高等數(shù)學(xué)不定積分的計算教學(xué)（課堂PPT）

1、第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 1第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的概念不定積分的概念 第二節(jié)第二節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 2第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的概念不定積分的概念 一一. .換元積分法換元積分法 二二. .分部積分法分部積分法 本節(jié)主要內(nèi)容本節(jié)主要內(nèi)容: : (一一) 第一類換元積分法第一類換元積分法 (二二) 第二類換元積分法第二類換元積分法 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 3一一. .換元積分

2、法換元積分法(一一) 第一類換元積分法第一類換元積分法(湊微分法湊微分法)cos10sin10 xdxxC cos10?xdx 引例引例 : 3?xedx 33eexxdxc 求導(dǎo)數(shù)驗證結(jié)果求導(dǎo)數(shù)驗證結(jié)果求導(dǎo)數(shù)驗證結(jié)果求導(dǎo)數(shù)驗證結(jié)果第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 4 1sin10 dsin10 d 1010 x xxx 解決方法解決方法利用復(fù)合函數(shù)的中間變量利用復(fù)合函數(shù)的中間變量, 進行換元進行換元 .1110sin dcos1010uxu uuC 令令1cos10.10uxC回回代代1cos10sin1010 xCx 說明結(jié)果正確說明結(jié)果正確 第四

3、章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 5331dd(3 )3xxexex 113d33uuuxeueC 令令313xueC 回回代代將上例的解法一般化將上例的解法一般化: 設(shè)設(shè)),()(ufuF 則則.)()( CuFduuf如果如果)(xu （可微）（可微）dd( ( )( )duxxx ( )( )= ( ) ( ( )( )( )( )( ( )fxx dxfx dxuxf u du F uCFxC 令令將上述作法總結(jié)成定理將上述作法總結(jié)成定理, 使之合法化使之合法化, 可得可得 換元法積分公式換元法積分公式第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié)

4、不定積分的計算不定積分的計算 6 定理定理4.2.1 設(shè)設(shè)f(u)具有原函數(shù)具有原函數(shù)F(u) , (u)是連續(xù)是連續(xù)函數(shù)函數(shù), 那么那么 ( ) ( )d ( ).fxxxFxC ( ) ( ) ( )d ( )d ( )( )d( ) ( ).g x dxfxxxfxxf uu F uCFxC 難難易易 使用此公式關(guān)鍵在于將要求的積分使用此公式關(guān)鍵在于將要求的積分轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為( )g x dx ( )( )fxx dx d ( )x 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 7例例2 計算計算5(23) d .xx 561d6uuuC 解解: 原式原式51

5、(23)d(23)2xx 51(23)d(23)2xx 我們總結(jié)出湊微分法求不定積分的情況如下我們總結(jié)出湊微分法求不定積分的情況如下: . 被積函數(shù)是一個復(fù)合函數(shù)被積函數(shù)是一個復(fù)合函數(shù) 與公式作對比與公式作對比, 公式中自變量公式中自變量x變成了變成了ax+b的形式的形式, 這時設(shè)這時設(shè)ax+b為中間變量，為中間變量， 1dd()xaxba第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 851=23d2uxuu 令令661 11(23).2 612uC uxC 回回代代1()d()d().f axbxf axbaxba 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié)

6、不定積分的計算不定積分的計算 9例例3 計算計算432310(1); (2)(1).xx e dxxxdx 411=44uuu xe dueC 令令1. 被積函數(shù)中含有兩個多項式被積函數(shù)中含有兩個多項式, 其中一個多項式的其中一個多項式的次數(shù)比另一個多項式的次數(shù)高一次，設(shè)高一次的多次數(shù)比另一個多項式的次數(shù)高一次，設(shè)高一次的多項式為中間變量，目的是約去另一個因式項式為中間變量，目的是約去另一個因式. . 被積函數(shù)是兩個函數(shù)乘積形式被積函數(shù)是兩個函數(shù)乘積形式 e deuuuC 41;4xueC 回回代代(1) 原式原式441d4xex 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不

