同濟大學高等數學第十章重積分

1、第十章重積分一元函數積分學中，我們曾經用和式的極限來定義一元函數fx在區(qū)間a,b上的定積分，弁已經建立了定積分理論，本章將把這一方法推廣到多元函數的情形，便得到重積分的概念.本章主要講述多重積分的概念、性質、計算方法以及應用八第1節(jié)二重積分的概念與性質1.1 二重積分的概念卜面我們通過計算曲頂柱體的體積和平面薄片的質量，引出二重積分的定義1.1.1. 曲頂柱體的體積曲頂柱體是指這樣的立體，它的底是xOy平面上的一個有界閉區(qū)域D,其側面是以D的邊界為準線的母線平行于z軸的柱面，其頂部是在區(qū)域D上的連續(xù)函數zfx,y,且x,y0所表示的曲面（圖101）圖 10 1現在討論如何求曲頂柱體的體積分析這

2、個問題，我們看到它與求曲邊梯形的面積問題是類似的（即分割、近似代替、求和、取極限的方法）來解決（圖 10-2 ）.可以用與定積分類似的方法圖 10 29 / 43（1）分割閉區(qū)域D為n個小閉區(qū)域1,2,L,n,1,2, L , n近似地，以點(3寸)處的面密度1, Y),匕,，理L,%，坤書代替小閉區(qū)域 Ai(T上各點處的面密度，則得到第同時也用藤示第i個小閉區(qū)域的面積，用dA(r表示區(qū)域AQ的直徑(一個閉區(qū)域的直徑是指閉區(qū)域上任意兩點間距離的最大值)，相應地此曲頂柱體被分為n個小曲頂柱體.(2)在每個小閉區(qū)域上任取一點1,叩，理，L,&,.對第i個小曲頂柱體的體積，用高為f(E,&q

3、uot;)而底為Ai盤平頂柱體的體積來近似代替(3)這n個平頂柱體的體積之和nf(i,i)ii1就是曲頂柱體體積的近似值.(4)用法示n個小閉區(qū)域io的直徑的最大值，即入maxdAp.當入0(可理解為?收縮為一點)時，上述和式的極限，就是曲頂柱體的體積：nV網f(i,i)i.0ii1.1.2平面薄片的質量設薄片在xOy平面占有平面閉區(qū)域D,它在點(x,y)處的面密度是p«x,y).設(x,y)0且在D上連續(xù)，求薄片的質量(見圖10-3).先分割閉區(qū)域D為n個小閉區(qū)域在每個小閉區(qū)域上任取一點塊小薄片的質量的近似值為KW,司)A%于是整個薄片質量的近似值是n(i,i)ii1用入maxdA

4、任表示n個小閉區(qū)域Ap的直徑的最大值，當D無限細分，即當入0時，1in上述和式的極限就是薄片的質量M,即nMli.m,4那任.人0.i1以上兩個具體問題的實際意義雖然不同，但所求量都歸結為同一形式的和的極限.抽象出來就得到下述二重積分的定義.定義1設D是xOy平面上的有界閉區(qū)域，二元函數zf(x,y)在D上有界.將D分為n個小區(qū)域2,L同時用Ai旅示該小區(qū)域的面積，記浦勺直彳空為dA,弁令入maxdAp.在i壯任取一點(工，刀)，(i1,2,L,n),作乘積f日,HA,弁作和式nSnf(5)Aq.i1若入0時，Sn的極限存在(它不依賴于D的分法及點(片腦的取法)，則稱這個極限值為函數zf(x,

5、y)在D上的二重積分，記作f(x,y)d,即Dnf(x,y)dlim0f(i,i)A(10-1-1)Di1其中D叫做積分區(qū)域，f(x,y)叫做被積函數，db叫做面積元素，f(x,y)d叫做被積表達n式，x與y叫做積分變量，f(八，n)Aq叫做積分和.i1在直角坐標系中，我們常用平行于x軸和y軸的直線(y=常數和x=常數)把區(qū)域D分割成小矩形，它的邊長是x和削，從而因此在直角坐標系中的面積元素可寫成ddxdy,二重積分也可記作nf(x,y)dxdylim0f(i,i)i.Di1有了二重積分的定義，前面的體積和質量都可以用二重積分來表示.曲頂柱體的體積V是函數zf(x,y)在區(qū)域D上的二重積分Vf

6、(x,y)d;D薄片的質量M是面密度pp(x,y)在區(qū)域D上的二重積分M(x,y)d.D因為總可以把被積函數zf(x,y)看作空間的一曲面，所以當f(x,y)為正時，二重積分的幾何意義就是曲頂柱體的體積；當f(x,y)為負時，柱體就在xOy平面下方，二重積分就是曲頂柱體體積的負值.如果f(x,y)在某部分區(qū)域上是正的，而在其余的部分區(qū)域上是負的，那么f(x,y)在D上的二重積分就等于這些部分區(qū)域上柱體體積的代數和八如果f(x,y)在區(qū)域D上的二重積分存在(即和式的極限(10-1-1)存在)，則稱f(x,y)在D上可積.什么樣的函數是可積的呢？與一元函數定積分的情形一樣，我們只敘述有關結論，而不

