第四版 微分幾何 第二章課后習(xí)題答案

1、第二章 曲面論§1曲面的概念1.求正螺面= u ,u , bv 的坐標(biāo)曲線.解 u-曲線為=u ,u ,bv =0,0，bvu ,0，為曲線的直母線；v-曲線為=,bv 為圓柱螺線證明雙曲拋物面a（u+v）, b（u-v）,2uv的坐標(biāo)曲線就是它的直母線。證 u-曲線為= a（u+）, b（u-）,2u= a, b,0+ ua,b,2表示過(guò)點(diǎn) a, b,0以a,b,2為方向向量的直線; v-曲線為=a（+v）, b（-v）,2v=a, b,0+va,-b,2表示過(guò)點(diǎn)(a, b,0)以a,-b,2為方向向量的直線。3求球面=上任意點(diǎn)的切平面和法線方程。4求橢圓柱面在任意點(diǎn)的切平面方程，

2、并證明沿每一條直母線，此曲面只有一個(gè)切平面 。解 橢圓柱面的參數(shù)方程為x = cos, y = asin, z = t , , 。所以切平面方程為：，即x bcos + y asin a b = 0此方程與t無(wú)關(guān)，對(duì)于的每一確定的值，確定唯一一個(gè)切平面，而的每一數(shù)值對(duì)應(yīng)一條直母線，說(shuō)明沿每一條直母線，此曲面只有一個(gè)切平面 。5證明曲面的切平面和三個(gè)坐標(biāo)平面所構(gòu)成的四面體的體積是常數(shù)。 證，。切平面方程為：。與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,)。于是，四面體的體積為：是常數(shù)。§ 曲面的第一基本形式1. 求雙曲拋物面a（u+v）, b（u-v）,2uv的

3、第一基本形式. 解 , I = 2。求正螺面= u ,u, bv 的第一基本形式，并證明坐標(biāo)曲線互相垂直。解，I =，坐標(biāo)曲線互相垂直。在第一基本形式為I =的曲面上，求方程為u=v的曲線的弧長(zhǎng)。解 由條件,沿曲線u = v有du=dv ，將其代入得=，ds = coshvdv , 在曲線u = v上，從到的弧長(zhǎng)為。4設(shè)曲面的第一基本形式為I = ，求它上面兩條曲線u + v = 0 ,uv = 0的交角。分析 由于曲面上曲線的交角是曲線的內(nèi)蘊(yùn)量，即等距不變量，而求等距不變量只須知道曲面的第一基本形式，不需知道曲線的方程。解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一類基本量，曲線u + v = 0與u

4、 v = 0的交點(diǎn)為u = 0, v = 0,交點(diǎn)處的第一類基本量為，。曲線u + v = 0的方向?yàn)閐u = -dv , u v = 0的方向?yàn)閡=v , 設(shè)兩曲線的夾角為，則有cos= 。5求曲面z = axy上坐標(biāo)曲線x = x ,y =的交角.解 曲面的向量表示為=x,y,axy, 坐標(biāo)曲線x = x的向量表示為= x,y,axy ，其切向量=0，1，ax；坐標(biāo)曲線y =的向量表示為=x , ,ax，其切向量=1，0，a，設(shè)兩曲線x = x與y =的夾角為，則有cos = 6. 求u-曲線和v-曲線的正交軌線的微分方程.解 對(duì)于u-曲線dv = 0,設(shè)其正交軌線的方向?yàn)閡:v ,則有E

5、duu + F(duv + dvu)+ G d vv = 0,將dv =0代入并消去du得u-曲線的正交軌線的微分方程為Eu + Fv = 0 .同理可得v-曲線的正交軌線的微分方程為Fu + Gv = 0 .7. 在曲面上一點(diǎn),含du ,dv的二次方程P+ 2Q dudv + R0，確定兩個(gè)切方向（du ：dv）和（u ：v），證明這兩個(gè)方向垂直的充要條件是ER-2FQ + GP=0.證明因?yàn)閐u,dv不同時(shí)為零，假定dv0，則所給二次方程可寫成為P+ 2Q+ R=0 ,設(shè)其二根, 則=，+=又根據(jù)二方向垂直的條件知E + F(+)+ G = 0 將代入則得 ER - 2FQ + GP =