7、定積分的計算 10例例3 計算計算432310(1); (2)(1).xx e dxxxdx 31031(1) d(1)3xx 3101111=1333u xu duuC 令令10111d11uuuC 3111(1).33uxC 回回代代11()() ().nnnnf xxdxf xd xn (2)原式原式第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 11例例4 計算計算12ln xdxx 2 被積函數(shù)中被積函數(shù)中, 其中一部分函數(shù)其中一部分函數(shù)“正好正好”是另一部分是另一部分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 1dd(ln )xxx 例例5 計算計算6sincosdxx x

8、 sindd(cos)x xx 1(ln )d(ln )d(ln ).fxxfxxx (cos )sin d(cos )d(cos ),(sin )cos d(sin )d(sin )fxx xfxxfxx xfxx 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 12例例4 計算計算12ln xdxx 原式原式1(12ln )dxxx (12ln )d(ln )xx 2、被積函數(shù)中、被積函數(shù)中, 其中一部分函數(shù)其中一部分函數(shù)“正好正好”是另一部是另一部分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。1dd(ln )xxx 1=1-2lnd2uxu u 令令1(12ln )d(12ln

9、 )2xx 221 112 24uCuC 21(12ln ).4uxC回回代代1(ln )d(ln )d(ln ).fxxfxxx 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 13例例5 計算計算6sincosdxx x 原式原式66cosd(cos)dxxuu sindd(cos)x xx 7711cos.77uCxC (cos )sin d(cos )d(cos ),(sin )cos d(sin )d(sin )fxx xfxxfxx xfxx 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 14例例6 計算計算22(2arct

10、an )d .1xxx 21dd(arctan)1xxx 21(arctan )d(arctan )d(arctan )1fxxfxxx 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 15例例6 計算計算22(2arctan )d .1xxx 221(2arctan )d1xxx 21dd(arctan)1xxx 2(2arctan ) d(arctan )xx 21(arctan )d(arctan )d(arctan )1fxxfxxx 2(2arctan ) d(2arctan )xx 31(2arctan )3xC 原式原式第四章第四章 不定積分不定積分

11、第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 16 第一類換元積分法（湊微分法）是一種非常有效第一類換元積分法（湊微分法）是一種非常有效的積分法。首先，必須熟悉基本積分公式，對積分公的積分法。首先，必須熟悉基本積分公式，對積分公式應(yīng)廣義地理解，如對公式式應(yīng)廣義地理解，如對公式 ，應(yīng)理解，應(yīng)理解為為 ,其中其中u可以是可以是x的任一可微函數(shù)的任一可微函數(shù); 其其次，應(yīng)熟悉微分運算，針對具體的積分要選準某個基次，應(yīng)熟悉微分運算，針對具體的積分要選準某個基本積分公式，湊微分使其變量一致本積分公式，湊微分使其變量一致. 1dln|xxcx d1ln|uucu 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié)

12、 不定積分的計算不定積分的計算 17常用的湊微分形式有常用的湊微分形式有: 1dd;xaxba dd();xxexe cos dd(sin);x xx 2dd(arcsin );1xxx 211dd();xxx 21dd();2x xx 11dd( ln);xaxbxa 2secdd(tan);x xx 2dd(arctan);1xxx sectan dd(sec );xx xx d2d();xxx sin dd(cos );x xx 2cscdd(cot);x xx 1dd();axaxexea csccot dd(csc ).xx xx 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積

13、分的計算不定積分的計算 18例例7 計算計算2222dd1(0); 2;xxaaxax （）（）222arcsin;1arctan;xxCaaxdxxCaxaa 2 2d d例例7 計算計算3tan d ;(4) cot d ;x xx x （）tanln cos;cotln sin;xdxxCxdxxC 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 19例例7 計算計算2222dd1(0); 2;xxaaxax （）（）2222d1d1()1d()1arcsin;xaxxxaaxaxaxCa 22222d1d1()11d()1()1arctan;xaxxxaax

14、xaaaxCaa 222arcsin;1arctan;xxCaaxdxxCaxaa 2 2d d第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 20例例7 計算計算3tan d ; (4) cot d ;x xx x（ ）tansindcosd(cos )cosln cos;xdxxxxxxxC cotcosdsind(sin )sinln sin;xdxxxxxxxC tanln cos;cotln sin;xdxxCxdxxC 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 21例例7 計算計算5sec d ;x x （）例例7 計算