7、作證明.如果f(x,y)是閉區(qū)域D上連續(xù)，或分塊連續(xù)的函數，則f(x,y)在D上可積.我們總假定zf(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，所以f(x,y)在D上的二重積分都是存在的，以后就不再一一加以說明.1.1.3二重積分的性質設二元函數f(x,y),g(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，于是這些函數的二重積分存在.利用二重積分的定義，可以證明它的若干基本性質.下面列舉這些性質.性質1常數因子可提到積分號外面.設k是常數，則kf(x,y)dkf(x,y)dDD性質2函數的代數和的積分等于各函數的積分的代數和，即f(x,y)g(x,y)df(x,y)dg(x,y)d.DDD性質3設閉區(qū)域D被有限條曲線分為有限個

8、部分閉區(qū)域，則D上的二重積分等于各部分閉區(qū)域上的二重積分的和.例如D分為區(qū)域D和D2(見圖10-4),則f(x,y)df(x,y)df(x,y)d(10-1-2)性質3表示二重積分對積分區(qū)域具有可加性.性質4設在閉區(qū)域D上f(x,y)id d .DD從幾何意義上來看這是很明顯的.因為高為1的平頂柱體的體積在數值上就等于柱體的底面積.性質5設在閉區(qū)域D上有f(x,y) g(x,y), 則f(x, y)d g(x, y)d .DD由于f (x,y) f (x,y) f (x,y)又有f (x, y)d f (x, y) d .DD這就是說，函數二重積分的絕對值必小于或等于該函數絕對值的二重積分性質

9、6設M m分別為f (x, y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值,為D的面積，則有上述不等式是二重積分估值的不等式m f (x,y)dM .因為m f (x, M，所以由性質5有 md f (x, y)d Md ,DDD即性質7m md f (x, y)d Md M .D DD設函數f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，b是D的面積，則在 D上至少存在一點(上力使得f (x,y)d f(,)D這一性質稱為二重積分的中值定理證顯然0.因f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，根據有界閉區(qū)域上連續(xù)函數取到最大值、最小值定理，在D上必存在一點”,必使fXi,yi等于最大值M,又存在一點小,丫2)使f(x2,y2)等于

10、最小值m,則對于D上所有點(x,y),有mfX2,y2fx,yfXi,yiM.1和性質5,可得f (x,y)d M d .DDf(x, y)d M ,D1. f(x, y)d M .DD上必存在一 點(工力，使得mdD再由性質4得m或m根據閉區(qū)域上連續(xù)函數的介值定理知，f(,)1f(x,y)df(x,y)df(,),(U)D.D證畢.二重積分中值定理的幾何意義可敘述如下：當Szf(x,y)為空間一連續(xù)曲面時，對以S為頂的曲頂柱體，必定存在一個以D為底,以D內某點(工T)的函數值f(上碘高的平頂柱體，它的體積f(工力o就等于這個曲頂柱體的習題101t21.根據二重積分性質，比較ln(xy)d與l

11、n(xy)d的大小，其中DD1 1)D表示以(0,1、(1,0)、(1,。為頂點的三角形；2 2)D表示矩形區(qū)域x,y|3x5,0y2.3 .根據二重積分的幾何意義，確定下列積分的值：2222.1 1)aVxyd,Dx,y|xya；D?222222、2 2)qaxyd,Dx,y|xya.D13 .設fx,y為連續(xù)函數，求lim4f(x,y)d,r04 d222Dx,y|xx°NV。r.4.根據二重積分性質，估計下列積分的值：(1)IJ4+xyd,Dx,y|0x2,0y2;D(2)I22sinxsinyd,Dx,y|0x7;22(3)Ix2D5.設D0,14y29d,Dx,y|x2y2

12、4.0,1明函數fx,y1,x,y為D內有理點即x,y均為有理數0,x,y為D內非有理點在D上不可積第2節(jié)二重積分的計算只有少數二重積分(被積函數和積分區(qū)域特別簡單)可用定義計算外，一般情況下要用定義計算二重積分相當困難.下面我們從二重積分的幾何意義出發(fā)，來介紹計算二重積分的方法，該方法將二重積分的計算問題化為兩次定積分的計算問題.2.1直角坐標系下的計算在幾何上，當被積函數fx,y0時，二重積分f(x,y)d的值等于以D為底，以曲面Dzf(x,y)為頂的曲頂柱體的體積.下面我們用切片法”來求曲頂柱體的體積V設積分區(qū)域D由兩條平行直線xa,xb及兩條連續(xù)曲線yix,y2x(見圖105)所圍成，