6、0 .8. 證明曲面的坐標(biāo)曲線的二等分角線的微分方程為E=G.證用分別用、d表示沿u曲線，v曲線及其二等分角線的微分符號(hào)，即沿u曲線u，v，沿v曲線u，v沿二等分角軌線方向?yàn)閐u:dv ,根據(jù)題設(shè)條件,又交角公式得，即。uvV=1u=-avu=avo展開并化簡(jiǎn)得E(EG-)=G(EG-),而EG->0，消去EG-得坐標(biāo)曲線的二等分角線的微分方程為E=G.9設(shè)曲面的第一基本形式為I = ，求曲面上三條曲線u = v, v =1相交所成的三角形的面積。解 三曲線在平面上的圖形（如圖）所示。曲線圍城的三角形的面積是S= =2=2= 。10求球面=的面積。解 = ，=E =,F= 0 , G =

7、 = .球面的面積為：S = . 11.證明螺面=ucosv,usinv,u+v和旋轉(zhuǎn)曲面=tcos,tsin,(t>1, 0<<2)之間可建立等距映射 =arctan u +v , t= .分析 根據(jù)等距對(duì)應(yīng)的充分條件,要證以上兩曲面可建立等距映射 = arctgu + v , t=,可在一個(gè)曲面譬如在旋轉(zhuǎn)曲面上作一參數(shù)變換使兩曲面在對(duì)應(yīng)點(diǎn)有相同的參數(shù),然后證明在新的參數(shù)下,兩曲面具有相同的第一基本形式.證明 螺面的第一基本形式為I=2+2 dudv+(+1), 旋轉(zhuǎn)曲面的第一基本形式為I= ,在旋轉(zhuǎn)曲面上作一參數(shù)變換 =arctgu + v , t = , 則其第一基本形

8、式為:=2+2 dudv+(+1)= I .所以螺面和旋轉(zhuǎn)曲面之間可建立等距映射 =arctgu + v , t = .§3曲面的第二基本形式1. 計(jì)算懸鏈面=cos h ucosv,cos h usinv,u的第一基本形式,第二基本形式.解 =sinhucosv,sinhusinv,1,=-coshusinv,coshucosv,0=coshucosv,coshusinv,0,=-sinhusinv,sinhucosv,0,=-coshucosv,-coshusinv,0,= coshu,=0,=coshu.所以I = coshu+ coshu .=,L=, M=0, N=1 .

9、所以II = -+ 。2. 計(jì)算拋物面在原點(diǎn)的第一基本形式,第二基本形式.解 曲面的向量表示為, , E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 , I=, II=.3. 證明對(duì)于正螺面=u,u,bv,-<u,v<處處有EN-2FM+GL=0。解 ，=0,0,0,=-uucosv,cosv,0,=-ucosv,-usinv,0,， L= 0, M = , N = 0 .所以有EN - 2FM + GL= 0 .4. 求出拋物面在(0,0)點(diǎn)沿方向(dx:dy)的法曲率.解 ,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy的

10、法曲率. 5. 已知平面到單位球面(S)的中心距離為d(0<d<1),求與(S)交線的曲率與法曲率.解 設(shè)平面與(S) 的交線為(C), 則(C)的半徑為,即(C)的曲率為,又(C)的主法向量與球面的法向量的夾角的余弦等于,所以(C)的法曲率為=1 .6. 利用法曲率公式,證明在球面上對(duì)于任何曲紋坐標(biāo)第一、第二類基本量成比例。證明 因?yàn)樵谇蛎嫔先我稽c(diǎn)處，沿任意方向的法截線為球面的大圓，其曲率為球面半徑R的倒數(shù)1/R。即在球面上，對(duì)于任何曲紋坐標(biāo)(u,v)，沿任意方向du:dv或-，所以，即第一、第二類基本量成比例。7求證在正螺面上有一族漸近線是直線，另一族是螺旋線。證明對(duì)于正螺面=