15、計算6csc d ;x x （）secln sectan;cscln csccot.xdxxxCxdxxxC 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 22例例7 計算計算5sec d ;x x （）解法一解法一 2sec dsec (sectan )dtansecsecsectandtansec1d(tansec )tansecln sectan;x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxC 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 23例例7 計算計算5sec d ;x x （）解法二解法二 2222sec d1cossi

16、ncoscos1sin1sinsin11sin()ln21sin1sin21sin1(1sin )lnln sectan2cosx xxdxdxdxxxxdxdxxCxxxxCxxCx 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 24例例7 計算計算6csc d ;x x （）2csc dcsc (csccot)dcotcsccsccsccotdcotcsc1d(cotcsc )cotcscln csccot;x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxC secln sectan;cscln csccot.xdxxxCxdxxxC 第四章第四章 不定積分不定積分

17、 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 25例例8 計算計算2211;dxxa （）例例8 計算計算22;6dxxx （）練習(xí)練習(xí) 求求 2d.54xxx 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 26例例8 計算計算23.49dxx （）練習(xí)練習(xí) 求求 21625dxx 例例8 計算計算214;825dxxx （）221arctandxxCaxaa .54d2xxx練習(xí)練習(xí) 求求 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 27例例8 計算計算2215.45xdxxx （）例例8 計算計算10616.(21)xdxx （

18、）例例8 計算計算7d .1xxx （）例例8 計算計算38.(1)xdxx （）第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 28例例8 計算計算2211;dxxa （）22111121()()21lnln21ln;2dxdxxaaxaxad xad xaaxaxaxaxaCaxaCaxa 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 29例例8 計算計算22;6dxxx （）1111()(3)(2)532111(3)(2)532113(ln|3|ln|2|)ln|552dxdxxxxxd xd xxxxxxccx 練習(xí)練習(xí) 求求

19、2d.54xxx 原式原式第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 30例例8 計算計算23.49dxx （）練習(xí)練習(xí) 求求 21625dxx 22223()1111233349441()1()2221 213.()34 321()213arctan62dxdxdxxxxdxxxc 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 31例例8 計算計算214;825dxxx （）14arctan.33xC 21(4)9dxx 221arctandxxCaxaa .54d2xxx練習(xí)練習(xí) 求求 21825dxxx 第四章第四章 不定積分

20、不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 32例例8 計算計算2215.45xdxxx （）練習(xí)練習(xí) 求求 211xdxx 2222222221243dd4545241d3d4545d(45)d(2)3451(2)ln|45| 3arctan(2).xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxc 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 33例例8 計算計算10616.(21)xdxx （）1010613(21)4(21)(21)xxdxdxxx 91034()(21)(21)dxxx 91013d(21)14d(21)2(21)2(21)xx

21、xx 89311() (21)2 () (21)289xxC 89312.16 (21)9(21)Cxx 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 34例例8 計算計算7d .1xxx （）d1xxx 11d1xxx 11d1xx ln|1|.xxC 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 35例例8 計算計算38.(1)xdxx （）dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1()1(1)1(132xdxx 221)1(2111CxCx .)1(21112Cxx 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算

22、不定積分的計算 36ex 例例 911211xxxedxdxee（）；（）；213;4.1xxxxedxdxeee （ ）（ ）第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 37例例911123.11xxxxxedxdxdxeeee （）；（）；（）11xxedxe （）1(1)1xxdee ln(1)xeC121xdxe （）1d1xxxeexe 1d1xxexe ln1;xxeC 11xxdexe 13xxdxee （）21xxedxe 2()1()xxd ee arctan.xeC第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 3

23、8例例 924.1xxedxe （）22d11()arctanxxxxxeedxeeec 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 39例例1021sin;xdx （）例例1032cos;xdx （）第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 40例例10253sincos.xxdx （）例例1044cos.xdx （）例例105sin3 cos2.xxdx （）例例1016.1cosdxx （）第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 4111 dcos2 d(2 )22xxx 11(sin2