13、其中ab,ix2x，貝fjD可表示為D x ,y | a x b,(j)1 x y(j) 2圖 105用平行于yOZ坐標面的平面xxaxb去截曲頂柱體，得一截面，它是一個以區(qū)間為底，以zf(x,y)為曲邊的曲邊梯形(見圖106),所以這截面的面積為6(xo)Ax0僅f(x0,y)dy.小10)圖 10-6由此，我們可以看到這個截面面積是x0的函數.一般地，過區(qū)間a,b上任一點且平行于yOz坐標面的平面，與曲頂柱體相交所得截面的面積為與，(x)f(x,y)dy,(x)其中y是積分變量，x在積分時彳八持不變G(因此在區(qū)間a,b上，Ax是x的函數，應用計算平行截面面積為已知的立體體積的方法，得曲頂柱

14、體的體積為bb%(x)VA(x)dxf(x,y)dydx,aa4(x)即得2(X)f(x,y)df(x,y)dydx,X)ai(D或記作f (X, y)ddxf(x,y)dyxI()上式右端是一個先對y，后對x積分的二次積分或累次積分.這里應當注意的是：做第一次積分時，因為是在求x處的截面積Ax,所以x是a,b之間任何一個固定的值，y是積分變量；做第二次積分時，是沿著x軸累加這些薄片的體積Axdx,所以x是積分變量在上面的討論中，開始假定了f(x,y)0,而事實上，沒有這個條件，上面的公式仍然正確.這里把此結論敘述如下：若zf(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，D:axb,1xy2x,則b2(x)f(

15、x,y)dxdydx,、f(x,y)dy.(10-2-1)x)Da1(類似地，若zf(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，積分區(qū)域D由兩條平行直線ya,yb及兩條連續(xù)曲線x1y,x2y(見圖107)所圍成，其中cd,1x2x，則D可表示為Dx,y|cyd,1yx2y.則有d2(x)圖107以后我們稱圖10-5所示的積分區(qū)域為X型區(qū)域，X型區(qū)域D的特點是：穿過D內部且平行于y軸的直線與D的邊界的交點不多于兩個.稱圖107所示的積分區(qū)域為Y型區(qū)域，Y型區(qū)域D的特點是：穿過D內部且平行于x軸的直線與D的邊界的交點不多于兩個.從上述計算公式可以看出將二重積分化為兩次定積分，關鍵是確定積分限，而確定積分限又依賴于

16、區(qū)域D的幾何形狀.因此，首先必須正確地畫出D的圖形，將D表示為X型區(qū)域或Y型區(qū)域.如果D不能直接表示成X型區(qū)域或Y型區(qū)域，則應將D劃分成若干個無公共內點的小區(qū)域，弁使每個小區(qū)區(qū)域D上的二重積分就是這域能表示成X型區(qū)域或丫型區(qū)域，再利用二重積分對區(qū)域具有可加性相加,(圖 108).些小區(qū)域上的二重積分之和圖10-833 /例1計算二重積分xyd,其中D為直線yx與拋物線yx2所包圍的閉區(qū)域.解畫出區(qū)域D的圖形,（圖10-9）可表不為:2求出yxL與yx兩條曲線的交點，它們是0,0及1,1.區(qū)域因此由公式（10-2-1）得本題也可以化為先對x,（10-2-2）得積分后與上面結果相同.例2計算二重積

17、分區(qū)域.解畫出積分區(qū)域D,易知xydD1xdx01(x30后對y的積分,xydDy2dxx2ydyx5)dx這時區(qū)域Dydyxdx.0y2x2y124可表為:，其中D是由直線y2dx1所圍成的閉11x1,xy1（圖、10-10），若利用公式11ydy)dxdxdx(x31)dx(10-2-1),得若利用公式（10-2-2）,就有2222也可得同樣的結果.例3計算二重積分yjlxydD1小xydxdy,2x2d,其中dyD是直線y2,yx和雙曲線xy1所圍之I區(qū)域.解求得三線的三個交點分別是1,2,(1,1)2及（2,2）.如果先對y積分，那么當工x1時,21y的下限是雙曲線y而當1x2時,y的

18、下限是直線,因此需要用直線x1把區(qū)域D分為D和D2兩部分（圖10-11）.D2：1x2,xy2.2x-.kd口y1“dx2x22-x彳一八dydx,小2dx2dx1選擇適當的次序進行積分例4設f(x,y)連續(xù)，求證bdy y f(x,y)dx .bxdxf(x,證上式左端可表為y)dybxDf (x,y)d .a a Ddxf(x,y)dy其中D:axb,ay于是改變積分次序，可得由此可得所要證明的等式（圖1012）區(qū)域D也可表為：ayf(x,y)ddyyf(x,y)dx2x2所圍成的區(qū)域例5計算二重積分包工%其中D是直線yx與拋物線解把區(qū)域D表示為x型區(qū)域,即D=x,y|01,x21xdx0

