6.示范教案(3.4.1 基本不等式 的證明)

1、3.4基本不等式：3.4.1基本不等式的證明從容說課在前兩節(jié)課的研究當(dāng)中，學(xué)生已掌握了一些簡(jiǎn)單的不等式及其應(yīng)用，并能用不等式及不等式組抽象出實(shí)際問題中的不等量關(guān)系，掌握了不等式的一些簡(jiǎn)單性質(zhì)與證明，研究了一元二次不等式及其解法，學(xué)習(xí)了二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題.本節(jié)課的研究是前三大節(jié)學(xué)習(xí)的延續(xù)和拓展.另外，為基本不等式的應(yīng)用墊定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，所以說，本節(jié)課是起到了承上啟下的作用.本節(jié)課是通過讓學(xué)生觀察第屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)圖案中隱含的相等關(guān)系與不等關(guān)系而引入的.通過分析得出基本不等式：，然后從三種角度對(duì)基本不等式展開證明及對(duì)基本不等式展開一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用,進(jìn)而更深一層次地從理性角

2、度建立不等觀念.教師應(yīng)作好點(diǎn)撥，利用幾何背景，數(shù)形結(jié)合做好歸納總結(jié)、邏輯分析，并鼓勵(lì)學(xué)生從理性角度去分析探索過程，進(jìn)而更深層次理解基本不等式，鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法獲得過程的探索，同時(shí)也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用觀察、類比、歸納、邏輯分析、思考、合作交流、探究，得出基本不等式，進(jìn)行啟發(fā)、探究式教學(xué)并使用投影儀輔助.教學(xué)重點(diǎn) 1.創(chuàng)設(shè)代數(shù)與幾何背景，用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式；2.從不同角度探索基本不等式的證明過程；3.從基本不等式的證明過程進(jìn)一步體會(huì)不等式證明的常用思路.教學(xué)難點(diǎn) 1.對(duì)基本不等式從不同角度的探索證明；2.通過基本不等式的證明過程體會(huì)分析法的證明思路

3、.教具準(zhǔn)備 多媒體及課件三維目標(biāo)一、知識(shí)與技能1.創(chuàng)設(shè)用代數(shù)與幾何兩方面背景，用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式；2.嘗試讓學(xué)生從不同角度探索基本不等式的證明過程；3.從基本不等式的證明過程進(jìn)一步體會(huì)不等式證明的常用思路，即由條件到結(jié)論，或由結(jié)論到條件.二、過程與方法1.采用探究法，按照聯(lián)想、思考、合作交流、邏輯分析、抽象應(yīng)用的方法進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)； 2.教師提供問題、素材，并及時(shí)點(diǎn)撥，發(fā)揮老師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用；3.將探索過程設(shè)計(jì)為較典型的具有挑戰(zhàn)性的問題，激發(fā)學(xué)生去積極思考，從而培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.三、情感態(tài)度與價(jià)值觀1.通過具體問題的解決，讓學(xué)生去感受、體驗(yàn)現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在

4、著大量的不等量關(guān)系并需要從理性的角度去思考，鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行歸納、抽象，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)、走進(jìn)數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和良好的思維習(xí)慣；2.學(xué)習(xí)過程中，通過對(duì)問題的探究思考，廣泛參與，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，主動(dòng)、積極的學(xué)習(xí)品質(zhì)，從而提高學(xué)習(xí)質(zhì)量；3.通過對(duì)富有挑戰(zhàn)性問題的解決，激發(fā)學(xué)生頑強(qiáng)的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度，同時(shí)去感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，體會(huì)數(shù)學(xué)的奧秘、數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)美，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.教學(xué)過程導(dǎo)入新課探究：上圖是在北京召開的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客，你

5、能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？ （教師用投影儀給出第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，并介紹此會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客.通過直觀情景導(dǎo)入有利于吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，并增強(qiáng)學(xué)生的愛國(guó)主義熱情）推進(jìn)新課師 同學(xué)們能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？如何找？（沉靜片刻）生 應(yīng)該先從此圖案中抽象出幾何圖形.師 此圖案中隱含什么樣的幾何圖形呢？哪位同學(xué)能在黑板上畫出這個(gè)幾何圖形？（請(qǐng)兩位同學(xué)在黑板上畫.教師根據(jù)兩位同學(xué)的板演作點(diǎn)評(píng)）（其中四個(gè)直角三角形沒有畫全等，不形象、直觀.此時(shí)教師用投影片給出隱含的規(guī)范