24、 )22xxC 11sin224xxC例例1021sin;xdx （）211sind(1cos2 )d2x xxx（）第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 42例例1032cos;xdx （）32cosdx x （）2coscos dxx x 2cosd(sin )xx 2(1sin)d(sin )xx 31sinsin3xxC第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 43例例10253sincos.xxdx （）25sincosdxx x 24sincosd(sin )xxx 222sin(1sin) d(sin )xx

25、x 246(sin2sinsin)d(sin )xxxx .sin71sin52sin31753Cxxx 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 44例例1044cos.xdx （）4cos xdx 21(12cos2cos 2 )d4xxx 22cos x dx （）211cos22xdx （）131(2cos2cos4 )d422xxx 1 31(sin2sin4 )4 28xxxC311sin2sin48432xxxC 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 45例例105sin3 cos2.xxdx （）1(sin

26、5sin )d2xxx 11sin5sin d22xdxx x11sin5 d5sin d102xxx x （ ）11cos5cos.102xxC 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 46例例1016.1cosdxx （） dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 47例例11 計算計算213.4xdxx 例例12 221sec (3)tan(1)1

27、2xxdxdxxx （）；（）第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 48例例11 計算計算213.4xdxx 22222213134441(4)13arcsin22413arcsin4.2xdxxdxxxxxdxxxxC 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 49例例12221sec (3)tan(1)12xxdxdxxx （）；（）tan(1)1xdxx （）2 tan(1) (1)xdx 2ln cos(1)xC 221sec (3)2xdxx （）211sec (3) (3)dxx 1tan(3)Cx第四章第四章

28、 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 50 第一類換元積分法在積分中是經(jīng)常使用的方法第一類換元積分法在積分中是經(jīng)常使用的方法, 不過如何適當?shù)剡x取代換卻沒有一般的規(guī)律可循，不過如何適當?shù)剡x取代換卻沒有一般的規(guī)律可循，只能具體問題具體分析只能具體問題具體分析. 要掌握好這種方法，需要要掌握好這種方法，需要熟記一些函數(shù)的微分公式，并善于根據(jù)這些微分公熟記一些函數(shù)的微分公式，并善于根據(jù)這些微分公式對被積表達式做適當?shù)奈⒎肿冃?，拼湊出合適的式對被積表達式做適當?shù)奈⒎肿冃危礈惓龊线m的微分因子微分因子.第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算

29、51213xx dx （）3221(3)3xc 121(3)xe dxx cos4xdxx （）2ln|5|xxc1xec 22125xdxxx （）2sinxc5sin4 cos3xxdx （）11cos7cos142xxc 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 5234361xdxx （）43ln 14xC 1(8).2321dxxx 219.4arcsin2dxxx （）1.xxeC 331123211212xxC 1217(1).xxedxx （）lnarcsin.2xC 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算

30、53(二二) 第二類換元積分法第二類換元積分法 定理定理4.2.2 函數(shù)函數(shù) x (t) 有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)且有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)且 (t) 0，又又 f (t) (t) 有原函數(shù)有原函數(shù) F(t)，則，則 其中其中t -1(x)是是x (t)的反函數(shù)的反函數(shù). 1( )( )( )( )( ).f x dxftt dtF tCFxC 不不一一樣樣先先湊湊后后換換元元這這與與第第一一類類換換元元法法代代換換元元，再再積積分分，最最后后回回注注：第第二二類類換換元元法法是是先先)(第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 54 1. 根式代換根式代換 . .被積分函數(shù)中含有被

31、積分函數(shù)中含有 （根號里是一次式）（根號里是一次式）類型類型-根式代換法根式代換法，令，令 naxb ntaxb 例例1 計算計算1xdxx 例例2 計算計算1.xdxx 例例3 計算計算3(1)dxxx 例例4 計算計算1xdxe 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 55例例1 計算計算1xdxx 22112221111txttdxtdtdtdttttx 212122ln 11tdttttCt 令令 則則 于是于是,xt 2,2,xtdxtdt 22ln 12ln 1.xxxxC第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算

32、 56例例2 計算計算1.xdxx 22221211dd2d11xttxttxtt 212 (1)2(arctan )1dtttCt 令令 則則 于是于是 1,xt21,d2 d ,xtxt t 2(1arctan1).xxC 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 57例例3 計算計算3(1)dxxx 52223223d61 1d6d6d(1)11(1)xttttttttttxx 216 (1)d6(arctan )1tttct 令令 則則 于是于是 6,xt 65,d6 d ,xtxtt 666(arctan)xxc 第四章第四章 不定積分不定積分 第一