19、dxx2sinxdxcosxxcosxsinx注：如果化為y型區(qū)域即先對1sini0.1585積分，則有sinx.1小，ysinx一d(Tdydx.x0yx由于犯王的原函數不能由初等函數表示，往下計算就困難了，這也說明計算二重積分時，x除了要注意積分區(qū)域D的特點（區(qū)分是x型區(qū)域，還是y型區(qū)域）外，還應注意被積函數的特點，弁適當選擇積分次序.2.2二重積分的換元法與定積分一樣，重積分也可用換元法求其值，但比定積分復雜得多.我們知道，對定積分J】xM）時，要把fx變成f（f）t,dx變成（f）（t）dt,積分限a,b也要變成對應t的值.同樣，對二重積分fx,yd作變量替換Dxu,v,yu,v,時，

20、既要把fx,y變成fxu,v,yu,v,還要把xOy面上的積分區(qū)域D變成uOv面上的區(qū)域DUv,弁把D中的面積兀素d(T變成DUv中的面積兀素d(T.其中最常用的是極坐標系的情形.2.2.1 極坐標系的情形下面我們討論利用極坐標變換，得出在極坐標系下二重積分的計算方法.把極點放在直角坐標系的原點，極軸與x軸重合，那么點P的極坐標Pr,0與該點的直角坐標Px,y有如下互換公式：xrcosQyrsinQ0r,002兀；rJxy2,0arctany-;x,yx我們知道，有些曲線方程在極坐標系下比較簡單，因此，有些二重積分fx,ydD用極坐標代換后，計算起來比較方便，這里假設z f x,y 在區(qū)域D上

21、連續(xù).在直角坐標系中，我們是以平行于x軸和y軸的兩族直線分割區(qū)域D為一系列小矩形，從而得到面積元素dbdxdy.在極坐標系中，與此類似，我們用？常數”的一族同心圓，以及“0常數”的一族過極點的射線，將區(qū)域D分成n個小區(qū)域ji,j1,2,L,n,如圖1013所示.圖 10 13小區(qū)域面積12八2八勺2ririQriQ八12八ririj12riq.2則有q,i,j1,2,L,n,用ririj。例故有rdr d 0.在作極坐標變換時，只要將被積函d o- dxdy 換成極坐標的面積元素do-rdrd0.fx,ydo-frcosQrsin0DD這就是直角坐標二重積分變換到極坐標二重積分的公式數中的x,

22、y分別換成rcosQrsin0,弁把直角坐標的面積元素rdrd0即可.但必須指出的是：區(qū)域D必須用極坐標系表示在極坐標系下的二重積分，同樣也可以化為二次積分計算(1)極點O在區(qū)域D外部，如圖1014所示.下面分三種情況討論：圖1014A,B ,將區(qū)域D的設區(qū)域D在兩條射線0%03之間，兩射線和區(qū)域邊界的交點分別為邊界分為兩部分，其方程分別為r10,rr20且均為,向上的連續(xù)函數.此時Dr,01r10rr20,a03.于是b29frcos0,rsin0rdrd0d0frcosQrsin0rdra116D(2)極點O在區(qū)域D內部，如圖10-15所示.若區(qū)域D的邊界曲線方程為rr。，這時積分區(qū)域D為

23、Dr,0|0rr0,0。2兀，且r。在0,2兀上連續(xù).于是f r cos 0, r sin 0 rdrd 0圖 10 15r cos Q r sin 0 rdr .極點O在區(qū)域D的邊界上，此時，積分區(qū)域D如圖1016所不2兀red 0 f00圖 10 16r, 0 | a 0 00 r r 0且r。在0,2兀上連續(xù)，則有Bre-frcosQrsin0rdrd0d0frcosQrsin0rdr.a0D在計算二重積分時，是否采用極坐標變換，應根據積分區(qū)域般來說，當積分區(qū)域為圓域或部分圓域及被積函數可表示為D與被積函數的形式來決定fx 2 y2或f 一等形式時，x常采用極坐標變換，簡化二重積分的計算

24、例6計算二重積分JS2dxdy,D1xy其中Dx,y|x2y2a20a1.解在極坐標系中積分區(qū)域D r,10 r a,0則有rdrJ1Xy.J;2rdxdyd1xykJ?rdr令t°1rraaarcsint1t兀arcsina2由a10例7計算二重積分解采用極坐標系xy2d,其中D是單位圓在第I象限的部分.D10-17),于是有rdr1152 . xyd2dr22r一0rsincosC2八八14Osin田0r例8計算二重積分x2d,其中D是二圓x2y21和x2y24之間的環(huán)形閉區(qū)域解區(qū)域D:002&1圖1018于是45兀.22,21t1cos2.23.rcosrdrdrdr2