11、u,u,bv，=0,0,0，=-ucosv,-usinv,0， L=0, N=0 .所以u(píng)族曲線和v族曲線都是漸近線。而u族曲線是直線，v族曲線是螺旋線。8. 求曲面的漸近線.解 曲面的向量表示為,.漸近線的微分方程為,即一族為dy=0, 即,為常數(shù). 另一族為2ydx=-xdy, 即.9. 證明每一條曲線在它的主法線曲面上是漸近線.證 在每一條曲線(C)的主法線曲面上,沿(C)的切平面是由(C)的切向量與(C)的主法向量所確定的平面,與曲線(C)的密切平面重合,所以每一條曲線(C)在它的主法線曲面上是漸近線.方法二：任取曲線，它的主法線曲面為，在曲線上，t = 0 , ,曲面的單位法向量，即

12、，所以曲線在它的主法線曲面上是漸近線.10. 證明在曲面z=f(x)+g(y)上曲線族x=常數(shù), y=常數(shù)構(gòu)成共軛網(wǎng).證 曲面的向量表示為 =x,y, f(x)+g(y),x=常數(shù),y=常數(shù)是兩族坐標(biāo)曲線。,.因?yàn)?所以坐標(biāo)曲線構(gòu)成共軛網(wǎng)，即曲線族 x=常數(shù), y=常數(shù)構(gòu)成共軛網(wǎng)。11.確定螺旋面=u,u,bv上的曲率線.解，=0,0,0，=-ucosv,-usinv,0，=-sinv,cosv,0,， L=0, M= , N=0,曲率線的微分方程為:,即,積分得兩族曲率線方程:. 12.求雙曲面z=axy上的曲率線.解 N=0 . 由=0得,積分得兩族曲率線為.13.求曲面上的曲率線的方程.

13、解 M=,N=0.代入曲率線的微分方程得所求曲率線的方程是: . 14.給出曲面上一曲率線L,設(shè) L上每一點(diǎn)處的副法線和曲面在該點(diǎn)的法向量成定角,求證L是一平面曲線.證法一：因 L是曲率線,所以沿L有,又沿L 有=常數(shù),求微商得,所以,即-·=0,則有=0,或·=0 .若=0, 則L是平面曲線；若·=0 ，L又是曲面的漸近線，則沿L ，=0 ，這時(shí)d=，為常向量，而當(dāng)L是漸近線時(shí)，=，所以為常向量，L是一平面曲線.證法二：若 ，則因 ，所以 ，所以d，由伏雷內(nèi)公式知d（）而L是曲率線，所以沿L有d，所以有=0,從而曲線為平面曲線；若不垂直于， 則有=常數(shù),求微商得

14、因?yàn)長(zhǎng)是曲率線，所以沿L有，所以，所以，即-·=0 ，若=0，則問(wèn)題得證；否則·=0 ，則因，有，（-） ，矛盾。15如果一曲面的曲率線的密切平面與切平面成定角，則它是平面曲線。 證 曲線的密切平面與曲面的切平面成定角，即曲線的副法向量和曲面的法向量成定角，由上題結(jié)論知正確。 16求正螺面的主曲率。解 設(shè)正螺面的向量表示為=u,u,bv.解，=0,0,0，=-ucosv,-usinv,0，=-sinv,cosv,0,， L= 0, M = , N = 0,代入主曲率公式（EG-）-（LG-2FM+EN）+ LN-= 0 得=。 所以主曲率為 。17確定拋物面z=a()在（0