33、節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 58例例4 計算計算1xdxe 1xdxe 221221.dd2d11(1)(1)ttttt tttt令令 則則 于是于是 1,xet222ln(1),dd ,1txtxtt 11()d11ttt 11d(1)d(1)11tttt1ln1ln1ln|1tttcct 11ln11xxece 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 591113dxx （）2( 3ln|13|)xxc 44244ln(1).xxxC 412d .xxx （）第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 60 2

34、. 三角代換三角代換 . . 被積分函數(shù)中含有被積分函數(shù)中含有 類型類型-三角代換法三角代換法2222xaax 、例例5 計算計算22(0)ax dx a 例例6 計算計算22(0).dxaxa 例例7 計算計算22(0).dxaxa 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 61例例5 計算計算22(0)ax dx a 2222(1sin)cos ,cos,axatat dxatdt2222dcoscos dcosdaxxat at tat t 令令 則則sin (),22xatt2(1cos2 )d2att 21(sin2 )22attC2(sin cos

35、 )2atttC第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 62,arcsin axt 因因為為22cos,axta 22xa xat 把變量把變量 t 換為換為 x . 為簡便起見為簡便起見, ,sin axt 根據(jù)根據(jù) 畫一個直角三角畫一個直角三角形，稱它為輔助三角形，如圖形，稱它為輔助三角形，如圖.sinxta xxad22Cttta )cossin(22Caxaaxaxa 222arcsin2.2arcsin2222Cxaxaxa 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 63例例6 計算計算22(0).dxaxa 22

36、2sec ,dsecd ,xaatxat t 2122secsecln sectansecdxattdtttCatxa 令令 則則tan (),22xatt 根據(jù)根據(jù) 作輔助三角形作輔助三角形, 如圖如圖.tanxta axt22ax 22sec,xata 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 64 122|tansec|lndCttaxx122lnCaaxax aCaxxln)ln(122 ，Caxx )ln(22其中其中 C = C1 - lna . 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 65例例7 計算計算22(

37、0).dxaxa 22tan ,dsec tan d ,xaatxatt t 122secln sectandxtdtttCxa 令令 則則3sec (0),22xattt 或或 根據(jù)根據(jù) 作輔助三角形，作輔助三角形，如圖如圖.sec,xta axt22ax 22tan,xata 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 66 22daxx1 |tansec|lnCtt 122 lnCaaxax aCaxxln |ln122 22ln| xxaC 其中其中 C = C1 lna .第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 67

38、 第二類換元積分法是基本積分方法之一第二類換元積分法是基本積分方法之一, 使用第二使用第二換元積分法的關(guān)鍵在于選擇適當?shù)淖儞Q換元積分法的關(guān)鍵在于選擇適當?shù)淖儞Q, 消除被積式消除被積式中的根號中的根號, 最常見的形式有最常見的形式有: （1）被積函數(shù)中含有：）被積函數(shù)中含有： 設(shè)設(shè)（2）被積函數(shù)中含有：）被積函數(shù)中含有： 設(shè)設(shè) , n為為n1、n2 的最小公倍數(shù)的最小公倍數(shù)（3）被積函數(shù)中含有：）被積函數(shù)中含有： 設(shè)設(shè)（4）被積函數(shù)中含有：）被積函數(shù)中含有： 設(shè)設(shè)（5）被積函數(shù)中含有：）被積函數(shù)中含有： 設(shè)設(shè) 在作三角替換時在作三角替換時, 可以利用直角三角形的邊角關(guān)系可以利用直角三角形的邊角關(guān)

39、系確定有關(guān)三角函數(shù)的關(guān)系確定有關(guān)三角函數(shù)的關(guān)系, 以返回原積分變量以返回原積分變量. naxbntaxb12nnxx、ntx22axsinxat22xatanxat22xasecxat第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 68例例8 計算計算2d.1xxx 解法一解法一三角代換法三角代換法 令令 x = tan t，于是得于是得 21dxxx ttttdsectansec2 ttdcsc則則 dx = sec2 tdt，. |cotcsc|lnCtt 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 69根據(jù)根據(jù) tan t =