25、.2.2 .直角坐標系的情形我們先來考慮面積元素的變化情況設函數組xx(u,v),yy(u,v)為單值函數，在D'上具有一階連續(xù)偏導數，且其雅可比行列式J-(x-八0,(u,v)則由反函數存在定理，一定存在著D上的單值連續(xù)反函數uu(x,y),vv(x,y).這時DUv與D之間建立了一一對應關系，uOv面上平行于坐標軸的直線在映射之下成為xOy面上的曲線u(x,y)u0,v(x,y)v0.我們用uOv面上平行于坐標軸的直線uui,vvj(i1,2,L,n;j1,2,L,m)將區(qū)域Civ分割成若干個小矩形，則映射將r(bjuOv面上的直線網變成xOy面上的曲線網(圖1019).(a)圖1

26、019D uv (面積記為Ab)及其在D中對應的小區(qū)域 AD(面積在Duv中任取一個典型的小區(qū)域記為力如圖1020所示.圖1020設AD的四條邊界線的交點為P(xo,y0),Pz(x0XLP4(xAx3,yo勾3).當構成的平行四邊形面積近似Au,8很小時,i1,2,3也很小,y)F3(x0x2,D的面積可用yoy?)和PlUU丐Puuur同理從而得uuHTP1P2Ax1xux因此，二重積分作變量替換Au,voUO,VoAuuuuirPRA(TxuuuirP1P2(x,y)(u,x(v)v),yuuJLA(ttP1P25Vo1iyuo,vouo,VouumrP1P4Avi-AuugAuAvdx

27、dy由此得如下結論：定理1若f(x,y)在xOy平面上的閉區(qū)域上的閉區(qū)域Duv變成xOy平面上的D,且滿足:x(u,v),y(u,v)在(2)在DUv上雅可比式變換T：DuvDuuuirP1P4.yuAu,voCyvUb,VoAvyWWj-Avv(x,y)(U,yuyvAu的絕對值Avy(u,v)店)面積(T素(7與(7的關系為(x,y)(u,vdudvy).(u,vD上連4,變換T:xx(u,v),yDuv上具有一階連續(xù)偏導數,J告。；是一對一的，則有uOv平面y(u,v),將xOy面上閉區(qū)域 D變?yōu)閡Ov面上的對應區(qū)域 D （圖10-21）.則得f(x,y)dxdyfx(u,v),y(u,

28、v)|Jdudv.DDUvyx例9計算二重積分°eLdxdy,其中D是由x軸，y軸和直線xy2所圍成的閉區(qū)域解令uyx,vyx,貝UxVUyVU22在此變換下,雅可比式為11(x,y)22(u,v)112_2x ay,x by,y px ,從a變至U buIdudveyxdxdyev2DD2dvevdu0(ee-1)vdv0ev10設D為xOy平面內由以下四條拋物線所圍成的區(qū)域：，其中0Vavb,qx0Vpvq,求D的面積.由解D的構造特點，引入兩族拋物線y2ux,x2vy,則由u從p變到q,v時，這兩族拋物線交織成區(qū)域雅可比行列式為圖1022D(圖1022)(xy)(u,v)1(x

29、,y)則所求面積SdxdyD1.畫出積分區(qū)域，把f(x,y)d化為二次積分：DDx,y|xy1,yx1,y02.改變二次積分的積分次序：22y0dyy2f(x,y)dx;32xdxfx,ydy；0x3 .設f(x,y)連續(xù)，且f(x,y)xyf(x,y)dDf(x,y).4 .計算下列二重積分：11)x2y2d,Dx,y|x1,y1；D2yxx22xx-2y1.dudv3D102(2)Dx,y|yx2,xy.elnx1dx0f(x,y)dy;1rv(4)1dxf(x,y)dy.-11x,其中D是由直線y0,x1及曲線yx2所2 2)sinAdd,其中D是直線yx與拋物線yx所圍成的區(qū)域；xD3

30、 3)Jxd,Dx,y|x2y2x;D_24 4)x2eydxdy,D是頂點分別為O0,0,A1,1,B0,1的三角形閉區(qū)域D截得的立5.求由坐標平面及x2,y3,xyz46.計算由四個平面x0,y0,x1,y1體的體積.所圍的角柱體的體積.所圍的柱體被平面z0及2x3yz67 .在極坐標系下計算二重積分：.22222.(1) sinxxydxdy,Dx,y|%xy4兀;D22(2) (xy)dxdy,Dx,y|xyxy；D(3) xydxdy,其中D為圓域x2y2a2;D(4) ln(1x2y2)dxdy,其中D是由圓周x2y21及坐標軸所圍成的在第一象限內的閉D8 .將下列積分傳為極坐標形

