì)定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)定理以及利用中線判定直角三角形的定理。所以，這個環(huán)節(jié)上，老師選取了學(xué)生總結(jié)出的幾道比較有代表性的例題，幫助學(xué)生加深對定理理解，增強(qiáng)恰當(dāng)應(yīng)用定理的意識。GHFDAEBC例3.如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、CD、AC、BD的中點(diǎn)。求證：四邊形EGFH是平行四邊形。EFBCMAN例4.如圖，已知：ABC，CF

12、AB，BEAC，M、N分別為BC、EF中點(diǎn)，求證：MNEF。拓展例4，變化條件和結(jié)論如圖，已知：ABC中，M、N分別為BC、EF中點(diǎn)，MNEF，CFAB，求證：BEACEFDCBA例5.如圖在ABC中，BAC90°，D、E、F、分別是BC、CA、AB邊的中點(diǎn)。求證：ADEF目的：這次展示，雖然是以學(xué)生總結(jié)的例題形式出現(xiàn)，可非常具有代表性的三道例題，已經(jīng)能夠讓學(xué)生清楚認(rèn)識到，兩個有關(guān)三角形的性質(zhì)定理證明的必要性和應(yīng)用的方法。實際效果：學(xué)生能夠很好地完成這一展示，并且對上一環(huán)節(jié)中證明方法的總結(jié)，又多了一個需要補(bǔ)充拓展的工具。第四組展示 以“三角形中位線”為線索內(nèi)容：老師選取學(xué)生作品當(dāng)中最

13、經(jīng)典的一個問題情景：依次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得到的圖形，請?zhí)砑雍侠淼臈l件并提出問題，回答問題，簡單口述理由。學(xué)生所提的問題應(yīng)該囊括在以下幾個問題：1.連結(jié)任意四邊形各邊中點(diǎn)得到什么圖形？2.滿足什么條件的四邊形，連結(jié)其各邊中點(diǎn)可以得到矩形？菱形？正方形？3.連結(jié)平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的各邊中點(diǎn)又可以得到什么圖形？最后教師要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出：原四邊形對角線的位置或數(shù)量關(guān)系，決定了所得新四邊形鄰邊的位置和數(shù)量關(guān)系，依此來決定所得四邊形的形狀。教師還可以根據(jù)學(xué)情自己加入一些與探索類問題相關(guān)聯(lián)的小問題。如：原來的四邊形面積為a，這樣依次內(nèi)接n次得到的新四邊形面積如何表示？對角線相等的四

14、邊形依次這樣內(nèi)接，得到的四邊形有什么規(guī)律？原來對角線都是10，則第2n+1個圖形的周長是多少？等等。目的：這個環(huán)節(jié)首先應(yīng)用了三角形中位線的性質(zhì)定理，并再次涉及到平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定定理應(yīng)用，還應(yīng)用到了這四種四邊形以及等腰梯形有關(guān)對角線的性質(zhì)。是對前三個展示環(huán)節(jié)的又一次應(yīng)用和反饋。實際效果：學(xué)生在本環(huán)節(jié)的問題情景下提出的問題是比較多樣的，但老師呈現(xiàn)出來的是一個比較全面的問題串，所以這就要求老師要在學(xué)生你問我答的基礎(chǔ)上不斷補(bǔ)充、分類。最后讓學(xué)生體會到，這個問題主要分為兩個部分。第一部分是原四邊形增加什么條件可以讓接出的四邊形成為特殊四邊形；第二個部分是，特殊的四邊形會接出什么樣的四

15、邊形。分析清楚了分類方式也就加深了學(xué)生對“內(nèi)接中點(diǎn)得到四邊形”這個知識點(diǎn)的理解。教師所設(shè)置的拓展題目，在復(fù)習(xí)課上體現(xiàn)一個小的拔高，小的梯度，保證學(xué)困生自信的同時，不忘提高中、上等學(xué)生的探究能力。第五組展示 以“三角形與梯形的關(guān)系”為線索內(nèi)容：展示的同學(xué)讓其他同學(xué)在證明“等腰梯形同一底上的兩個角相等”這個性質(zhì)定理的過程中，聯(lián)想到了“等腰三角形的兩個底角相等”，并大膽猜想了他們之間的聯(lián)系。讓大家認(rèn)同到，三角形是一個基本圖形的作用，以及研究多邊形性質(zhì)從三角形、四邊形開始的必要性。接著作為一個拓展，他向大家介紹了梯形的中位線的定義，并一同經(jīng)歷猜想梯形中位線的性質(zhì)，證明猜想的結(jié)論這樣一個探究的過程。目的

