高中數(shù)學(xué)《空間直角坐標系及空間向量》自測試題

1、2015年高中數(shù)學(xué)空間直角坐標系及空間向量自測試題【梳理自測】一、空間直角坐標系及空間向量的概念1在空間直角坐標系Oxyz中，點P(3,2，1)關(guān)于x軸的對稱點的坐標為()A(3,2,1)B(3,2,1)C(3，2,1) D(3，2,1)2已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，則與的值可以是()A2， B，C3,2 D2,23如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點若a，b，c，則下列向量中與相等的向量是()Aabc B.abcCabc D.abc答案：1.C2.A3.A以上題目主要考查了以下內(nèi)容：(一)(1)空間直角坐標系：名稱內(nèi)容空間直角坐

2、標系以空間一點O為原點，具有相同的單位長度，給定正方向，建立三條兩兩垂直的數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，這時建立了一個空間直角坐標系Oxyz坐標原點點O坐標軸x軸、y軸、z軸坐標平面通過每兩個坐標軸的平面(2)空間中點M的坐標：空間中點M的坐標常用有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)來表示，記作M(x，y，z)，其中x叫做點M的橫坐標，y叫做點M的縱坐標，z叫做點M的豎坐標建立了空間直角坐標系后，空間中的點M和有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)可建立一一對應(yīng)的關(guān)系(二)空間兩點間的距離(1)設(shè)點A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則|.特別地，點P(x，y，z)與坐標原點O的距離為|.(2)設(shè)點A(x1，y1

3、，z1)，B(x2，y2，z2)是空間中兩點，則線段AB的中點坐標為.(三)空間向量的有關(guān)概念名稱概念表示零向量模為0的向量0單位向量長度(模)為1的向量相等向量方向相同且模相等的向量ab相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量為a共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量ab共面向量平行于同一個平面的向量(四)空間向量的線性運算及運算律(1)定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運算，如下：ab；ab；a(R)(2)運算律：加法交換律：abba；加法結(jié)合律：(ab)ca(bc)；數(shù)乘分配律：(ab)ab.(五)空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對空間

4、任意兩個向量a，b(b0)，ab的充要條件是存在實數(shù)，使得ab.(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在實數(shù)x，y的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使pxayb.(3)空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使得pxaybzc.其中，a，b，c叫做空間的一個基底二、空間向量的數(shù)量積及運算律1已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab與2ab互相垂直，則k的值為()A1 B.C. D.2已知向量a(4，2，4)，b(6，3,2)，則(ab)·(ab)的值為_答案：1.D2.13以上題

5、目主要考查了以下內(nèi)容：(1)數(shù)量積及相關(guān)概念兩向量的夾角已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作a，b，則AOB叫做向量a與b的夾角，記作a，b，其范圍是0，若a，b，則稱a與b垂直，記作ab.兩向量的數(shù)量積已知空間兩個非零向量a，b，則|a|·|b|·cosa，b叫做向量a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b|a|b|cosa，b(2)空間向量數(shù)量積的運算律結(jié)合律：(a)·b(a·b)；交換律：a·bb·a；分配律：a·(bc)a·ba·c.【指點迷津】1一種方法用空間向量解決幾何

6、問題的一般方法步驟是：(1)適當?shù)倪x取基底a，b，c；(2)用a，b，c表示相關(guān)向量；(3)通過運算完成證明或計算問題2二個原則建立空間直角坐標系的原則(1)合理利用幾何體中的垂直關(guān)系，特別是面面垂直；(2)盡可能地讓相關(guān)點落在坐標軸或坐標平面上3二個推論共線向量定理推論若，不共線，則P，A，B三點共線的充要條件是且1.共面向量定理推論若、不共面，則P、M、A、B四點共面的充要條件是xyz且xyz1.考向一空間向量的線性運算例題1如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，設(shè)a，b，c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3).【

7、審題視點】逐步用三角形法則及向量運算法則【典例精講】(1)P是C1D1的中點，aacacb.(2)N是BC的中點，abababc.(3)M是AA1的中點，aabc，又ca，abc.【類題通法】用已知向量來表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量，我們可把這個法則稱為向量加法的多邊形法則在立體幾何中要靈活應(yīng)用三角形法則，向量加法的平行四邊形法則在空間仍然成立變式訓(xùn)練1(2014·舟山月考)如圖所示，已知空間四邊形OABC，其對角線為OB、AC，M、N分別為OA、