31、式：a x(2) 0 dx o , x y dy .2a?2axX2229 odxo(xy)dy;22222Rx所割下部分的體積10 求球體xyzR被圓枉面x11 .作適當坐標變換，計算下列二重網分工.十2、一，dxdy,由xy1,x2,yx所圍成的平面閉區(qū)域；yxy.12 )edxdy,Dx,y|xy1,x0,y0;D2“，L上i所圍成的平面閉區(qū)域iIbDV-222與占dxdy,其中D是橢圓與aba13 )xysinxydxdy,Dx,y10xy,0x.D11 .設閉區(qū)域D由直線xy1,x0,y0所圍成，求證：xy1cosdxdy-sin1.xy212 .求由下列曲線所圍成的閉區(qū)域的面積：(

32、1)曲線xy4,xy8,xy35,xy315所圍成的第一象限的平面閉區(qū)域；(2)曲線xya,xyb,yx,yx所圍的閉區(qū)域(0ab,0).第3節(jié)三重積分3.1三重積分的概念三重積分是二重積分的推廣，它在物理和力學中同樣有著重要的應用八在引入二重積分概念時，我們曾考慮過平面薄片的質量，類似地，現在我們考慮求解空間物體的質量問題.設一物體占有空間區(qū)域Q,在Q中每一點(x,y,z)處的體密度為&x,y,z),其中p(x,y,z)是Q上的正值連續(xù)函數.試求該物體的質量.先將空間區(qū)域Q任意分割成n個小區(qū)域Av1,Av2,L,Avn(同時也用AVi表示第i個小區(qū)域的體積).在每個小區(qū)域加i上任取一

33、點(&,砧4),由于&x,y,z)是連續(xù)函數，當區(qū)域力Di充分小時，密度可以近似看成不變的，且等于在點(工，小)處的密度，因此每一小塊Av的質量近似等于工，刀，dAvi,物體的質量就近似等于nK岑，”，GAm.i1令小區(qū)域的個數n無限增加，而且每個小區(qū)域無限地收縮為一點，即小區(qū)域的最大直徑入maxdAV0時，取極限即得該物體的質量1innMlimn2,rbGAVi.ii由二重積分的定義可類似給出三重積分的定義：定義1設Q是空間的有界閉區(qū)域，f(x,y,z)是Q上的有界函數，任意將Q分成n個小區(qū)域Av1,AV2,L,AVn，同時用AV表示該小區(qū)域的體積，記的直徑為d爾、，弁令入1

34、maxdAV，在上任取一點(W,砧G,(i1,2,L,n),作乘積f(W,小GAm,把這些nn乘積加起來得和式f?，小GAV,若極限limf(g,邛，0AVi存在(它不依賴于區(qū)域Q的分i1入i1法及點(i,i,i)的取法)，則稱這個極限值為函數f(x,y,z)在空間區(qū)域Q上的三重積分，記作fx,y,zdV,n即fx,y,zdVlim0f(i,i,i)M,0i1其中f(x,y,z)叫做被積函數，Q叫做積分區(qū)域，dV叫做體積元素.在直角坐標系中，若對區(qū)域Q用平行于三個坐標面的平面來分割，于是把區(qū)域分成一些小長方體.和二重積分完全類似，此時三重積分可用符號fx,y,zdxdydz來表示，即在直角坐標

35、系中體積元素dV可記為dxdydz.有了三重積分的定義，物體的質量就可用密度函數p(x,y,z)在區(qū)域Q上的三重積分表示，即Mx,y,zdV,如果在區(qū)域Q上f(x,y,z)1,并且Q的體積記作V,那么由三重積分定義可知1dVdvV.這就是說，三重積分dv在數值上等于區(qū)域Q的體積.三重積分的存在性和基本性質，與二重積分相類似，此處不再重述八3.2三重積分的計算為簡單起見，在直角坐標系下，我們采用微元分析法來給出計算三重積分的公式三重積分f(x,y,z)dv表示占空間區(qū)域Q的物體的質量.設Q是柱形區(qū)域，其上、下分別由連續(xù)曲面zzi(x,y),zZ2(x,y)所圍成，它們在xOy平面上的投影是有界閉

36、區(qū)域D;Q的側面由柱面所圍成，其母線平行于z軸，準線是D的邊界線.這時，區(qū)域Q可表示為Qx,y,z憶i(x,y)zz2(x,y),(x,y)D先在區(qū)域D內點(x,y)處取一面積微元do-dxdy,對應地有Q中的一個小條，再用與xOy面平行的平面去截此小條，得到小薄片(圖1023).圖1023于是以d(r為底，以dz為高的小薄片的質量為f(x,y,z)dxdydz.把這些小薄片沿z軸方向積分，得小條的質量為z(x)“口/丫蟲dxdy.然后，再在區(qū)域D上積分，就得到物體的質量z2(x,y)zay)f(x,y,z)dzdxdy.D也就是說，得到了三重積分的計算公式4( x, y)f x, y, z