16、：了解四邊形和三角形之間的聯(lián)系，它們之間的相互轉(zhuǎn)化，以及以三角形作為基本向四邊形或多邊形拓展的研究方向。實際效果：三角形與其他四邊形的聯(lián)系可以進(jìn)一步延伸，例如直角三角形斜邊中線是斜邊一半在矩形中的證明等等。教師主要是對展示的同學(xué)這種認(rèn)真仔細(xì)研究、主動尋找規(guī)律的學(xué)習(xí)品質(zhì)給予鼓勵和肯定，讓學(xué)生更多地去享受探索的過程，并不對補(bǔ)充的知識有過多要求或詮釋。第三環(huán)節(jié) 你圈我點(diǎn)師生共同反思小結(jié)內(nèi)容：課堂小結(jié)，讓學(xué)生們互相提問、解答，吸收復(fù)習(xí)課上所回顧的內(nèi)容，各自查漏補(bǔ)缺，將模糊不懂的理解透徹。目的：讓學(xué)生對本節(jié)課的學(xué)習(xí)方法和知識點(diǎn)的收獲進(jìn)行回顧、梳理，同時分析自己還沒掌握透徹的難點(diǎn)、存在的問題和不足，及時向

17、老師或者同學(xué)請教。實際效果：教師可以根據(jù)學(xué)生的展示了解每一位學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，適時調(diào)整教學(xué)，幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺，完善知識體系。第四環(huán)節(jié) 布置作業(yè)內(nèi)容：每小組完成一份第二課時的復(fù)習(xí)提綱。A層，所有學(xué)生都需要將課本復(fù)習(xí)題，逐個以知識點(diǎn)歸類，并按興趣搜集某知識點(diǎn)的拓展題目。B層，根據(jù)本章節(jié)的復(fù)習(xí)方式，結(jié)合證明（一）、（二）進(jìn)行全面的回顧復(fù)習(xí)，完成第二課時的部分提綱，從給定的六個公理及有關(guān)概念的定義出發(fā)，通過邏輯推理證明，得到平行線、三角形和平行四邊形等基本圖形的有關(guān)結(jié)論，完成初中階段幾何局部的公理化體系。實際效果：有關(guān)本章一些特殊的性質(zhì)和聯(lián)系，如從菱形面積，總結(jié)到對角線垂直的任意四邊形面積；由梯形的幾條

18、特殊輔助線拓展的梯形與特殊三角形和平行四邊形、矩形之間的聯(lián)系等知識點(diǎn)，學(xué)生也在總結(jié)后進(jìn)行了展示，完成得比較有水平，并在展示的時候充滿自信，合理地分工使得沒有一個學(xué)困生被拋在研討范圍之外。四、教學(xué)反思1、復(fù)習(xí)課不是習(xí)題課不要讓學(xué)生感覺到復(fù)習(xí)課，就是老師把所學(xué)過的知識用提問的方式回顧后，再用大量練習(xí)題或難題的講解替代了真正意義上的復(fù)習(xí)。我覺得一定要讓學(xué)生在復(fù)習(xí)課上有新鮮的感覺，有主動權(quán)。使得每位學(xué)生都能在復(fù)習(xí)課上充分地思考，這一階段所學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系，用積極的心態(tài)、合作的方式把知識點(diǎn)串聯(lián)起來，發(fā)現(xiàn)一些題型之間的規(guī)律，總結(jié)出解決方法上的竅門。2、給學(xué)生是展示的空間，獲得的是一份精彩有很多時候，我不肯定自己這種做法，認(rèn)為太浪費(fèi)時間了。如果在課堂上以我為主，教學(xué)進(jìn)度會更快，涉及到的題型、知識點(diǎn)更多，很擔(dān)心這樣繼續(xù)下去自己的學(xué)生見到的會比別人少很多。其實恰恰相反，如果我來講，學(xué)生是被動的，一個班只有三分之一的學(xué)生愿意懈怠地被動接受，還有三分之一的學(xué)生會囫圇吞棗地了解皮毛，再有三分之一的學(xué)生則從上課起就因為缺少信心和興趣，注意力游離在課堂之外。時間長了我發(fā)現(xiàn)，放手給學(xué)生之后，他們的思想越來越成熟，知識點(diǎn)安排得