40、x，作輔助三作輔助三角形，角形，得得 21dxxx= ln |csc t cot t | + CCxxx 11ln2.11ln2Cxx 1xt21x 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 70解法二解法二根式代換法根式代換法 ，令令1122 txtx,d1d2tttx 則則于是有于是有 21dxxx tttttd1122ttd112 Ctt 11ln21Cxx 222)11(ln21.11ln2Cxx 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 713214.xx dx （） 35224144.35xxC 212(0)1dx

41、 xxx （）1arcsinCx 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 72設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) u = u(x), v = v(x) 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù): u = u (x), v = v (x)， 根據(jù)乘積微分公式根據(jù)乘積微分公式于是有于是有， dd uvvuuv即即.dd uvuvvud(uv) = udv + vdu，分部積分公式分部積分公式第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 73.dd uvuvvu難難易易1. 分部積分法適合求分部積分法適合求兩個不同類型函數(shù)乘積兩個不同類型函數(shù)乘積的積分的積分.2. 用法：

42、用法： 把被積函數(shù)把被積函數(shù) f (x) 分解為兩部分因式相乘的形式分解為兩部分因式相乘的形式, 其中一部分因式看作其中一部分因式看作 u , 另一部分因式看作另一部分因式看作 v , 而后而后套用公式套用公式, 把求不定積分把求不定積分 的問題轉(zhuǎn)化為求不的問題轉(zhuǎn)化為求不定積分定積分 的問題的問題.duvx vdxu3. 關(guān)鍵關(guān)鍵: u , v 選擇要得當選擇要得當?shù)谒恼碌谒恼?不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 74例例1 計算計算cos dxx x cosdxxx uv d(sin )xx 交交換換 ,vu xxxxdsinsinuv.cossinCxxx cos

43、dxxx uv 21sin d()2xx 2211cossin22xxxxdx uv交交換換 ,vu比比 更難求更難求cosxxdx失??！失敗！可見運用分部積分公式的關(guān)鍵是可見運用分部積分公式的關(guān)鍵是恰當選擇恰當選擇u，v .第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 75 當被積函數(shù)是兩種不同類型函數(shù)的乘積時，我當被積函數(shù)是兩種不同類型函數(shù)的乘積時，我們可以按照們可以按照“反、對、冪、指、三反、對、冪、指、三”（即反三角函（即反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)）的數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)）的順序，選擇排列次序在前的函數(shù)作為順序，選

44、擇排列次序在前的函數(shù)作為u，而將排在而將排在后的另一個函數(shù)選作后的另一個函數(shù)選作v. 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 76例例3 計算計算 dxx ex 2 22 dxx ex uv 2d()xxe 交交換換 ,vu22ee dxxxx uv2e2 e dxxxxx uv 22 dxxx exe 22dxxxx exeex u v 222.xxxeC第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 77例例4 計算計算2 arctan d .xx x 例例5 計算計算ln dx x 例例6 計算計算arcsin dx x 例

45、例7 計算計算3ln dxx x 例例8 計算計算sin dxex x 例例9 計算計算3secd .x x 例例10 計算計算arctand .x x 例例11 計算計算ln(1)d .xxx 例例12 計算計算 sin(ln )d .xx 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 78例例4 計算計算2 arctan d .xx x 2 arctan dxx x 2arctan d()xx 22arctand(arctan )xxxx 222arctand1xxxxx 221arctan1d1xxxx 2arctanarctan.xxxxC 第四章第四章

46、不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 79例例5 計算計算ln dx x 1ln dlndlnlndx xxxxxxxxxxln(ln1)xxxCxxC 練習(xí)練習(xí) 求求 2lndx x 2ln2 ln2xxxxxC 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 80例例6 計算計算arcsin dx x arcsindarcsinxxxx 2arcsind1xxxxx 2arcsin1xxxC 221(1)arcsind21dxxxxx arcsin dx x 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 81例例7 計算計算3ln dxx x 4411lnd44xxxxx 441ln.416xxxC431lnd44xxxx 第四章第四章 不定積分不定積分 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的計算不定積分的計算 82 例例 8 計算計算sin dxex x sin ds