37、dv =z(x, y) f(x, y,z)dz dxdy1 .dxdyDZ2(x,y)z(x,y) f(X, y, Z)dz.(10-3-1)例1計算三重積分xdxdydz,其中Q是三個坐標面與平面xyz1所圍成的區(qū)域(圖1024)圖1024D是由坐標軸與直線x y 1圍成的區(qū)域：例2計算三重積分24zdv,其中 Q: x 0, y 0, z0, x 2 y2 z2 R2(見圖 10 25).圖 10 25解 區(qū)域Q在xOy平面上的投影區(qū)域D: x 0, y 0, x 2 y2R2.對于D中任意一點(x,y),相應地豎坐標從z 0變到z J R2 x2 y 2.因此，由公式(10-3-1),得

38、22zdv dxdy 0 D/兀R：9 (R ： 2 00 、1 4 R 2 2 2 22三重積分化為累次積分時，除上面所說的方法外，zdz1 _222-R x y dxdy2、乙刖.解積分區(qū)域Q在xOy平面的投影區(qū)域0x1,0y1x,所以1xyxdxdydzdxdyxdzdxdyxdz001odxox(1xy)dy(1£x還可以用先求二重積分再求定積分的方法計算.若積分區(qū)域Q如圖10-26所示，它在z軸的投影區(qū)間為A,B,對于區(qū)間內的任意一點z,過z作平行于xOy面的平面，該平面與區(qū)域相交為一平面區(qū)域，記作D(z).這時三重積分可以化為先對區(qū)域Dz求二重積分，再對z在A,B上求定積

39、分，得Bf(x,y,z)dvdzf(x,y,z)dxdy.(10-3-2)D(z)26/我們可利用公式(10-3-2)重新計算例2中的積分.區(qū)域Q在z軸上的投影區(qū)間為0, R,對于該區(qū)間中任意一點z,相應地有一平面區(qū)域Dz:x 0, y 0 與 X2y2 R z2與之對應.由公式(10-3-2),得Rzdv dz zdxdy.0c,求內層積分時,Rz2 ,所以z可以看作常數：弁且 Dz:x2 y例3計算三重積分解我們利用公式c,對于區(qū)間內任意一點z2是1個圓，其面積為4Rzdv = z02Rz2 dz京R4.z2dv ,其中 Qx2 y2 z2 1 . a b c(10-3-2)將三重積分化為

40、累次積分z,相應地有一平面區(qū)域.區(qū)域Q在z軸上的投影區(qū)間為2 X22 z a 而(1 F) c與之相應，該區(qū)域是一橢圓(圖1027),其面積為.所以2z dv= z2dzcdxdyc271abz 1dz 43jabc 315圖 1027Tabc15 D(z)3.3三重積分的換元法對于三重積分f (x, y, z)dv作變量替換:它給出了 Orst空間到x x(r,s,t) y y(r,s,t) z z(r,s,t)Oxyz 空間的一個映射，若 x r,s,t ,y r,s,t ,z r,s,t有連續(xù)的一階偏導數，且 0,則建立了(r ,s,t)重積分換元法類似，我們有Orst空間中區(qū)域 *和O

41、xyz空間中相應區(qū)域 Q的-對應，與二65 /dv(x,y,z)drdsdt.()于是，有換元公式y(tǒng)f(x,y,z)dvfx(r,s,t),y(r,s,t),z(r,s,t)(x-drdsdt.*(r,s,t)作為變量替換的實例，我們給出應用最為廣泛的兩種變換：柱面坐標變換及球面坐標變換3.3.1 柱面坐標變換三重積分在柱面坐標系中的計算法如下：變換xrcosQyrsinQzz稱為柱面坐標變換，空間點Mx,y,z與(r,z)建立了一一對應關系，把(r,Qz)稱為點Mx,y,z的柱面坐標.不難看出，柱面坐標實際是極坐標的推廣.這里r,0為點M在xOy面上的投影P的極坐標.0rv,002汽，<

42、;z<(圖10-28).柱面坐標系的三組坐標面為(1)r常數，以z為軸的圓柱面；(2)0常數，過z軸的半平面；z常數，平行于xOy面的平面cos0rsin00(x,y,z)由于ssin0rcos00r,則在柱面坐標變換下，體積元素之間的關系式為：(r,001dxdydzrdrddz.于是，柱面坐標變換下三重積分換元公式為：f(x,y,z)dxdydz=f(rcos,rsin,z)rdrddz.(10-3-3)至于變換為柱面坐標后的三重積分計算，則可化為三次積分來進行.通常把積分區(qū)域Q向xOy面投影得投影區(qū)域D,以確定r,0的取值范圍，z的范圍確定同直角坐標系情形例4計算三重積分zq1x2