8、BC的中點，點G在線段MN上，且2，若xyz，則x，y，z的值分別為_解析：連結(jié)ON，()×()×x，y，z.答案：，考向二共線、共面向量定理及應(yīng)用例題2 (2014·上饒調(diào)研)已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，(1)求證：E、F、G、H四點共面；(2)求證：BD平面EFGH；(3)設(shè)M是EG和FH的交點，求證：對空間任一點O，有()【審題視點】(1)利用向量共面與點共面的關(guān)系證明(2)根據(jù)向量共線的關(guān)系證(3)根據(jù)向量運算求證【典例精講】(1)連接BG，則()，由共面向量定理的推論知：E、F、G、H四點共面(2)因為()

9、，所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.(3)找一點O，并連接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.由(2)知，同理，所以，即EH綊FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形所以EG，F(xiàn)H交于一點M且被M平分故()()【類題通法】空間共線向量定理、共面向量定理的應(yīng)用三點(P，A，B)共線空間四點(M，P，A，B)共面xy對空間任一點O，t對空間任一點O，xy對空間任一點O，x(1x)對空間任一點O，xy(1xy)變式訓(xùn)練2如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，D為BC邊上的中點，求證：A1B平面AC1D.證明：設(shè)a，c，b，則ac，ab，bac，2，A1B平面A

10、C1D，A1B平面AC1D.考向三空間向量數(shù)量積的應(yīng)用例題3已知空間三點A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)(1)求以，為邊的平行四邊形的面積；(2)若|a|，且a分別與，垂直，求向量a的坐標【審題視點】利用向量夾角公式求sin，代入面積公式向量垂直，數(shù)量積為0.【典例精講】(1)由題意可得：(2，1,3)，(1，3,2)，cos，.sin，以，為邊的平行四邊形的面積為S2×|·|·sin，14×7.(2)設(shè)a(x，y，z)，由題意得解得或向量a的坐標為(1,1,1)或(1，1，1)【類題通法】(1)當題目條件有垂直關(guān)系時，常轉(zhuǎn)化為數(shù)量積

11、為零進行應(yīng)用；(2)當異面直線所成的角為時，常利用它們所在的向量轉(zhuǎn)化為向量的夾角來進行計算；(3)通過數(shù)量積可以求向量的模變式訓(xùn)練 3已知空間四邊形OABC中，M為BC的中點，N為AC的中點，P為OA的中點，Q為OB的中點，若ABOC，求證：PMQN.證明：連結(jié)PB、PC()()()()·|2()2|2|20PMQN.空間“向量平行”與“向量同向”已知向量a(1,2,3)，b(x，x2y2，y)，并且a、b同向，則x，y的值分別為_【正解】由題意知ab，所以.即把代入得x2x20，(x2)(x1)0，解得x2，或x1.當x2時，y6；當x1時，y3.當時，b(2，4，6)2a，兩向量

12、a，b反向，不符合題意，所以舍去當時，b(1,2,3)a，a與b同向，所以【答案】1,3【易錯點】兩向量平行和兩向量同向不是等價的，同向是平行的一種情況兩向量同向能推出兩向量平行，但反過來不成立，也就是說，“兩向量同向”是“兩向量平行”的充分不必要條件錯解就忽略了這一點【警示】a與b同向是ab的充分而不必要條件ab是a與b同向的必要而不充分條件真題體驗1一個四面體的頂點在空間直角坐標系Oxyz中的坐標分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫該四面體三視圖中的正視圖時，以zOx平面為投影面，則得到的正視圖可以為()解析：選A.結(jié)合已知條件畫出圖形，然后按照要求作出

13、正視圖根據(jù)已知條件作出圖形：四面體C1A1DB，標出各個點的坐標如圖(1)所示，可以看出正視圖是正方形，如圖(2)所示故選A.2(2014·遼寧大連一模)長方體ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E為CC1的中點，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為()A.B.C. D.解析：選B.建立坐標系如圖，則A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.所以異面直線BC1與AE所成角的余弦值為.3(2012·高考陜西卷)如圖所示，在空間直角坐標系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為()A. B.C. D.解析：選A.不妨令CB1，則CACC12.可得O(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，(0,2，1)，(2,2,1)，cos，0.與的夾角即為直線BC1與