15、，0）點(diǎn)的主曲率.解 曲面方程即， 。在（0，0）點(diǎn),E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,N=2a .所以-4a+4=0 ，兩主曲率分別為 = 2 a , = 2 a .18. 證明在曲面上的給定點(diǎn)處,沿互相垂直的方向的法曲率之和為常數(shù).證 曲面上的給定點(diǎn)處兩主曲率分別為 、，任給一方向及與其正交的方向+，則這兩方向的法曲率分別為， ，即為常數(shù)。19.證明若曲面兩族漸近線交于定角,則主曲率之比為常數(shù).證 由 得 ,即漸進(jìn)方向?yàn)?=-.又-+=2 為常數(shù),所以為為常數(shù),即為常數(shù).20. 求證 正螺面的平均曲率為零.證 由第3題或第16題可知.21. 求雙曲面z=axy在點(diǎn)x=y=0

16、的平均曲率和高斯曲率.證 在點(diǎn)x=y=0 ,E=1, F=0, G=1, L=0, M=a, N=0,H=, K =-.22.證明極小曲面上的點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)或平點(diǎn).證法一： 由H=0有=0或=-0 .若=0,則沿任意方向,=0 ,即對(duì)于任意的du:dv , ,所以有L=M=N=0,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為平點(diǎn).若=-0,則K=<0 ,即LN-M<0,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為雙曲點(diǎn).證法二：取曲率網(wǎng)為坐標(biāo)網(wǎng)，則F = M = 0 ,因?yàn)闃O小曲面有H = 0 ， 所以LG + EN = 0 ,因E > 0 ,G > 0 ,所以LN < 0 。若=0，則L = M = N = 0 ，曲面上的點(diǎn)是平點(diǎn)

17、，若< 0,則曲面上的點(diǎn)是雙曲點(diǎn)。23. 證明如果曲面的平均曲率為零,則漸近線構(gòu)成正交網(wǎng).證法一： 如果曲面的平均曲率為零, 由上題曲面上的點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)或平點(diǎn).若為平點(diǎn),則任意方向?yàn)闈u近方向,任一曲線為漸近曲線,必存在正交的漸近曲線網(wǎng).若為雙曲點(diǎn), 則曲面上存在漸近曲線網(wǎng).由19題, 漸近方向滿足=1,即=/4,=- /4, 兩漸近線的夾角為,即漸近曲線網(wǎng)構(gòu)成正交網(wǎng). 證法二：漸近線方程為所以，所以 ，所以= ，所以漸近網(wǎng)為正交網(wǎng)。 證法三： ，所以高斯曲率 ，所以0 ，所以曲面上的點(diǎn)是平點(diǎn)或雙曲點(diǎn)。所以曲面上存在兩族漸近線。取曲面上的兩族漸近線為坐標(biāo)網(wǎng)，則L = N = 0 ，若M =

18、 0 ，曲面上的點(diǎn)是平點(diǎn)，若 ，則 ，所以M F = 0 ，所以F = 0 ，所以漸近網(wǎng)為正交網(wǎng)。24. 在xoz 平面上去圓周y = 0,并令其繞軸旋轉(zhuǎn)的圓環(huán)面,參數(shù)方程為 =(b+acos)cos , (b+acos)sin , asin,求圓環(huán)面上的橢圓點(diǎn)、雙曲點(diǎn)、拋物點(diǎn)。 解 E =, F= 0 , G=, L = a, M = 0, N = cos(b+acos), LN -=a cos(b+acos) , 由于b > a > 0 , b+acos > 0,所以LN - 的符號(hào)與cos的符號(hào)一致,當(dāng)0<和 <<2時(shí), LN ->0 ,曲面上的點(diǎn)為橢圓點(diǎn)，即圓環(huán)面外側(cè)的點(diǎn)為橢圓點(diǎn)；當(dāng)-<<，曲面上的點(diǎn)為雙曲點(diǎn), 即圓環(huán)面內(nèi)側(cè)的點(diǎn)為雙曲點(diǎn)；當(dāng)=或 時(shí)，LN -=0，為拋物點(diǎn)，即圓環(huán)面上、下兩緯圓上的點(diǎn)為拋物點(diǎn)。25若曲面的第一基本形式表示為的形式，則稱這個(gè)曲面