43、y2dxdydz,其中Q是由錐面zJx2y2與平面z1所圍成的區(qū)域.解在柱面坐標系下，積分區(qū)域Q表示為rz1,0r1,002支(圖1029).所以有;""22zx y dxdydz27t 1d ° dr12z r dz1222711r (1 r )dr 22例5計算三重積分y2 dxdydz ,其中成的曲面與兩平面 z 2, z 8所圍之區(qū)域.解曲線y2=2z, x 。繞z旋轉，所得旋轉面方程為Q是由曲線y 2z,2一兀.15x。繞z軸旋轉一周而x2 y2 2z設由旋轉曲面與平面z2所圍成的區(qū)域為烏，該區(qū)域在xOy平面上的投影為Dq1x,y|x2+y24.由旋轉曲

44、面與z8所圍成的區(qū)域為Q,Q在xOy平面上的投影為2,x,y|x+y16.則有QUQ,如圖1°3°所示圖10-3drd r dzDT336 n.223dxydxdydzdrdrdz122K232K432d06rd0r8drdr)223.3.2球面坐標變換三重積分在球面坐標系中的計算法如下：變換xrsin(j)cosQyrsin(j)sin0,zrcos()稱為球面坐標變換，空間點Mx,y,z與(r,a建立了對應關系，把Mx,y,z的球面坐標(圖10-31),其中(r,球面坐標系的三組坐標面為:9231(1) r常數，以原點為中心的球面；(2) 6常數，以原點為頂點，z軸為軸

45、，半頂角為6的圓錐面;e常數，過z軸的半平面.由于球面坐標變換的雅可比行列式為(x,y,z(r,4,sin(j)cos0sin(j)rcoscos0rcos則在球面坐標變換下，體積元素之間的關系式為dxdydzr2sin(j)(j)(jdrd9drsin(j)sinrsin(j)(j).2rsin于是，球面坐標變換下三重積分的換元公式為2.f(x,y,z)dxdydz=f(rsincos,rsinsin,rcos)rsindrd計算三重積分(x2y2z2)dxdydz,其中Q表示圓錐面x2x2y2z22Rz所圍的較大部分立體解在球面坐標變換下，球面方程變形為積分區(qū)域Q表示為002r2Rcos(

46、)，錐面為()-(圖10-32)40()工，0r2Rcos(),4,(10-3-4)z2與球面.這時所以上,十悄十爐一？比圖1032(x2y2z2)dxdydz=r2r2sindrddc兀CC I2 兀-2 Rcos。d o4 d()r sin00 Y 0TtQ(dr "sin亡502 2Rcos (f>QO c(j ) (r ) d()tR .YI0 Y15計算三重積分(2y&_孑)dxdydz,其中Q是由曲面X2 y2Z2x2 y2 z2 4a2, Jx2 z2 y所圍成的區(qū)域.解積分區(qū)域用球面坐標系表示顯然容易,但球面坐標變換應為x rsin (jcos Q z

47、rsin () sin 0, y rcos ()2.這時dv - ddrddde,枳分區(qū)域 口表小為a r 2a,00 -t00 2兀 (圖r,1、1033)圖10-33154一兀 a16所以(2XLhJxdydz-d72cus【sn:-indr'y值得注意的是，三重積分的計算是選擇直角坐標，還是柱面坐標或球面坐標轉化成三次積分，通常要綜合考慮積分域和被積函數的特點.一般說來，積分域Q的邊界面中有柱面或圓錐面時,常采用柱面坐標系；有球面或圓錐面時，常采用球面坐標系.另外，與二重積分類似，三重積分也可利用在對稱區(qū)域上被積函數關于變量成奇偶函數以簡化計算習題10-31 .化三重積分If(x,y,z)dxdydz為三次積分，其中積分區(qū)域Q分別是.(1)由雙曲拋物面xyz及平面xy10,z0所圍成的閉區(qū)域；.22(2)由曲面zxy及平面z1所圍成的閉區(qū)域.2 .在直角坐標系下計算三重積分：(1) xy+z2dxdydz,其中-2,5-3,30,1;(2) xy2z3dxdydz,其中Q是由曲面zxy與平面yx,x1,和z0所圍成的閉區(qū)域；(3) dxdydz_3,其中Q為平面x0,y0,z0,xyz1所圍的四面體;1+x+y+z(4) ycosxzdxdydz,其中Q為yJx,y0,z0和xz2所圍成的閉區(qū)域3 .利用柱面坐標計算下列三