6、的幾何圖形）師 同學(xué)們觀察得很細(xì)致，抽象出的幾何圖形比較準(zhǔn)確.這說明，我們只要在現(xiàn)有的基礎(chǔ)上進(jìn)一步刻苦努力，發(fā)奮圖強(qiáng)，也能作出和數(shù)學(xué)家趙爽一樣的成績(jī).（此時(shí)，每一位同學(xué)看上去都精神飽滿，信心百倍，全神貫注地投入到本節(jié)課的學(xué)習(xí)中來）過程引導(dǎo)師 設(shè)直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為a、b，那么，四個(gè)直角三角形的面積之和與正方形的面積有什么關(guān)系呢？生 顯然正方形的面積大于四個(gè)直角三角形的面積之和.師 一定嗎？（大家齊聲：不一定，有可能相等）師 同學(xué)們能否用數(shù)學(xué)符號(hào)去進(jìn)行嚴(yán)格的推理證明，從而說明我們剛才直覺思維的合理性？ 生 每個(gè)直角三角形的面積為，四個(gè)直角三角形的面積之和為2ab.正方形的邊長(zhǎng)為，所以正

7、方形的面積為a2+b2，則a2+b22ab.師 這位同學(xué)回答得很好，表達(dá)很全面、準(zhǔn)確，但請(qǐng)大家思考一下，他對(duì)a2+b22ab證明了嗎？生 沒有，他仍是由我們剛才的直觀所得，只是用字母表達(dá)一下而已.師 回答得很好.（有的同學(xué)感到迷惑不解）師 這樣的敘述不能代替證明.這是同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)經(jīng)常會(huì)犯的錯(cuò)誤.實(shí)質(zhì)上，對(duì)文字性語言敘述證明題來說，他只是寫出了已知、求證，并未給出證明.（有的同學(xué)竊竊私語，確實(shí)是這樣，并沒有給出證明）師 請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)思考，該如何證明此不等式，即a2+b22ab.生 采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，(a-b)2是一個(gè)完全平方數(shù)，它是非負(fù)數(shù)，即(a-b)20，所

8、以可得a2+b22ab.師 同學(xué)們思考一下，這位同學(xué)的證明是否正確？生 正確.教師精講師 這位同學(xué)的證明思路很好.今后，我們把這種證明不等式的思想方法形象地稱之為“比較法”，它和根據(jù)實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)比較兩個(gè)代數(shù)式的大小是否一樣.生 實(shí)質(zhì)一樣，只是設(shè)問的形式不同而已.一個(gè)是比較大小，一個(gè)是讓我們?nèi)プC明.師 這位同學(xué)回答得很好，思維很深刻.此處的比較法是用差和0作比較.在我們的數(shù)學(xué)研究當(dāng)中，還有另一種“比較法”.（教師此處的設(shè)問是針對(duì)學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)而言）生 作商，用商和“1”比較大小.師 對(duì).那么我們?cè)谟龅竭@類問題時(shí)，何時(shí)采用作差，何時(shí)采用作商呢？這個(gè)問題讓同學(xué)們課后去思考，在解決問題中自然會(huì)遇

9、到.（此處設(shè)置疑問，意在激發(fā)學(xué)生課后去自主探究問題，把探究的思維空間切實(shí)留給學(xué)生）合作探究師 請(qǐng)同學(xué)們?cè)僮屑?xì)觀察一下，等號(hào)何時(shí)取到.生 當(dāng)四個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)重合時(shí)，即面積相等時(shí)取等號(hào).（學(xué)生的思維仍建立在感性思維基礎(chǔ)之上，教師應(yīng)及時(shí)點(diǎn)撥）師 從不等式a2+b22ab的證明過程能否去說明.生 當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)2=0，即a=b時(shí)，取等號(hào).師 這位同學(xué)回答得很好.請(qǐng)同學(xué)們看一下，剛才兩位同學(xué)分別從幾何圖形與不等式兩個(gè)角度分析等號(hào)成立的條件是否一致.（大家齊聲）一致.（此處意在強(qiáng)化學(xué)生的直覺思維與理性思維要合并使用.就此問題來講，意在強(qiáng)化學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用）板書：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a

10、、b，我們有a2+b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.過程引導(dǎo)師 這是一個(gè)很重要的不等式.對(duì)數(shù)學(xué)中重要的結(jié)論，我們應(yīng)仔細(xì)觀察、思考，才能挖掘出它的內(nèi)涵與外延.只有這樣，我們用它來解決問題時(shí)才能得心應(yīng)手，也不會(huì)出錯(cuò).（同學(xué)們的思維再一次高度集中，似乎能從不等式a2+b22ab中得出什么.此時(shí)，教師應(yīng)及時(shí)點(diǎn)撥、指引）師 當(dāng)a0,b0時(shí)，請(qǐng)同學(xué)們思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b.生 完全可以.師 為什么？生 因?yàn)椴坏仁街械腶、bR.師 很好，我們來看一下代替后的結(jié)果.板書：即 (a0,b0).師 這個(gè)不等式就是我們這節(jié)課要推導(dǎo)的基本不等式.它很重要，在數(shù)學(xué)的研究中有很多應(yīng)用，我們

11、常把叫做正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)，把a(bǔ)b叫做正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)，即兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).（此處意在引起學(xué)生的重視，從不同的角度去理解）師 請(qǐng)同學(xué)們嘗試一下，能否利用不等式及實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)來推導(dǎo)出這個(gè)不等式呢？（此時(shí)，同學(xué)們信心十足，都說能.教師利用投影片展示推導(dǎo)過程的填空形式）要證：，只要證a+b2，要證，只要證：a+b-20，要證，只要證：顯然是成立的，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，中的等號(hào)成立，這樣就又一次得到了基本不等式.（此處以填空的形式,突出體現(xiàn)了分析法證明的關(guān)鍵步驟，意在把思維的時(shí)空切實(shí)留給學(xué)生，讓學(xué)生在探究的基礎(chǔ)上去體會(huì)分析法的證明思路，加大了證明基本不等式的探究力度

12、）合作探究老師用投影儀給出下列問題.如圖，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，AC=a,BC=b.過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DD，連結(jié)AD、BD.你能利用這個(gè)圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？（本節(jié)課開展到這里，學(xué)生從基本不等式的證明過程中已體會(huì)到證明不等式的常用方法，對(duì)基本不等式也已經(jīng)很熟悉，這就具備了探究這個(gè)問題的知識(shí)與情感基礎(chǔ)）合作探究師 同學(xué)們能找出圖中與a、b有關(guān)的線段嗎？生 可證ACD BCD,所以可得.生 由射影定理也可得.師 這兩位同學(xué)回答得都很好，那ab與分別又有什么幾何意義呢？生表示半弦長(zhǎng)，表示半徑長(zhǎng).師 半徑和半弦又有什么關(guān)系呢？生 由半徑大于半弦可得.師 這位同學(xué)回答得是否很嚴(yán)

13、密？生 當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即當(dāng)a=b時(shí)可取等號(hào)，所以也可得出基本不等式 (a0,b0).課堂小結(jié)師 本節(jié)課我們研究了哪些問題？有什么收獲？生 我們通過觀察分析第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)得出了不等式a2+b22ab.生 由a2+b22ab,當(dāng)a0，b0時(shí)，以、分別代替a、b，得到了基本不等式 (a0,b0).進(jìn)而用不等式的性質(zhì)，由結(jié)論到條件，證明了基本不等式.生 在圓這個(gè)幾何圖形中我們也能得到基本不等式.（此處，創(chuàng)造讓學(xué)生進(jìn)行課堂小結(jié)的機(jī)會(huì)，目的是培養(yǎng)學(xué)生語言表達(dá)能力，也有利于課外學(xué)生歸納、總結(jié)等學(xué)習(xí)方法、能力的提高）師 大家剛才總結(jié)得都很好，本節(jié)課我們從實(shí)際情景中抽象出基本不等式.并采用數(shù)形結(jié)合的思想，賦予基本不等式幾何直觀，讓大家進(jìn)一步領(lǐng)悟到基本不等式成立的條件是a0，b0，及當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立.在對(duì)不等式的證明過程中，體會(huì)到一些證明不等式常用的思路、方法.以后，同學(xué)們要